期末复习（易错点28个60题）原卷版-2025-2026学年九年级数学上学期（浙教版）

期末复习（易错点28个60题）

考点一.二次函数的定义（共1小题）

1.如果函数y=（m-2）%m2-2+2%-7是二次函数，则〃?的取值范围是（）

A.w=±2B./〃=2

C.m=-2D.m为全体实数

考点二.二次函数的图象（共24、题）

k

2.函数y与y=-履2+左（后^）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

3.在同一平面直角坐标系中，一次函数旷=0什’和二次函数），=外2+。的图象大致为（）

考点三.二次函数图象与系数的关系（共3小题）

4.如图，已知二次函数y=a/+及+c（〃W0）的图象如图所示，有下列5个结论：①Mc>0；②b-a>c；

③4a+26+c>0；®3a>-c；®a+b>m（am+b）（〃]W1的实数）.其中正确结论的有（）

A.①②③B.②③⑤C.②③④D.③④⑤

1/30

5.如图，抛物线jMaN+Ar+c的对称轴是直线x=-I.且过点（弓，0）,有下列结论：①abc>0；②a-

2b+4c=0；③25a・10b+4c=0；④3%+2c>0；©a-b^m（am-b）；其中所有正确的结论

是.（填写正确结论的序号）

：

1

-

2

6.在平面直角坐标系xQ），中，已知抛物线y=『-2（A-1）X+P-1A«为常数）.

（1）若抛物线经过点（1,严），求k的值；

（2）若抛物线经过点（2k,vi）和点（2,及），且月>及，求〃的取值范围；

（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1&XW2时，新抛物线对应的函数有最小值

3

-2*求攵的值.

考点四.二次函数图象上点的坐标特征（共3小题）

7.已知二次函数j，=ax2・2avH（。<0）图象上三点4（-1,月），B（2,及）C（4,为），则以、及、

了3的大小关系为（）

A.为〈及〈乃B.y2<y\<y3C.y\<y^<y2D.yi<y\<y2

8.在直角坐标系中，点力的坐标为（3,0）,若抛物线》=9・r+〃・1与线段有且只有一个公共点,

则〃的取值范围为.

9.己知点4（X|,,B（冷，及）在抛物线》=/-3上，且0Vx|Vx2，则为力.（填或

或"="）

考点五.二次函数的最值（共2个题）

2/30

10.如图，已知二次函数y=（X+1）2-4,当-2WxW2时，则函数y的最小值和最大值（）

A.-3和5B.-4和5C.-4和-3D.-I和5

11.当时，二次函数产？-2以+3的最小值为-1,则a的值为（）

513

A.2B.±2C.2或彳D.2或.

Zo

考点六.待定系数法求二次函数解析式（共1小题）

12.已知二次函数y=，+bx+c（b,c为常数）的图象经过点力（-2,5）,对称轴为直线％=—"

（1）求二次函数的表达式；

（2）若点8（1,7）向上平移2个单位长度，向左平移胴（刖＞0）个单位长度后，恰好落在），=x2+bx+c

的图象上，求〃?的值；

9

（3）当-24W〃时，二次函数y=”+版+《的最大值与最小值的差为才求〃的取值范围.

考点土j抛物线与x轴的交点（共3小题）

13.将二次函数y=『-5.r-6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个

新图象，若直线y=2x+b与这个新图象有3个公共点，则Z）的值为（）

737369

B.一彳或2C.-12或2D.一丁或-12

A.■或-124

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14.已知函数j，=m『+3心+加-1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数〃?的值

为.

15.若抛物线j，=/-x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是.

考点八.二次函数与不等式（组）（共1小题）

16.如图，直线y=x+〃?和抛物线^=『+瓜+。都经过点力（1,0）和8（3,2）,不等式,d+及+e>x+〃？的

解集为.

考点九.一次附数的应用（共6小题）

17.如图，水池中心点。处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水

柱随之竖直上下平移，水柱落点与点。在同一水平面.安装师傅调试发现，喷头高2.5加时，水柱落点

距。点2.5/〃；喷头高4小时，水柱落点距。点3/〃.那么喷头高m时，水柱落点距O点4/〃.

18.16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖.火箭第一级运行路径形

如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行.

某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直

线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y=ad+x刃直线yn—'lr少.其中，当火箭运行的水

平距离为9A7〃时：自动引发火箭的第二级.

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（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6也2,

①直接写出a,b的值；

②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35心〃，求这两个位置之间的距离.

19.红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化.小明在春节前购进甲、乙两

种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每

对进价多9元.

（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价;

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（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2

对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润_＞，

元.

①求出y与x之间的函数解析式；

②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？

20.某景区旅游商店以20元/奴的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/粒，不高于

45元/粒.经市场调查发现每天的销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间的函数关系如图所示.

（1）求歹关于x的函数表达式；

（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？

【销售利润=（销售价格■采购价格）X销售量】

21.如图，是某公园的一-种水上娱乐项目.数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究.下面是

该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点4处沿水滑道下滑至点8处腾空飞出后落入水池.以地面

所在的水平线为x轴，过腾空点4与x轴垂直的直线为y轴，0为坐标原点，建立平面直角坐标系.他

们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分.根据测量和调查得到的数据和信

息，设计了以下三个问题，请弥解决.

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（1）如图1,点4与地面的距离为2米，水滑道最低点。与地面的距离为5米，点C到点6的水平距离

为3米，则水滑道ACB所在抛物线的解析式为

（2）如图1,腾空点8与对面水池边缘的水平距离0£=12米，人腾空后的落点。与水池边缘的安全距

离DE不少于3米.若某人腾空后的路径形成的抛物线8。恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称.

①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式；

②此人腾空飞出后的落点。是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；

（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固.如图2,水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑

道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN,另一条是点“与点8之间连接支撑的钢架BM.现在需要

在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与8M平行，且与水滑道有唯一公共点，一

端固定在钢架上，另一端固定在地面上.请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）.

22.如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器.将发石车置于山坡底部。处，以点。为原点,

水平方向为x轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路

线可以近似看作抛物线y=a（,「20）2+4的一部分，山坡Q4上有一堵防御墙，其竖直截面为力ACQ,

墙宽8c=2米，8c与x轴平行，点4与点O的水平距离为28米、垂直距离为6米.已知发射石块在

空中飞行的最大高度为10米.

7/30

图2

（1）求抛物线的解析式；

（2）试通过计算说明石块能否飞越防御增；

考点十.二次函数综合题（共9个题）

23.如图所示，抛物线y=『+bx+c经过力、8两点，A.8两点的坐标分别为（-1,0）、（0,-3）.

（I）求抛物线的函数解析式；

（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点。为y轴上一点，且DC=DE,求出

点D的坐标；

8/30

(3)在第二问的条件下，在直线QE上存在点P,使得以CD、P为顶点的三角形与△QOC相似，请

你直接写出所有满足条件的点。的坐标.

24.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=a/+日经过/(%()),4(1,4)两点.夕是抛物线上一

点,且在直线48的上方.

(1)求抛物线的解析式：

(2)若面积是△P48面积的2倍，求点P的坐标；

(3)如图，0P交/iB于点C,PD〃BO交AB于点、D.记△CQP,△CP4,△CAO的面积分别为S|,

SiS2

S2,$3.判断不+不是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

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25.如图，在平面直角坐标系中，二次函数丁=/+瓜+。交x轴于点/(-4,0)、B(2,0),交y轴于

点C(0,6),在y轴上有一点E(0,-2),连接4E.

(1)求二次函数的表达式；

(2)若点。为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△4DE面积的最大值；

(3)抛物线对称轴上是否存在点P,使△/EP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有尸点的坐标，若

不存在，请说明理由.

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26.如图，已知抛物线卜=〃/+版+3（〃工0）经过点4（I,0）和点8（3,0）,与），轴交于点C.

（I）求此抛物线的解析式；

（2）若点Q是宜线8c下方的抛物线上一动点（不点8,C重合），过点尸作y轴的平行线交直线BC

于点。，设点P的横坐标为机.

①用含根的代数式表示线段PD的长.

②连接PC,求△P8。的面积最大时点尸的坐标.

11/30

(3)设抛物线的对称轴与8C交于点E,点M是抛物线的对称轴上一点，N为夕轴上一点，是否存在这

样的点M和点M使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标;

如果不存在，请说明理由.

22

27.如图，抛物线箕=一定2+丁+4与坐标轴分别交于4，B,C三点、,。是第一象限内抛物线上的一点旦

横坐标为〃

(1)力，B,C三点的坐标为，，•

(2)连接力P,交线段4C于点。，

八PD

①当。与x轴平行时，求弁的值；

PD

②当b与x轴不平行时，求;77的最大值；

12/30

（3）连接CP,是否存在点尸，使得N8CO+2NPC8=90°,若存在，求〃?的值，若不存在，请说明理

4

28.如图，抛物线》=—充2+^+4与x轴交于力（-3,0）,B两点,与y轴交于点C.

（1）求抛物线解析式及8,。两点坐标；

（2）以4B,C,力为顶点的四边形是平行四边形，求点/）坐标；

（3）该抛物线对称轴上是否存在点凡使得N/CE=45°,若存在，求出点石的坐标；若不存在，请说

明理由.

13/30

29.如图，已知抛物线y=x2-x-2交x轴于力、B两点,将该抛物线位于x轴下方的部分沿轴翻折，其

余部分不变，得到的新图象记为“图象力"，图象匹交y轴于点C

(1)写出图象"位于线段AB上方部分对应的函数关系式；

(2)若直线y=・x+b与图象w有三个交点，请结合图象，直接写出台的值；

14/30

(3)0为x轴正半轴上一动点，过点尸作尸屈〃^轴交直线于点交图象力于点N,是否存在这

样的点P，使与△O4C相似？若存在，求出所有符合条件的点尸的坐标：若不存在，请说明理

由.

30.【定义与性质】

如图，记二次函数(x-Z))2+c和),=・。a・p)2%(awo)的图象分别为抛物线。和Q.

定义：若抛物线G的顶点0(p,q)在抛物线C上，则称C］是。的伴随抛物线.

15/30

性质：①•条抛物线有无数条伴随抛物线：

②若C1是。的伴随抛物线，则。也是G的伴随抛物线，即C的顶点产（〃，C）在G上.

【理解与运用】

（1）若二次函数y=-3（x-2）2+加和），=一3G-〃）2+3的图象都是抛物线的伴随抛物线,

则ni=,n=.

【思考与探究】

（2）设函数），=x2-2h+42+5的图象为抛物线。2・

①若函数），=-«+公+6的图象为抛物线。，且。2始终是G）的伴随抛物线，求d,e的值：

②在①的条件下，若抛物线。2与x轴有两个不同的交点（川，0）,（戈2,0）Cvi<x2），请直接写出

.V1的取值范围.

备用图

31.如图，抛物线丁=一*2+反+c与X轴交于点力和点4（4,0），与y轴交于点C（（）,4）,点£在抛

物线上.

16/30

（1）求抛物线的解析式:

（2）点E在第一象限内，过点E作芯/〃y轴，交4C于点凡作上〃〃x轴，交抛物线于点〃，点，在

点七的左侧，以线段EREH为邻边作矩形EFGH,当矩形EFG〃的周长为11时，求线段E4的长；

（3）点V在直线力。上，点W在平面内，当四边形OENA/是正方形时，请直接写出点NMJ坐标.

考点十一.展开图折叠成几何体（共1小题）

32.下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（）

17/30

考点十二.多边形内角与外角（共1小题）

33.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则/48C=度.

考点十三.点与圆的位置关系（共1小题）

34.如图，点48的坐标分别为4（2,0）,B（0,2）,点C为坐标平面内一点，8C=1,点M为线段

.4C的中点，连接。历，则0M的最大值为（）

L「ILL1

A.V2+1B.V2+-C.2>/2+1D.2或一不

考点I四.三角形的外接圆与外心（共1小题）

18/30

35.如图，在3X3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图

中的圆弧为格点△48C外接圆的一部分,小正方形边长为1,图中阴影部分的面枳为（

57575757

A.B.不一万c71-4D.

考点十五.切线的性质（共1小题）

36.如图，已知△48C内接于。0,48是。。的直径，点E在更上，过E作。。的切线，交力8的延长线

于点E若/BEF=/CAE.

（1）求证：力E平分N84C：

(2)若8"=10,EF=20,求ZC的长.

考点十六.切线的判定与性质（共1小题）

37.如图，48是。。的直径，点£。在。。上，点C是防的中点，力上垂直于过C点的直线QC,垂足

为D,48的延长线交直线。。于点F.

19/30

（1）求证：QC是。。的切线；

1

（2）若4E=2,sinZJFZ）=-,

①求OO的半径；

②求线段。E的长.

考点十七.扇形面积的计算（共1小题）

38.如图，在矩形48CQ中，分别以点力和。为圆心，力。长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点.若

・40=4,则图中阴影部分的面枳为（）

A.32-8nB.16V3-4TTC.32-411D.16V3-81T

考点十八.旋转的性质（共6小题）

39.如图，将△/4C绕点力逆时针旋转110°,得至IJZX/1QE,若点。落在线段5C的延长线上，则N8大小

为（)

20/30

A.30°B.35°C.40°D.45°

40.如图，在心△48。中，ZJC5=90°,AC=5cm,BC=\2cm,将△/BC绕点8顺时针旋转60°,得

到△8OE,连接。。交力8于点八则△力（7尸与aBQ尸的周长之和为cm.

41.如图，在△AB。中，48=6,将△48C绕点8按逆时针方向旋转30°后得到△小8。1,明阴影部分的

面积为•

42.如图，△O/5C是由△。44绕点。顺时针旋转40°后得到的图形，若点。恰好落在月8上，且4OC=

105°,则NC的度数是.

43.如图，长方形43C7）中力8=2,BC=4,正方形4EFG的边长为1.正方形NEFG绕点力旋转的过程中,

线段C厂的长的最小值为.

21/30

D

44.阅读下面材料，并解决问题:

（1）如图①等边△/4C内有一点P,若点尸到顶点4、B、。的距离分别为3,4,5,求的度数.

为了解决本题，我们可以将△/"。绕顶点力旋转到△4CP处，此时△4CP丝△力4P,这样就可以利

用旋转变换，将三条线段21、PB、0C转化到一个三角形中，从而求出/力28=；

（2）基本运用

请你利用笫（1）题的解答思想方法，解答卜.面问题

已知如图②，△/BC中，NCAB=90°,AB=AC,E、尸为8c上的点且/£4/=45°,求证：EF2=

BE2+FC2；

（3）能力提升

如图③，在RtZ\/14。中，ZJCZ?=90°,AC=\,ZABC=30°,点。为。内一点，连接力O,

BO,CO,且N,40C=NC04=N〃0/=120°,求。4+0〃+。。的值.

考点十九.比例的性质（共1小题）

ace13a—2c+e

45•若m=7则3b-2d+/'的值为（

22/30

1

A.-B.iC.1.5D.3

考点二十.平行线分线段成比例（共2小题）

46.如图，在△48C中，DE//BC,力。=6,DB=3,AE=4,则EC的长为（）

A.1B.2C.3D.4

AB2

47.如图，/I〃，2〃/3,直线小6与八、l＞，3分别相交于力、&。和点。、E、F.若行=不加E=4,则

2DCD

A.-B.-C.6D.10

考点二十一.相似三角形的性质（共2小题）

48.如图所示，若ADACs^ABC,则需满足（）

.2、ACABCDBC

AAD・DBB.ACBCCDD.

.5==*c.—CD=—DC

49.如图，在△ABC中，44=8CT«,BC=\6cm,点P从点/出发沿力〃边向点4以2c〃?/s的速度移动，点

。从点8出发沿〃。边向点C以4切曲的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后△PBQ和△48C

相似？

23/30

B

O

考点二十二.相似三角形的判定(共1小题)

50.如图，在等腰中，IBflOcm,BC~\()cm.点。由点才出发沿/〃方向向点〃匀速运动,

同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为\cmls.连接DE,设运动时间为/

(5)(0</<10),解答下列问题：

(1)当/为何值时，△8QE的面积为7.5°卅2：

(2)在点。，E的运动中，是否存在时间3使得石与A/IBC相似？若存在，请求出对应的时间匕

若不存在，请说明理由.

考点二十三.相似三角形的判定与性质(共1小题)

51.如图，力。是△力4c的中线，点七是线段/£)上的一点，且4E=CE交AB于点F.若力广=

2cm,则AB=cm.

24/30

考点二十四.位似变换（共1小题）

52.如图，百■线y='1r+l与x轴，》轴分别交干力、B两点,△80。与△夕O'C是以点力为位似中心

的位似图形，且相似比为1：2,则点夕的坐标为.

考点二十五.解直角三角形的应月-坡度坡角问题（共1小题）

53.如图，先锋村准备在坡角为a的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡

面上的距离48为（）

55

A.5cosaB.——C.5sinaD.

cosasina

考点二十六.解直角三角形的应月-仰角俯角问题（共3小题）

54.综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔.48前有•座高为。E的观景台，已知CQ=

6〃?，NDCE=30",点E,C,力在同一条水平直线上.某学习小组在观景台C处测得塔顶部4的仰角

为45°,在观景台。处测得塔顶部"