高考数学复习讲义训练：直线和圆 分层训练（解析版）

专题19直线和圆

【练基础】

一、单选题

1.(2023•浙江嘉兴・统考模拟预测)己知点A(-1,0),8(2,0)与直线/:心—)，+〃?=0G〃£R),若在直线/上存在点

P,使得|网=2|M，则实数〃，的取值范围是()

旁当

AJ33B.RT3M43Ml

L」\JL/

C.[-73,73]D.(-00,-6卜[6,”)

【答案】A

【分析】设出P点坐标，由|网=2|因进行化简，结合二次函数的性质求得”的取值范围.

【详解】对于直线/〃=0(〃zwR),

即)，=m(x+l),所以A(TO)在直线;上，

设?(1,加。+1)),其中fr-i,

由|冽=2|阳两边平方得归=4|冏2,

Bp(r+l)2+/??2(r+l)2=4^(r-2)2+/zz2(^+1)2],

整理得(/+1)2+/2-6/+5=0,

,产一6，+5r2+2r+l-8(/+l)+12

由于f+]工0,所以机=一一:一律一=--------7一节--------

”+1)0+1)

128,1

二一百+不叫其中下他

根据二次函数的性质可知，当一'="f=2时，-77二+二一1取得最大值，

f+13(z+1)，+1

।r11/aFy

且最大值为T，则0q,解得加W一¥，¥.

故选：A

2.(2023•山西・校联考模拟预测)已知圆G：/+(),_。『=/(〃>0)的圆心到直线”一),一2=0的距离为2VL则圆

G与圆G：d+y2—2x—4y+4=0的公切线共有()

A.0条B.1条C.2条D.3条

【答案】B

【分析】先根据题意求得。=2,从而得到两圆的圆心和半径，进而求得网心距等于两半径的差，得知两圆内切,

即可知道公切线只有1条.

【详解】圆G：的II心为（0,〃），半径为。，

所以圆心到直线x-y-2=0的距离为〃=与”11=2右，解得。=2或。=-6.

Vl2+12

因为。＞0,所以。=2.

所以圆G：f+（y-2）2=4的圆心为C（0,2）,半径为“2.

圆。2：V+y2_2iy+4=（）的标准方程为（if+（一）、],

圆心坐标为C2（L2），半径4=1，

圆心距d=J（0-l）2+（2—2『=1=彳一弓,所以两圆相内切.

所以两列的公切线只有1条.

故选:B.

3.（2023•黑龙江哈尔滨・哈尔滨三中校考一模）已知A（TO）,3（1,0）,若直线y=k（x-2）上存在点p,使得

ZAP3=90。，则实数k的取值范围为（）

-[44]卜卜轲小君

c.（44},m停+/

\1O/I\J/\J/

【答案】B

【分析】根据题意分析可得直线）2）与圆。：W+V=1有公共点（公共点不能是A、办结合直线与圆的

位置关系分析运算.

【详解】若4依=90。，则点尸在以八（1,。），8（1。）为直径的圆上（点?不能是A、B）,

•・•以A（T,0）,8（1,0）为直径的圆的圆心为0（0,0）,半径/•=1，则圆。的方程为f+），2=1,

即直线y=Mx-2）与圆0：V+y2=[有公共点（公共点不能是人、B）,

当直线y=k（x-2）与圆0：/+）,2=[有公共点时，则41，解得kwT];

当直线y=%（x-2）与圆0：/+-y2=i的公共点为A或笈时，则直线），=”（1一2）即为X轴，即攵=0；

答案第2页，共31页

综上所述：实数攵的取值范围为一4，°]1.，4.

-/X_

故选：B.

4.（2023・河南•长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知点尸是双曲线/-《=1的右焦点，点P是双曲线上位于第

3

一象限内的一点，且。尸与x轴垂直，点。是双曲线渐近线上的动点，则|PQ|的最小值为（）

A.1—迈B.V3--C.1+述D.x/3+-

2222

【答案】B

【分析】由双曲线的方程可得点F坐标及渐近线方程，进而求得点P坐标，利用点到直线的距离公式即可求解.

【详解】解：由双曲线方程可得，点/坐标为（2,0）,将x=2代入双曲线方程，得），=±3,

由于点尸在第一象限，所以点尸坐标为（2,3）,

因为双曲线的渐近线方程为△土y=（）,

所以，点。到双曲线的渐近线的距离为辿史.

2

因为。是双曲线渐近线上的动点，

所以|P0的最小值为笑匚=6-1

故选：B.

5.（2023・内蒙古•校联考模拟预测）已知直线/：2犬-），-2=0被圆C：r+y2-2x+4y+m=0截得的线段长为华，

则用=（）

A.2B.4C.yf5D.5

【答案】B

【分析】由圆的一般方程可确定圆心和半径，根据直线被圆截得的弦长为2尸方可构造方程求得结果.

【详解】由圆C方程得：圆心半径r=j〃+16—4/〃=y/5-ni,

,|2+2-2|275

圆心C到直线/的距离d=万+（]）2=~，

/.2\/r2-d?=2/一,解得：in=4.

故选：B.

6.（2023♦山东泰安・统考一模）已知直线/与圆产+尸=8相切，与抛物线y2=4x相交于48两点，以A8为直径的

圆过坐标原点，则直线/的方程为（）

A.尤十＞一4=0或x—+4=0B.4-）'-4=0或x十y—4=0

C.x+2y+4=0或x-2y-4=0D.4-2），+4=0或x+2y+4=0

【答案】B

【分析】设直线/方程，利用直线与圆相切，与抛物线相交，且验证以为直径的圆过坐标原点，即可求得直线

方程.

【详解】若直线/的斜率不存在，又直线/与圆f+,2=8相切，则直线/的方程为工=2&或x=-2夜，

又直线与抛物线）3=4X相交于A3两点，则直线/的方程为x=2拉，此时可设4（20,%），42人,一%）,且

$=4x2贬=8&,

所以。小。8=仅收），0）（2近,—北）=8-尤=8-8人工0,不符合题题意；

若直线/的斜率存在，设直线/得方程为y=心+加，由直线/与圆d+），=8相切，

则圆心（0,0）到直线的距离为所以“=8+8/①,

\j\+k2

V=+/fi

~得/f+（2k〃-4）工+〃/=0,

{y=4x

△=（2比2-4）2—软2m2=T6bn+16>0得hn<\,

2km-4m2

所以％+%2=---声一,xix2=—f

则OA-OB=x}x2+yy=xrv2+（代+m）（kx2+m）=（1+&?,内+痴（菁+x2）+nr

.->\m2,-2km+4八

1+Ar+km-----z---+w2=0»

、“2k1

整理得：〃?2+4k〃=0②，联立①②解得k=L，〃=-4或%=-1，，〃=4,

所以直线/的方程为工-尸4=0或x+y-4=0.

故选：B.

7.（2023・河南开封•开封高中校考模拟预测）已知曲线。的方程为一+），2-2犬+4），-1=0,曲线C关于点g,⑼的对

称曲线为C,若以曲线C与两坐标轴的交点为顶点的四边形面积为46，则〃［的值为（）

A.-1B.1C.0或一2D.0

【答案】C

【分析】根据给定条件，求出曲线C的方程，再判断原点与曲线C的位置关系，结合四边形面积求出弦长作答.

【详解】曲线C：。-1）2+（），+2）2=6是以点C。,-2）为圆心，而为半径的圆，

甘汆乐4以，火

点C(l,-2)关于点g,⑼的对称点。(0,2帆+2),则曲线C是以点C为圆心，瓜为半径的圆，

圆C的方程为V+()，-2m-2>=6,圆C与两坐标轴各有两个交点，又圆C'的圆心在y轴上，则原点必在圆C'内,

因此I员IC'的内接四边形两条对角线互相垂直，其中一条对角线长为2而，设另一条对角线长为“,

于是:〃-26=46,解得〃=2&，因此圆。'截x轴所得弦长为〃=2立，

22

在M一2『二6中，令1y=。得，x=6-(2m+2),即|x|=j6-(2/〃+2)2，

从而小6-(2〃?+2)’=夜，解得，〃=。或，〃=-2,

所以加的值为。或-2.

故选：C

8.(2023•陕西西安•统考一模)已知双曲线C：三一.=1(。>0力>0)的左、右焦点分别为%,K，过士的直线与

圆f+y2=/相切于点。，与双曲线的右支交于点P,若线段PQ的垂直平分线恰好过右焦点用，则双曲线。的离

心率为()

A.叵B.巫C.在

232

【答案】A

【分析】根据题意画出草图，由题意。为6E的中点可得WQRMQIJM玛l=2|OQ|,求出|石。|=力，即可得至

1^；1,根据双曲线定义推得PF；长度，在直角三角形RI互"P中用勾股定理即可找到。之间的关系，即可求得离

心率.

【详解】设］■-£=1(4>02>0)的焦距为2c,则耳(一。,0),4(c,0)

由题意过F、的直线与圆X2+V=/相刃于点Q,连接OQ,则OQ±FF,

连接26,设M为PQ的中点，则用八1PQ,：.MFZ±PF、，则OQ〃MF2,

因为。为耳玛的中点,故。为为M的中点,即IEQ为MQIJM玛|=2|OQ|,

在RtVOQK中，1。匕|=。，|。。1=〃，故|Jc"万=。，

则|MQ|=〃，由于M为PQ的中点，所以IM尸1=》,

即|P耳上舫,

在双曲线5-左=1中，。在右支上，有1mH"1=2%

所以|明|=3占-2%又|用入|=2|OQ|=2〃，

所以在Rt.中，|M以『+1MPfw『，即4a2+从=2a了,

F2MpPF2

化简得8/=12",.・心=工

a2

故双曲线的离心率为e=£

a

故选：A

【点睛】关键点点睛：要求双曲线的离心率，即要求出之间的关系，因而解答本题时，根据题意推出相关线

段的长，特别是IP甲,|尸61,继而在RtEMP中应用勾股定理即是关键所在.

二、多选题

9.(2023•山东荷泽•统考一模)已知圆O:F+)，2=4,下列说法正确有()

A.对于V"?eR,直线(2m+l)x+W+l)y-77M-4=0与圆。都有两个公共点

B.圆。与动圆C:(x-Q2+(),_6Q2=4有四条公切线的充要条件是闵>2

C.过直线x+y-4=0上任意一点尸作圆。的两条切线(AB为切点)，则四边形必OA的面积的最小值为4

D.圆。上存在三点到直线x+)=2=0距离均为1

【答案】BC

【分析】对于选项A,转化为判断直线恒过的定点与圆的位置关系即可：对于选项B,转化为两圆外离，运用几何

法求解即可；对于选项C,由，A08=2SQ针=2板布工，转化为求IOPI最小值即可；对于选项D,设圆心到直线

的距离为力比较r-〃与1的关系即可.

【详解】对于诜项A,因为(2〃?+l)x+Q〃+l)y-7"L4=(),即：/n(2x+y-7)+x+y-4=0,

_2x+y-7=0fx=3+…,一

所以一，八=一所以直线恒过定点(3,1),

又因为32+->4,所以定点(3,1)在圆。外，

所以直线(2，〃+1»+(〃?+1))，-7川-4=0与圆。可能相交、相切、相高，即交点个数可能为0个、1个、2个.故选项

A错误；

对于选项B,因为圆O与动圆。有.4条公切线，所以圆O与圆。相离，

答案笫6页，共31页

又因为圆。的圆心50,0）,半径4=2,圆。的圆心C（A,血），半径々=2,

所以IOCAq+弓，即：J炉+（限）2>4,解得：伙1>2.故选项B正确;

对于选项C,SpM=2s.p=2xJx1041x|PA|=2x：x1041x^OPf-\OAf=2』OPf-4,

又因为。到P的距离的最小值为o到直线x+y-4=0的距离，即：|0Plmm=*=2&,

所以四边形%OB的面积的最小值为25（2忘>-4=4.故选项C正确;

2

对于选项D,因为圆。的圆心0（0,0）,半径4=2,则圆心O至|」直线x+y—2=。的艮巨离为，■夜■夜,

所以/;-d=2-a<1,所以圆。上存在两点到直线"+）=2=0的距离为1.故选项D错误.

故选：BC.

10.（2023・广东佛山・统考一模）设单位圆O与x轴的左、右交点分别为A、B,直线/：xcos6-），sin，+l=0（其中

0<6<兀）分别与直线x+l=0、工-1=0交于C、。两点，贝IJ（）

A.””时，/的倾斜角为?

3o

B.兀），点A、8到/的距离之和为定值

C.三，«。,兀），使/与圆。无公共点

D.V6e（O,兀），恒有OC_L。。

【答案】BD

【分析】对于A：首先得到直线的斜率，即可求出直线的倾斜角，从而判断A,对于B,分别求出点A、8到直线/

的距离，再求和即可，求出坐标原点。到直线/的距离，即可判断C,求出C,。点坐标，再求出0C0。，即可判

断D.

【详解】解：依题意A（T,0）,8（1,0）,

对于A：当时直线/：xcos=-ysinM+l=O,即」工_立）：+i=o,

33322

所以直线/的斜率&=-3，所以直线/的倾斜角为手，故A错误；

36

对于B：点A到直线/的距离4==|-cose+1|,

Jco"+sin2。

点B到直线/的距离乩=7尔。+”=|cos夕+1],

"Vcos26>+sin2<9

所以点A、8到直线/的距离之和为“=Rose+1|+|cose+1|,

因为夕€（0,兀），所以cos。t（一1,1）,所以d=-cose+l+cosO+l=2.

即对\/。£（0,兀），点A、8到直线/的距离之和为定值2,故B正确:

对于C坐标原点。到直线，的距离"=

所以直线/与单位圆相切，即直线/与单位圆必有一个交点，故C错误;

对于D：对于直线/：xcos6-），sin0+l=0,令4-1,解得丁=二^”1,

sin。

.,E/aCOS0+1

令Al，解得),=

-cos^+1(cosO+l、

T---：~~—

sin，Isin0J

所以OC=T*cos0+1)

,0D='sin<9J

匕亡2八厂cn,cos0+1-cos0+l,1-cos20,sin~0山“。

所以。CO/)=-l+—-----——=^\+——-=^\+--=0n所以OC_L。。，

sin夕sindsin_0sin"0f

即ve«o,7i）,恒有ocj.o。，故D正确;

故选：BD

11.（2023.全国•模拟预测）设直线/：（。一%）工+力一。=0,He：（x-2）2+r=r2（r>0）,若直线/与圆C恒有两

个公共点A,B,则下列说法正确的是（）

A.r的取值范围是[石，+8）

B.若r的值固定不变，则当2〃-3b=0时NACB最小

C.若「的值固定不变，则.48C的面积的最大值为3八

D.若/*=3,则当A8C的面积最大时直线/的斜率为1或;

【答案】BD

【分析】A选项，先整理直线方程，得到直线过的定点，再根据直线与圆的位置关系得到半径厂的范围；B选项，

利用平面几何知识分析出当/_LPC时./ACB最小，再利用斜率之间的关系即可判断；C选项，先将A8C的面枳

用半径r和圆心C到直线/的距离d表示，再利用二次函数的知识求最佰即可：D诜项，利用C诜项得到半径「和

圆心C到直线/的距离d之间的关系，再利用点到直线的距离公式建立方程，求得“，力之间的关系，即可得到结果.

【详解】A选项：因为直线/：（a-2b）x+by-a=0,即a（x—l）-02x-），）=O,

x=\

，解得《今

[y=2

所以直线/过定点*1,2）,

答案笫8页，共31页

因为直线/与圆。恒有两个公共点,

所以厂＞仍。=石，故A错误；

B选项：因为直线/过定点P0,2）,

所以当/_LPC时，NACB最小，

因为与°=-2,所以此时直线/的斜率为g,

即:炉=（，即2。—劝=0,故B正确；

b2

C选项；设圆心C到直线/的距离为4,

则ABC的面积S=；.d.|A8|=d/户-虐=J-不+产小

因为0414石，所以04辟工5,

①兴，即则当小。寸，

A8C的面积最大，且

②若匚＞5,即Q痴，则函数S随着d的增大而增大，所以黑”＞即一25,

2

综上A8C的面积的最大值为或历7万，故C错误;

/°4M（a-AbY9

D选项：由当，=与号时的面积最大’因为公而RT'所以看M=5'整理

得7，_20（必+13从=0,所以a=b或。=1人，

因为/冲（）,所以直线/的斜率2=2-%，所以2=1或4=；,故D正确.

故选：BD.

【点睛】关键点点睛：求解本题的关键：（1）整理直线方程，得到直线过的定点的坐标；（2）熟练掌握直线与圆的

位置关系，并能利用平面几何知识分析出圆心角何时最小.

12.（2023・辽宁沈阳•统考一模）已知圆C:（x—iy+（y—2）2=2,点M是直线/：），=r-1上的动点，过点M作圆C

的两条切线，切点分别为A、8,则下列说法止确的是（）

A.切线长|MA|的最小值为几

B.四边形AC8M面积的最小值为2#

C.若P。是圆C的一条直径，则MP•何。的最小值为7

D.直线八3恒过定点2

【答案】ABD

【分析】利用勾股定理可求得切线长的最小值，可判断A选项；利用三角形的面积公式可判断B选项；利用

平面向最数最积的运算性质以及的最小值，可判断C选项；设点求出直线AB的方程，可求得直线A8

恒过定点的坐标，可判断D选项.

【详解】圆心为。(1,2),圆C的半径为「=&,由圆的几何性质可知，M4_LAC,MI31I3C.

对于A选项，[M4|=—0=JMC|2_2,

当MC_L/时，取最小值，且|MC而n=L!^=2夜，

所以，|历4|二和而二^之=A对：

对于B选项，由切线长定理可知，|M4|二|M四，m€]=忸。|,|MC|=|A7C|,

所以，AMACQAMBC,所以，S四这形„=254咏=1设4|伽。=必幽2&又6二2百，B对；

对于C选项，易知C为PQ的中点，MP-M(?=(MC+CP)•(MC+CQ)=(MC4-CP)•(MC-CP)=MC?-CP'

=陷2-228-2=6,C错；

对于D选项，设点M(E,〃)，则〃=-m-1,

线段的中点为《等，等)|ECf=(呼—]j+(等_2J=2『，

所以，以MC为直径的圆E的方程为(x—笥1j+0—等j=(加7)；5—2丫,

即圆E的方程为X2+y2一("?+1)X-(〃+2)y+"2+2〃=0,

将圆E的方程与圆C的方程作差可得卜〃-1)%+(〃-2))，-3-6-2〃=0,

即(/〃一1)1一(m+3))，+〃7+5=0,故直线A8的方程为("[-1)%—("?+3))，+〃?+5=0,

变形可得〃z(x-y+l)-(x+3y-5)=0.

1

fA：-y+l=O-7门3、

由；<八可得3所以，直线A8恒过定点彳，彳,口对.

x+3y-5=O31227

尸5

故选：ABD.

三、填空题

13.(2023•宁夏银川•六盘山高级中学校考一模)圆心在直线x+y=0上，且过点(。，2),(-4,0)的圆的标准方程为

答案第10页，共31页

【答案】(x+3)2+(y-3)2=10

【分析】先求得点（。，2）与点（-4,0）确定线段的中垂线，再根据直线x+y=。匕两方程联立求得圆心，从而得到圆

的半径即可.

【详解】解：点（。，2）与点（-4,0）确定直线的斜率为4=言号=3,其中点为（-2,1）,

所以线段的中垂线方程为）」1=-2（X+2）,即2x+），+3=0,

又圆心在直线x+y=O上，

2x+)，+3=0

解得

x+j=0〔)=3

所以圆心为(一3,3),r=7(-3)2+(3-2)2=x/10,

所以圆的标准方程为（x+3）2+（y-3尸=10,

故答案为：（x+3）'+（y-3）2=10

14.（2023•江西赣州・统考一模）已知函数），=1+1强,（2-力（〃>0且"1）的图像恒过定点尸，且点尸在圆

/+/+〃氏+〃?=（）外，则符合条件的整数机的取值可以为.（写出一个值即可）

【答案】5（不唯一，取〃?>4的整数即可）

【分析】先求定点尸的坐标，结合点在圆外以及圆的限制条件可得加的取值.

【详解】因为函数）=1+1。8〃（2-力的图像恒过定点（1,1）,所以尸（L1）；

因为点尸在圆x2++〃优+m=0外，

所以『+F+m+m>0月〃〃*一4帆>0,解得一1vv0或"?>4；

又“为整数，所以加的取值可以为5,6,7,•.

故答案为：5（不唯一，取〃?>4的整数即可）.

15.（2023,黑龙江•黑龙江实验中学校考一模）占希腊数学家阿波罗尼斯发现如卜.结论：“平面内到两个定点A,8的

距离之比为定值啾旭工1）的点的轨迹是圆”.在平面直角坐标系中,已知点A（-2,1）,3（1,1）,点尸满足号=应,设

点夕的轨迹为圆例,点M为圆心，若直线/1：3+丁+《=0与圆”相交于46两点,且。6=2厢，则。=.

【答案】T或-9

【分析】设点夕（乂），），由二=及求出圆M方程，根据4截圆弦长OG=2j证求得c值.

PAL

【详解】设点P*，y)，点产满足黑=血,

rn

・•・7(x-2)2+(y-l)2=V27(X-1)2+(J-I)2，

化为:。-4)2+()，-1)2=18,即点尸的轨迹圆M,圆心M(4,l),半径r=3夜.

14+1+，•II/■+51

圆心M(4,1)到直线/):x+y+c=O的距离d=-币—=币,

，|DG\=2y]r-d2=2>/10，

・・.18-3^=10,解得c=T或-9

2

故答案为：7或-9

16.(2023•河南•校联考模拟预测)圆M:/+9+2%-8=0与x轴交于两点(A在B的左侧)，点N满足喘=2,

INb\

直线/:y=履+m(k>0)与圆M和点N的轨迹同时相切，则直线/的斜率为.

【答案】近

12

【分析】求出入、8坐标，设M”,y)，求出N的轨迹圆E的方程，作出图象，利用圆的公切线的几何性质即可求其

斜率.

【详解】对于圆加：/+产+2工-8=0,令产0,得丁+2公8=0,解得x=T或x=2,

则A(-4,0),4(2,0).

设N(x,y),・・•相=2,・・・|24|=2|A固，

则J(x-4)2+)，2=2"x—2)2+y2,整理得(x—4)2+y2=i6,

则点N的轨迹是圆心为E(4,0),半径为R=4的圆.

又圆M的方程为(x+l)2+V=9,则圆M的圆心为(-1.0),半径为r=3.

74-3<4-(-1)<4+3,・•・两圆相交，

设直线/与圆M和点N轨谜圆E切点分别为CD,

连接C",DE,过M作。E的垂线，垂足为点F,则四边形COPM为矩形，

V|A/E|=5,\EF]=|DE|-|DF|=R-\CM\=4-3=1,：.\MF\=2yf6t

贝八@11//腔=图="，

\MF\12

则两圆公切线CO的斜率即为直线的斜率为在.

12

答案第12页，共31页

故答案为：业.

17.(2022•云南昆明•昆明一中模拟预测)已知点4-2,0),5(2,0),动点M满足A”.8•=0,点M的轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的轨迹方程；

(2)曲线C上任意一点N(不同于A,8)和点4,8的连线分别与)，轴交于P,。两点，。为坐标原点求证：

为定值.

【答案】⑴/+)，2=4

(2)证明见解析

【分析】(1)结合3M=0,由向量的坐标运算化简即可求解曲线C的轨迹方程；

(2)设N(2cosa2sin。)，分别由点斜式求出直线AN和百线8N的方程，令x=0可求|。儿|09,相乘即可求证.

【详解】(1)设点加(2),因为AM.8M=O,所以(x+2)(x-2)+y2=o,化简得寸+),2=4,所以曲线。的轨迹

方程为寸+)，2=4；

(2)设点N(2cose,2sin。)，

则直线AN的方程为产产%(x+2),令工=0得产器之，所以|OP卜上嘿，

2cos<9+2cos^+lcos^+1

直线8V的方程为产产%(公2),令尸0得尸当彳，所以|。。二号

2cos^-2cos夕一1cost/-!

所以|。神。。卜察言=4.

18.(2022.河南鹤壁.鹤壁高中校考模拟预测)已知圆C：(工-2f+)2=|,点p是直线/：x+)=0上一动点，过点夕

作圆C为切线24,PR,切点分别是A和A.

(1)试问直线48是否恒过定点，若是求出这个定点，若否说明理由；

(2)直线工-丁+〃7=。与圆。交于七，F两点,求0日0厂的取值范围(。为坐标原点).

【答案】(1)直线A8恒过定点弓,-3)

⑵[2,5+2&)

【分析】(1)由题可知，A,8在以PC为直径的圆上，利用两网方程，求得直线八8的方程，即可求解.

(2)直线与圆联立方程组，利用韦达定理解决取值范围.

【详解】⑴直线恒过定点(3泉-1?,

设Pa.T),由题意知A,笈在以PC为直径的圆上，又C(2,0),则以PC为直径的圆的方程为

(x-/)(.¥-2)+(y+/)(y-0)=0,即x2+y2-(t+2)x+ty'+2t=0,

2

又圆。：。一2尸+/2=1,Bpx+/-4x+3=0,

两式相减，故直线AB的方程为(2T)"[-3+2/=0,即2%-3-心-)，-2)=0,

2x-3=03131

由——，解得产为y=V，即直线AB恒过定点(*-$,

(2)由卜”一2)+r=1,消去y,得2X2+(2〃L4)X+，/+3=0,

x-y+m=0

直线与圆交于E,”两点，A=(2m-4)2-8(/n24-3)=-4ni2-16/n-8>0,

解得—2—>/2<HI<—2+\/2，

设E&、yJ,尸。2，必)，

由韦达定理，有内+W=2-m，百・42=’“；3,

OE-OF=X1•x2+y•%=再W+(西+旭)•(42+"0

=2X(X2+〃《玉十)十〃/

cnr+3j、2

=2x---+rn(2-m)+rn~

=m2+2m+3

设/(加=>+2〃?++2-/v〃?v-2+夜)，由二次函数的性质可知，/(附的图像抛物线开口向上，对称轴方程为

m=-i,/(⑼在(-2-衣-1)上单调递减，在(-1,-2+⑹上单调递增，/(-1)</(,»)</(-2-V2),

2</(/«)<5十2yf2

OEOF的取值范围为[2,5+2及).

【提能力】

答案第14页，共31页

一、单选题

19.(2023•甘肃兰州・兰州五十九中校考模拟预测)在平面直角坐标系xQv中，已知圆C：小+V一以=0及点A(一

1,0),5(1,2),在圆C上存在点P,使得附F+|p砰=12,则点P的人数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】设P(XJ)，由附「+|依广=12求得/，点轨迹是圆，又P在已知圆上，判断出两圆相交后可得尸点个数.

【详解】设小印),则(为-2>+y=4,|B4|24-|P512=(x4-l)2+(y-O)2+(x-l)2+(y-2)2=12,即/+1—2y—3=0,

即9+b-1)2=4,圆心为(0,1),半径为2,又圆C圆心为(2,0),半径为2,

因为|2—2|vJ(2_O)2+(O—1)2<2+2,

所以圆a—2)2+.F=4与圆/+()，-1F=4相交，所以点P的个数为2.

故选：B.

20.(2023•山东潍坊•校考一模)已知平面向量4九c满足|。|=|力|=。2=2,且(h-c),(2b-c)=U,则|a-2c|的最大

值为()

A.77+2B.2币+1C.>/7+1D.2b+2

【答案】D

【分析】根据题意，求出力>=。，建立平面直角坐标系，设c=(x,y),求出轨迹方程，利用几何意义即可求出

|a-2cl的最大值.

r1r1-Cl,hI-JT

【详解】rtl|a|=|5|=a%=2可知,cos<a・〃>=―—―=—,故va»>=彳，

如图建立坐标系，«=(2,0),/?=(1.>/3),

设c=(x,y),由(〃-c).(2/?-c)=0可得:

x2-3J+2+y~-+6=0==1,

所以c=«y)的终点在以为圆心,1为半径的圆上，

所以|a-2cl=2；a-c,几何意义为国,)到(L0)距离的2倍，

由儿何意义可知|。-24=2

IImax

故选：D.

21.(2023•浙江•永嘉中学校联考模拟预测)已知直角ABC的直角顶点A在圆。:(.L3)2+()，-2)2=1上，若点

B(-1,0),C(aO),则。的取值范围为()

-121711417'14161416

C.D.

5333

【答案】C

【分析】根据圆的性质，结合圆与圆的位置关系进行求解即可.

【详解】因为圆。:(4-3)2+(＞-2)2=1的圆心坐标为(3,2),半径为1,直角ABC的直角顶点A在圆

D:(x-3)2+(y-2)2=l±,

所以有。＞一1,

因为直角乂8c的直角顶点为A,

所以点A在以BC为直径的圆上，因此圆心坐标为(胃,。］,半径为券，

因为点A在圆D:(x-3)2+(y-2)2=l±,

所以这两个圆位置关系为相交或内切或外切，

所以有卜等卜《3_m,+(2叫等口詈

故选：C

22.(2023・全国•校联考模拟预测)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数

学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内为两个定点的距离之比为定值以人＞。，且人工1)的点的轨迹是圆，此圆被

称为“阿波罗尼斯町’.在平面直角坐标系xQy中，4(-2.0),以4.0),点户满足周=：.设点P的轨迹为曲线C,则下列

说法错误的是()

A.。的方程为。+4)2+)尸=16

B.当儿仇尸三点不共线时，则=

答案第16页，共31页

C.在C上存在点M,使得|MO|=2|M4|

D.若仇2,2),则|冏+2］卬的最小值为46

【答案】C

【分析】根据已知条件及两点之间的距离公式，利用三角形的角平分线定理及圆与圆的位置关系，结合三点共线时

线段取得最短即可求解.

【详解】设尸(x,y),由黑=!，得也化简得3+4)2+y2=i6,故A正确；

\PB\2^(x-4)'+y22

当A&P三点不共线时，制=；=瑞，所以P。是NAPB的角平分线，所以NAPO=N8PO,故B正确；

设加(内),则/2+>2=2而+2)』2,化简得(X+g)2+/=?,因为J(-4+»)2+(0—0『」<4—所以。

39V333

上不存在点M,使得|MO|=2|MA|,故C错

误；

因为需=3,所以I冏=2|削，所以|叫+2|叫=2|/科+2|叫22|4)|二4后，当且仅当尸在线段AO上时，等

号成立，故D正确.

故选：C.

23.(2023•全国•模拟预测)已知点P是圆。:卜-6丫+(y-3)2=4上一点，若点。到直线),=瓜一2的距离为1,

则满足条件的点尸的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据圆心到直线的距离即可求解.

【详解】由题意可知圆心为。(63),所以。(6,3)到y=Gx-2的距离为公回［_2：2|=1，故与直线

>=2平行且过圆心的直线与圆用交的两个交点即为满足条件的点P,此时有两个，又圆的半径为2,故当过

圆心且与y=Gx-2垂直的直线与圆的卜.半部分相交的一个点也符合，故共有3个.

故选:C

24.（2023・四川凉山•统考一模）已知/为抛物线7：./=2〃叱〃>0）的焦点，过尸作垂直工轴的直线交抛物线于M、

N两点,以MN为直径的圆交了轴于C,O两点，若|CQ|=2X/5,则T的方程为（）

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=243xD.y2=6x

【答案】B

【分析】由题意可知圆是以焦点为圆心，〃为半径的圆，根据弦长公式即得.

【详解】由题可知尸（5,0）,由”=三，可得丁=〃2,

所以|MV卜2p,所以以MN为直径的圆的半径是〃，圆心为「（多0）,

所以©+（乎）=/，P>°，

解得P=2,

所以抛物线方程y2=4x.

故选：B.

25.（2023・湖南长沙•统考一模）在平面直角坐标系xOy中，已知A（3,0）,8（0j）（，>0）,若该平面中存在点尸,同时满足

两个条件|/嘴+2|PO『=12与|PO|=&归外则/的取值范围是（）

2

C.忤—谆+,D.1°,冬多收

【答案】D

【分析】设出点P坐标，根据|%f+2|PO『=12,求出点P的轨迹方程根据归。=&归目,可求出点尸的另一个轨迹方

程，只需这两个方程的曲线无交点即可,利用圆与圆的位置关系列出等式求出范围即可.

【详解】解:由题知，不妨设尸（X,y）,

因为1pAi2+2|PO「=12,

答案第18页,共31页

所以(x-3)2+y2+2(f+y)=i2,

化简可得："一1f+/=2,

故点P在以（1,0）为圆心，夜为半径的圆匕

又因为|尸0|=夜|心|,

所以yjx2+y2=5/2-\]x2+（y-t）2,

化简可得：/十（），_力）2=2汽

即点尸在以（0,2/）为圆心，"为半径的圆上,

故若存在点P,只需圆（x—l）2+）/=2与圆9+（）,_2/『=2/有交点即可,

即-坪/+（2/『</+丹

同时平方化简可得：l-4Y2/KI+4f,

2r2+4/-l>0日一&*+1.

，解得:

2r2-4r-l<0

所以不存在点夕时，空逅+1或0</〈直-1.

22

故选:D

26.（2022•北京•统考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点P在直线/：x+3.y=0上，且点P在第四象限，点

O（O,-VlO）.以尸Q为直径的圆。与直线/的另外一个交点为7,满足则圆。的直径为（）

A.力B,272C.2石D.3亚

【答案】D

【分析】根据题意作出符合题意的图形，判断出直径归。=&|&求出j噜,一噜，利用两点间的距离公式

即可求解.

因为尸。为圆C的直径，所以

而C为圆心，所以|S二|CQ|.

又CTJ.PQ,所以三