平面向量的运算-2026高一数学寒假预习讲义（含答案）

平面向量的运算-2026高一数学寒

假预习讲义含答案

小面向量的也算

思维导图

向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做

向量的加法

向量加法的三角形法则、向量加法的平行四边

形法则

r向量的加法运算•

向量加法的运算律：（1）交换律；（2）结合律

向量减法的定义：求两个向量差的运算叫做向

量的减法

:向量减法的三角形法则

-向量的减法运算T

向量的数乘的定义

向量的数乘的运算律

J向量的数乘运算

向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统

称为向量的线性运算

向最共线的充要条件

,向量共线定理

TJ向量共线定理的应用——求参

向量的夹角的定义、向量数量积的定义

向量的投影

r向量的数量积

向量数量积的运算律：①交换律；②数乘结合

律；③分配律

〔向量数量积的常

向量数量积的五大结论

用结论

知识梳理

1.向量的加法运算

⑴向量加法的定义及两个重要法则

定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

前提已知非零向量由求在平面内任取一点A

作方=［正=九连接47.

向量加法的三作法

角形法则

结论向量4C叫做二与1）的和，记作a+b,即〃+b=AB+BC=AC.

图形

AaB

前提己知两个不共线的向量由九在平面内任取一点o.

作法作了=afiB=h以OAOB为邻边作四边形O4CB

结论以。为起点的向量反就是向量工与a的和，即工=：+h.

向■加法的生

行四边形法法

图形

()aA

规定对于零向量与任一向量士我们规定)+6=6+:=£

(2)多个向量相加

为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量

的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示.

2.向■加法的运算律

⑴交换律:4+力=6+Q；

⑵结合律:(a+6)+c=a+(力+c).

3.向量的减法运算

⑴相反向量

我们规定，与向量五尺度相等，方向相反的向量，叫做日的相反向量，记作零向量的相反向量仍是零向

量.

(2)向量减法的定义：

向量云加上^的相反向量，叫做云与b的差，即a—b=a+(-求两个向量差的运算叫做向量的基法.

(3)向量减法的三角形法则,

如图，已知向量4,人在平面内任取一点。，作0%=a,OB=b，则B4=0A—OB=a—b-即a—。可以

表示为从向量的终点指向向量d的终点的向量，这是向量龌的几何意义.：

.............3

A

a-b

—―。_bB

4.向■的数乘运算

(1)向量的数乘的定义

一般地，我们规定实数1与向量方的积是一个向量，这种运算叫做向量的数塞，记作/17,它的长度与方向规

定如下：

®|2a|=|A|p|；

②当1>0时，的方向与日的方向相同；当1V0时，/G的方句与日的方向相反.

⑵向量的数乘的运算律

设，，"为实数，那么①从=如)②(1+〃)十=Xa+〃〃;③幺(〃+-)=2。4-kb.

特别地，我们有(-A)a=—(2〃)=2(-a)"(a—bj=/.a—Zb.

⑶向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量由比以及任意实数九〃i,外，恒有

a±牝力)=7四。±b.

5.向量共线定理

(1)向量共线定理

向量刈dw6)与日共线的充要条件是:存在唯一一个实数就使％=筋.

(2)向量共线定理的应用一一或叁

一般地，解决向量共线求参问题，可用两个不共线向量(如£二)表示向量工亡设刃化成

关于的方程"。)3=—9。)二，由于2,1不共线，则’'解方程组即可.

6.利用共线向量定理解题的策略

(1)Z1］力0；1=亦©丰6)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.

(2)当两向量共线月有公共点时，才能得出三点共线，即ABC三点共线=标，公共线.

(3)若方与［不共线且则2=〃=O.

(4)04=/OB-\-/iOC(4〃为实数)，若ABC三点共线，则4+〃=1.

题型归纳

M91向量的加减运算】

1.(24—25高一下・广东・期中)荏+况+后方=()

A.0B.0C.204D.2BC

2.（24-25高一下•福建・期末）彳§-45+反?一反=（）

A.2BDB.0C.BDD.0

3.（24-25高一下•福建龙岩•期末）下列结果不是零向量的是（）

A.AB+CA-}-BCB.AB-（BC+CA）C.CA-（CB-AB）D.AB-AC^BC

4.（24-25高一下•北京通州•期中）如图，在平行四边形工Z?CO中，连结Z?。,下列运算正确的是（）

A.AB+BD=DAB.BA+BC=BDC.AB-AD=BDD.BD-BA=DA

DR型2平面向量的混合运算】

5.(25—26高二上.广东佛山・月考)卷(c£+2b—3K)—3(6—2b—A)=()

A.-^-d-4cB.-^-a+4b-2cC.一3+7日+^D.

6.(24-25高一下•福建宁德•期中)设向量入b,K满足562m—40+3均-4=%则c=()

A.-a+226B.7a+146C.a-22bD.-7a-14b

7.(24-25高二上•海南•开学考试)化简：

(l)2(a-b)+3(a+6)；

(2)|(a+6)+1(a-5)；

(3)3(a+2b)—2(Q+3b)-2(Q+b).

8.(24-25高一下•全国•课后作业)计算:

(l)4(a+b)—3(a—b)—8a；

(2乂5日-4b+3)—2(3日-2b+Z)；

(3)y[(44-3。+/J(6a-7矶].

MS3由平面向量的线性运算求参数】

9.（24-25高三上・安徽宣城・期末）在4＜小7所在平面中有一点尸满足丽=2比,且中+方+用=

2岳，则人=（）

A.《B.一士C.一！D.《

2233

10.（24—25高一下•甘肃定西•期末）在△ABC中，”为边中点，N为力加的中点，前=入4§+〃前,

贝!M+2〃=（）

A.\B.1C.?D.1

424

11.（2025高三・全国・专题练习）在矩形4BCD中，己知司=4■①，的=J后方，E为PQ的中点，且存

•5/

=xAB+yAD,则xy=.

12.（2025高一•全国・专题练习）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图

所示的五角星中，以P,Q,R、S,T为顶点的多边形为正五边形，且布=弯底万，设房一通=

A3Q（A6H）,则4=.

q..................

MS4向公共线定理及其应用】

13.（24—25高一下•湖南邵阳・期中）48=宙—最，BC=2周+3苞，CD=3fce；+4最，且？1、C、。三点共线,

则k=（）

14.（24—25高一下•甘肃天水•月考）已知非共线向量4、K,AB=a+2?,BC=3a—CD=—54—3几则下

列说法正确的是（）

A.力、13、。三点共线B.4、B、。三点共线C.13.C、。三点共线D.4、C、。三点共线

15.（24-25高一下•重庆・期末）如图，在△4BC中，通=是89上一点.若=#号适

则实数c的值为（）

16.（24-25高一下•四川成都・期末）已知向量由b,AB=3a+2b,BC=4a-6,司=5：+7我则一定共线

的三点是（）

A.A,B,DB.AJ3,CC.A.,C»DD.BCD

M型5向量线性运算的几何应用】

17.（24-25高一下•全国•课后作业）设四边形ABCD中，有荏=3DC且\AD\=\BC\,则这个四边形是

A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形

18.（25-26高三上•浙江温州・月考）点M是△力Z5C所在平面内一点,满足砺+磊苏+^MC=6,若。

为4c中点，则孕照的值为（）

19.（2025高一・全国・专题练习）在五边形46。。石中，点足6”,1分别是486。,您,。后的中点，点"口/<

分别是FH和GI的中点,求证:JK//AE且4JK=AE.

DC

G

B

A

20.(2025高一•全国•专题练习)根据下列各小题的条件,试判断四边形ABCO的形状.

(1)AD=^-BC：

⑵刀+53=55+55；

⑶通+万5=而且曾r+-^=4sp.

\AB\\AD\1\AC\

知识梳理

1.向量的数量积

⑴向量数量积的物理背景

在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移△那么力R所做的功w=

同口cos。,其中0是R与g的央角.

我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显

不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量.

(2)向量的夹角

己知两个非零向晟［九如图所示，O是平面上的任意一点，作况=：,赤=九则/493=。(0&。&兀)

叫做向量日与夜的夹角,也常用伍力表示.

Q)§AbB

0B0ab*

(1)(2)(3)

(3)两个向量数量积的定义

已知两个非零向量W与丸它们的夹角为。，我们把数量向阿cos〃叫做向量日与日的数量积(或内积)，记作

4•力，即〃•b=|a||b|cos〃〃.

规定:零向量与任一向量的数量枳为。，即6.a=0.

(4)向量的投影

如图，设是两个非零向量，方=73=九我们考虑如下的变换：过刀的起点A和终点用分别作

无所在直线的垂线，垂足分别为4，8，得到彳且，我们称上述变换为向量方向向量厂投影，病叫做向量日

在向量坡上的投影向量.

2.向■数■积的性质和运第律

⑴向量数量积的性质

殳：,右是非零向量，它们的夹角是仇3是与日方向相同的单位向量，则

.->-►->->|->I

①a•e-e•a—同cos/

②。LbOa-b=0.

③当日与b同向时,a•力=同忖;当日与日反向时,a-b=~\ab

特别地,a.a=q~=|a|或同=(a•a.

④口•张同网，当且仅当向量7/共管，即：II1时，等号成立.

⑤cos9=

同同

(2)向量数量积的运算律

由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立:

对于向量)花1和实数人有

①交换律:a,b=b,a；

②数乘结合律:(ia)-b=入(。./?)=a.(2〃)；

③分配律：(a+8).c=〃•c+〃•c.

3.向量数量积的常用结论

⑴1±犷=□土同2=同2±2；.1+印=「±2>石+产;

⑵1_尸=勺+4(H)=卬—网2；

⑶1+犷+(1犷=2(印+印)：

⑷Q2+b2=0<=>4=6=0；

⑸悯一网归口+同W同+忖，当且仅当a与炯向共线时右边等号成立，a与日反向共线时左边等号

成立.

以上结论可作为公式使用.

4,向量数量积的两大应用

(1)夹角与垂直

艰据平面向量数量积的性质：若日与^为非零向量，则cosO="(夹角公式)工_L^O[Z=0等，可知

HH

平面向量的数量积可以用来解决有关角隹堇直问题.

(2)向量的模的求解方法：

(D公式法式II用时=Ja•a及±力)=a±2tz-64-b，把向量的模的运算转化为数量积运算；

②几侬:利用向最的几何意义，即利用向最加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向最，再利用勾股

定理、余弦定理等方法求解.

题型归纳

MS6向能收・积的计算】

21.（24—25高一下映西渭南.期末）设向量由羽勺夹角为十，同=4,|M=«，则（24-3丹•抹=（）

A.-1B.1C.-2D.2

22.（24-25高一下•湖南岳阳•期末）在△43。中，43=2,4。=3,30=4,0为的中点，则♦后方=

（）

A.-16B.C.-yD.16

23.（24-25高一下•河北承德・月考）已知非零向量4在向量8」的投影向量为与，囚=16,则伍一矶苇=

（）

A.-64B.-32C.-128D.-256

24.（24-25高一下•贵州毕节・月考）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形.已知正八边形ABCDERGH的

边长为4,尸为正八边形内的一点（含边界），则而•存的取值范围为（）

A.[16-4V2,8V2]B.[-872,872]

C.[16-8V2.16+8V2]D.[-8V2,16+8V2]

[«£7求投彩向量】

25.（24—25高一下•甘肃临夏・期末）已知日了=-16且吼=2,则向量江在向量厂上的投影向量为（）

A.26B.-2bC.46D.-46

26.（24-25高一下•浙江杭州•期中）已知4E是夹角为120°的两个单位向量，则向量日-6行在向量方上的投

影向量为（）

A.B.—寺&C.-2aD.4a

27.（24—25高一下•安徽宣城•期末）已知非零向量沆,五满足|m|=2,|n|=4,|m+n|=5,则后在云上的投

影向量为（）

A.B.C.焉元D.-^-n

JZIvJ/lo

28.（24—25高一下•福建漳州•期末）在△ABC中，48=7,BC=8,力。=9,AM是BC边上的中线，则向：

最疯在向量芯上的投影向帚为（）：

...................0

A.^BCB.^BCC.\BCD.^-BC

6543

M型8向量夹角（夹角的余弦值）的计算】

29.（24—25高一下•贵州・月考・）已知吼=2,且日在日上的投影向量的模为应，则日与日的夹角为（）

A.45°B.60,C.120°D.45°或135°

30.（24-25高一下•新疆,期末）已即向量4"；满足,一间=|2日-回，2同=瓦则向量4与日一日的夹角的余

弦值（）

A迎B迹C-迎』

人8B4J8D口4

31.（24-25高一下•安徽合肥•期中）已知向量落日满足㈤=2,|山=1,忸+3bl=,则日与日的夹角为

（）

A.£B.得C.等D.平

6336

32.（24—25高一下•辽宁辽阳•期末）已知两个单位向量由广满足根+3同=3,则由^夹角的余弦值为

（）

A--B--C—D—

6363

【题型9垂直关系的向■表示】

33.（24—25高一下•重庆.期末）己知向量落町曲足同=1,帆=2,V痴＞=看，4_1但+何，则实数4=

（）

A.-1B.1C.。D.—

34.（24-25高一下•河南•期中）在中，角人民。的对边分别为a,bc若钮・记=而•彩，则

△AB。的形状是（）

A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰或直角三角形

35.（24—25高一下.江西宜春.期末）已知平面向量2公满足：同=3,网=2,4上=筌.

O

⑴求M一同;

⑵当他+初JL时,，求实数k的值.

36.（24-25高一下•江苏・月考）如图所示，在边长为2的正方形ABCD中，分别是4区3。的中点,

⑴求证：AF.LDE；

⑵求瓦•比的值.

MS10向量的模长问JR】

37.（24-25高一下•北京延庆•期中）已知同=2,帆=L120°,则区+2同=（）

A.4B.2C.12D.13

38.（24—25高一下,四川遂宁・期末）已知平面向量获,K满足阿=网=忖=1,若/1=0,则根一3一同的

最大值是（）

A.2B.V3+1C.V2+1D.V2-1

39.（24-25高一下•陕西咸阳・期末）己知4与不是非零向量，（a+6）±儿且同=2M=瓜.

⑴求日与日的夹角公

⑵求|34+2回.

.............国

40.（24-25高一下•浙江嘉兴•期末）已知平面向量足6：同=2,恸=，§,且小（a-6）=0.

⑴求L与，的夹角夕的值;

（2）当W-布|取得最小值时,求实数4的值.

课后作业（19题）

一、单

41.（24-25高一下•福建三明•期末）化简石+屈+后方等于（）

A.ABB.CEC.ACD.BE

42.（25-26高二上•湖北孝感・月考）已知非零向量2了满足|a|=2%，且值+矶±比则4与8的夹角为

（）

AnR兀c5兀n27c

ATDT

43.（24—25高一下•广东佛山・期末）已知向量房，居是两个不共线的向量，2=/一2苴，日=4眉+4最，且2〃

不,则（）

A.-2B.-1C.1D.2

44.（24—25高一下•福建福州•期末）已知向量4,日满足|a|=1»|6|=2,|a—6|=V7，则江+方在日方向上的

投影向量是（）

A.。B.4^C.-^-bD.-4?

4444

45.（24—25高一下•吉林松原•期末）已知向量由厂是两个单位向量，日在日上的投影向量为j比则心

（2+可=（）

从AA4gA3Cc.?3D.—2

46.（24-25高一下•全国•课堂例题）在四边形ABCD中，存=2+2丸BC=-4a-^^=一54一3九则四

边形466的形状是（）

A.梯形B.菱形C.平行四边形D.矩形

47.（24—25高一下•江苏连云港•月考）已知向量入1满足同=2,吼=2,若日与日的夹角为与，则H+M=

O

（）

A.1B.V2C.2V3D.V7

48.（24-25高一下•辽宁朝阳・月考）已知日E为不共线的非零向量，荏=4+5式反？=-2a+86,cB=3a

-3比则（）

A.A3,。三点共线B.A3,。三点共线C.3,。,。三点共线D.AC,。三点共线

二、多选题

49.（24-25高一下•江西上饶•月考）下列能化简为户Q的是（）

A.QC-QP+CQB.A§+（PA+BQ）

C.（AB+PC）+（BA-QC）D.PA+AB-BQ

50.（24-25高一下•四川资阳・期末）若向量满足同=|同=l，h+M=JJ,则（）

A.2与6的夹角为年B.a-5=y

C.a±（a-b）D.汗一日在日上的投影向量为一4■日

51.（24—25高一下呐蒙古包头♦期中）如图，在△力3。中，点。是8C的上一点（不包括端点），过点。的直

线分别交直线于不同的两点必N,且而=加国?,彳方=止而,则下列结论正确的是（）

A.BC=mAM-nANB.若。是3C的中点，则=■彳■彩

.........亩

1一国1

C.若。是8c的中点，则m+几=2D.若m=可,71=3,则.——>=­

3\BC\4

三、填空题

52.(24-25高一下•浙江宁波•开学考试)化简AS一角若一词+.

53.(24-25高一下•甘肃天水・月考)已知非零向量满足同=间,且2"L值一29,则二与不的夹角为

(用弧度表示).

54.(24-25高一下•吉林松原•期末)如图,在菱形ABCD中，A3=2,ND4B=60°,E为CD上靠近于C的三

等分点，则超•病的值是______.

四、解答题

55.(24-25高一下•江苏淮安・月考)化简下列向量运算：

(l)4(a+6)—3(4+矶—6；

(2)3(a-26+c)+4(c-a-2b)；

(3)(AB+MB)+(BO+BC)+OM.

56.(24—25高一下•新疆阿克苏・嫉末)己知|a|=2,\b\=3,(2a—36)­(2a4-b)=-7.

(1)求|二十，I；

(2)求向量4与4十日的夹角的余弦值.

57.（24-25高一下•江苏南京・月考）已知向量归E不共线，且（53=24-几OB='3aA-bfOC=a-}-Ab.

（］）若方〃（5S,求丈的值；

（2）若4=-3,求证：A,B,C三点共线.

58.（24-25高一下•云南楚雄・月考）已知由式是非零向量,，JL（4一矶，且同=3/，1=6.

⑴求4工

（2）求方在日方向上的投影向量；

⑶求网-3回.

..........................................................................

59.（24-25高一下•安徽宣城•期天）在直角梯形ABCD中，己知力Z?〃DC,AD_LAB,CD=1,XD=2,

AB=3,动点E、R分别在线段反7和。。上，AE和交于点M,且显=/1后方，方甘=（1一#反"W

⑴当4=0时，求助•茄的值;

⑵当4=1■时，求器的值；

OIvlD

⑶求|行十/N司的取值范围.

串面向量的运算

思维导图

向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做

向量的加法

向量加法的三角形法则、向量加法的平行四边

形法则

r向量的加法运算--

向量加法的运算律：（1）交换律；（2）结合律

向最减法的定义：求两个向量差的运算叫做向

量的减法

一向量的减法运算（向量减法的三角形法则

平面向量的向量的数乘的定义

线性运算

向量的数乘的运算律

向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统

称为向量的线性运算

向最共线的充要条件

1向量共线定理T

向量共线定理的应用——求参

向量的夹角的定义、向量数量积的定义

向量的投影

T一R白J昌国的的的致短重■枳，口

向量数量积的运算律：①交换律；②数乘结合

向量的数量律；③分配律

积L向量数量积的常

向量数量积的五大结论

用结论

啕知识梳理

1.向景的加法运算

⑴向量加法的定义及两个重要法则

定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

前提已知非零向量由求在平面内任取一点A

作方=［正=九连接47.

向量加法的三作法

角形法则

结论向量4C叫做二与1）的和，记作a+b,即〃+b=AB+BC=AC.

图形

AaB

前提己知两个不共线的向量由九在平面内任取一点o.

作法作了=afiB=h以OAOB为邻边作四边形O4CB

结论以。为起点的向量反就是向量工与a的和，即工=：+h.

向■加法的生

行四边形法法

图形

()aA

规定对于零向量与任一向量士我们规定)+6=6+:=£

(2)多个向量相加

为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量

的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示.

2.向■加法的运算律

⑴交换律:4+力=6+Q；

⑵结合律:(a+6)+c=a+(力+c).

3.向量的减法运算

⑴相反向量

我们规定，与向量五尺度相等，方向相反的向量，叫做日的相反向量，记作零向量的相反向量仍是零向

量.

(2)向量减法的定义：

向量云加上^的相反向量，叫做云与b的差，即a—b=a+(-求两个向量差的运算叫做向量的基法.

(3)向量减法的三角形法则,

如图，已知向量4,人在平面内任取一点。，作0%=a,OB=b，则B4=0A—OB=a—b-即a—。可以

表示为从向量的终点指向向量d的终点的向量，这是向量龌的几何意义.：

.............3

A

a-b

—―。_bB

4.向■的数乘运算

(1)向量的数乘的定义

一般地，我们规定实数1与向量方的积是一个向量，这种运算叫做向量的数塞，记作/17,它的长度与方向规

定如下：

®|2a|=|A|p|；

②当1>0时，的方向与日的方向相同；当1V0时，/G的方句与日的方向相反.

⑵向量的数乘的运算律

设，，"为实数，那么①从=如)②(1+〃)十=Xa+〃〃;③幺(〃+-)=2。4-kb.

特别地，我们有(-A)a=—(2〃)=2(-a)"(a—bj=/.a—Zb.

⑶向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量由比以及任意实数九〃i,外，恒有

a±牝力)=7四。±b.

5.向量共线定理

(1)向量共线定理

向量刈dw6)与日共线的充要条件是:存在唯一一个实数就使％=筋.

(2)向量共线定理的应用一一或叁

一般地，解决向量共线求参问题，可用两个不共线向量(如£二)表示向量工亡设刃化成

关于的方程"。)3=—9。)二，由于2,1不共线，则’'解方程组即可.

6.利用共线向量定理解题的策略

(1)Z1］力0；1=亦©丰6)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.

(2)当两向量共线月有公共点时，才能得出三点共线，即ABC三点共线=标，公共线.

(3)若方与［不共线且则2=〃=O.

(4)04=/OB-\-/iOC(4〃为实数)，若ABC三点共线，则4+〃=1.

题型归纳

M91向量的加减运算】

1.(24—25高一下・广东・期中)荏+况+后方=()

A.0B.0C.204D.2BC

【答案】6

【解题思路】利用向量的加法的三能形法则即可求解.

【解答过程】刀+刀+方方=而+比+与=而+同=6.

故选：R

2.（24-25高一下・福建・期末）荏一初十方方一比二（）

A.2BDB.0C.BDD.0

【答案】。

【解题思路】利用向量加减法法则求解即得.

【解答过程】延一通+后方一皮=怒十万3—（川+虎）=尼一冠=丘

故选：。.

3.（24-25高一下•福建龙岩期末）下列结果不是零向量的是（）

A.AB+CA+BCB.AB-（BC+CA）C.CA-（CB-AB）D.AB-AC^BC

【答案】B

【解题思路】根据题意，利用向量的线性运算法则，逐项计算，即可求解.

【解答过程】对于4中，由漏+34+4苕=（漏+月苕）+1衣=43+o5=d,所以人不符合题意：

对于6中，由初一（后方+可）=乐一直=荏+须=2矗，所以6符合题意；

对于。中，由刀一（加一存）=（或一赤）+荏=届+崩=6,所以。不符合题意；

对于。中，由荏一於+48=）+成=6,所以。不符合题意.

故选：B.

4.（24-25高一下•北京通州•期中）如图,在平行四边形48co中，连结60,下列运算正确的是（）

A.AB-VBD=DAB.BA+BC=BDC.AB-AD=BDD.BD-BA=DA

【答案】6

【解题思路】利用向量加法和减法法则即可.

【解答过程】由向量加法的三角形法则得，与+应5=石，故A错误；

由向量加法的平行四边形法则得，且4+反？=BD,故B正确；

由向量的减法法则得，存一瓶=方及舒一互才=初,故CD错误.

故选：A

【题型2平面向量的混合运算】

5.（25-26高二上.广东佛山.月考）卷仅+2上34）一3•一2日一H=（）

A.--ya-4cB.-ya+45-2cC.一『+71+'1•3D.一V一5日一部

N乙乙乙乙乙

【答案】C

【解题思珞】由向量的线性运算求解即可.

【解答过程】00+23匹)一3(方—2行一不)+广一高■才一34+61+33

=一即+71+,直

故选：C.

6.(24-25高一下•福建宁德•期中)设向量窗5,K满足5但一2。-40+3砂一3=6,则匹=

A.-a+226B.7a+146C.a-22bD.-7a-146

【答案】。

【解题思路】根据平面向量的线性运算化简求解.

【解答过程】因为50一2与-4e+34—才=一74一141一4=6,所以4二一7W一1江

故选：。.

7.(24-25高二上•海南・开学考试)化简：

⑴2(3-b)+3(1+b);

(2)|(a+6)+1(a-6)；

(3)3(Q+2b)—2(Q+3b)—2(Q+b).

【答案】⑴54+良

(2)a：

(3)—a—26.

【解题思路】(1)(2)(3)直接由向量的线性运算即可得到结果.

【解答过程】⑴2(五一由+30+5)=24-21+34+31=54+我

(2)y(a+0+y+=

(3)3。+26)-2(a+35)-2(a+6)=3a+66-2a-6b-2a-2b=-a-2b.

8.(24-25高一下•全国•课后作业)计算：

(1)4(4+b)—3(a—b)—8a；

(2)(5a—46+c)—2(3a—26+c)；

(3)-|-[(4a-36)4-y?--^(6a-75)].

【答案】(1)-7立十7s

(2)-a-c

/4>、5->11F

【解题思路】根据平面向量的数乘运算及线性运算计算即可.

【解答过程】(1)原式=4a+46-3a4-36—8a——7a+76.

⑵原式=5a-464-c—6a+4b—2c=­a—c.

：⑶原式=寮4日-3京日+尹)=看倍日-需9=会一技亡

J'oL4/J'Z1Zzolo

■【题型3由平面向量的线性运脾参数】

0…一.…一.….….....

9.（24-25高三上•安徽宣城•期末）在所在平面中有一点。满足PA=店方，且PA^PB^PC=

2B，贝Ij4=（）

A1B--2C-~lD1

【答案】。

【解题思路】应用向量加减的运算法则得3丽=一被,结合已知即可得答案.

【解答过程】由题设向+屈+左=2（屈一45）,则3两+定=屈，

即3a=PB-PC=CB=-BCf则PA=一卷0。，

o

又P4=XB。,所以N=一卷.

O

故选：C.

10.（24-25高一下•甘肃定西•期末）在△48。中，M为边6。中点，N为力M的中点，病=筋豆+〃彩,

则4+2〃=（）

A.