中考数学分类汇编：填空压轴典型题（解析版）

专题11填空压轴典型题

1.（2023•安徽）如图，O是坐标原点，RtAOAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB=2,ZAO4=30。,

反比例函数），=A（4>0）的图象经过斜边04的中点C.

x

（1）k=；

（2）。为该反比例函数图象上的一点，若DB//AC,则。夕-瓦）?的值为

【答案】（1）5（2）4

【详解】（1）在RtAOAB中，AB=2,NAO8=30°,

•.OB=4、OA=2B

八（2石,0）,4（2石,2）,

。是。8的中点，

..OC=BC=AC=2,

如图，过点C作C?J_O4于P,

在RtAOPC中，PC=y/0C2-0P2=x/4^3=l,

C（6,1）.

•反比例函数），=或（火>0）的图象经过斜边OB的中点C,

x

.•.1=4，

x/3

解得&=

故答案为：G.

（2）设直线AC的解析式为y+〃伏工0）,

以瓜+0=0

则

i6k1+b=\

解得一彳，

h=2

.•.4。的解析式为），=一1工+2,

ACUBD、

：.直线也）的解析式为y=-—x+4,

3

・点。既在反比例函数图象上，又在直线切上,

y--

:.联立得XL,

IT+4

X,=2>/3+3x=2必3

解得2

J=2-Gy2=2+\/3

当D的坐标为(2g+3,2—G)时,

fiZ)2=(2x/3+3-2>/3)2+(2->/3-2)2=9+3=12,

..OB2-BD2=16-12=4；

当D的坐标为(26-3,2+6)时，

=（26-3-2扬2+（2+石一2）2=9+3=12,

.•.。*一心=16-12=4；

综上，OB2-BD2=4.

故答案为:4.

2.（2022•安徽）如图，四边形ABC7）是正方形，点上在边4）上，ME尸是以上为直角顶点的等腰直角三

角形，EF,BF分别交CD于点M,N,过点尸作4）的垂线交A/）的延长线于点G.连接。尸，请完成

下列问题：

(1)/FDG=°；

(2)若OE=1,DF=2y/2,则MN=

15

【详解】由题知，M所是以石为直角顶点的等腰直角三角形,

/.ZA£B+ZGEF=90°,

•.ZA£B+ZABE=90°,

:.NGEF=ZABE,

在和4G/■中，

NGEF=ZABE

,ZA=NG=90。，

BE=EF

：.AABE=^GEF(AAS),

,\EG=AB=AD,GF=AE，

即DG+OE=AE+OE,

:.DG=AE,

:.DG=GF,

即ADG/；是等腰直角三角形，

.•.NFDG=45。,

故答案为：45°；

(2)•DE=\.DF=2V2,

由(1)知，ADG尸是等腰直角三角形,

；.DG=GF=2,AB=AD=CD=ED+DG=2+[=3,

延长GF交BC延长线于点H,

:ZDMs.GF,

MDED

"~GF~~EG'

即空」，

23

：.MD=-,

3

同理SBNCS&SFH,

.NCBC

即低=BC

GH-GFBC+CH

,NC_3

"3^2-3+2*

3

:.NC=-,

5

:.MN=CD-MD-NC=3-L-2=弛,

3515

故答案为：竺.

15

3.（2021•安徽）设抛物线），=Y+（a+i）x+4,其中。为实数.

（1）若抛物线经过点（-1,〃。，则〃?=—；

（2）将抛物线），=/+伍+|*+。向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是

【答案】（1）0；（2）2

【详解】（1）点代入抛物线解析式y=f+（a+l）x+〃，

得(一if+(a+l)x(-l)+a=〃7,解得〃z=0.

故答案为：0.

(2)y=f+(〃+l)x+a向上平移2个单位可得，y=f+(a+l)x+a+2,

/a+1、，1.八，一

y=（x+三-）--a3TV+2，

二抛物线顶点的纵坐标n=-'（a-1-+2,

4

,/--<0,

4

二.〃的最大值为2.

故答案为：2.

4.（2020•安徽）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCO沿过点A的直线折

叠，使得点8落在8上的点Q处.折痕为AP；再将APCQ,A4OQ分别沿PQ,4Q折叠，此时点C,D

落在”上的同一点R处.请完成下列探究：

（1）NPAQ的大小为°；

（2）当四边形APCD是平行四边形时，"的值为.

QR-

【答案】(1)30；(2)也

【详解】(I)由折叠的性质可得：/B=ZAQP,ND4Q=NQAP=/F4A,/DQA=ZAQR,ZCQP=NPQR,

ND=NARQ,NC=NQRP,

ZQRA+ZQRP=\S0°,

.-.ZD+ZC=180o,

/.AD/IBC,

.*.Zfi+Z^4B=180°，

ZDQR+/LCQR=\S00,

ZDQA+^CQP=90°,

:.ZAQP=90°,

NB=ZAQP=9。。，

/.Z£H^=90°，

ZDAQ=NQAP=4PAB=30°,

故答案为：30：

（2）由折叠的性质可得：AL）=AjR,CP=PR,

四边形APO?是平行四边形，

/.AD=PC,

..AR=PR，

又・ZAQP=90。,

：.QR=^AP,

•/Z^4B=30°,4=90。，

:.AP=2PR,AB=y/iPB,

，:."PB=sQR,

OR

故答案为：x/3.

5.（2019•安徽）在平面直角坐标系中，垂直于1轴的直线,分别与函数），=工-。+1和），=/-2℃的图象相

交于P，Q两点.若平移直线/,可以使P,。都在x轴的下方，则实数。的取值范围是—•

【答案】〃<-1或4>1；

【详解】•・・¥移直线/,可以使尸，Q都在x轴的下方，

令y=x-a+l<0,

.♦./<一1+。，

令¥=/-2ax<0,

当白>0时，0vxv2a；当avO时，勿<xv0：

①当a>0时，xv-1+a与0vxv勿有解，则

②当avO时，工<一1+4与勿〈不〈0有解，a>2a则av-l；

ci<-1；

故答案为或a>l;

6.（2023•蜀山区校级一模）已知一元二次方程以2+/状+°=0的两根是一［和2,则抛物线），=加2一。丫+。的

对称轴为.

【答案】直线x=

2

【详解】•,,一元二次方程"+法+c=0的两根是-1和2,

-1+2=——,BP—=-1,

aa

抛物线丁=/状2-ax+c的对称轴为直线工=——-=—=

2b2b2

故答案为：直线“=

2

7.(2023•瑶海区一模)在同一平面直角坐标系中，已知函数,=以2+辰，乃=如+以必，0),函数为的

图象经过方的顶点.请完成下列探究：

(1)函数y=。炉+/忒的对称轴为；

(2)若々>0,当y>)，2时，自变量x的取值范围是.

【答案】(1)直线人=1；(2)x>2或人<1

【详解】(1),,,y,=ax2+bx=a(x+—)2--，

2a4a

.•.函数方的顶点为(-2,

2a4a

.,函数乃的图象经过X的顶点，

丝=&_2)+力，即方=一£.,

4a2ala

,abwU,

-b=2a>

：.函数H=加x的对称轴为直线x==1.

+bla

故答案为：直线x=l；

②•.h=-2a,

2

j|—ax—2ax—cvc(x—2),y2=ax—2a,

当K>为时，则Y-)3=a*-2)(%-1)>0.

,/«>0,

x-2>0„[x-2<0

/.或(,

x-l>0x-l<()

解得x>2或xv1.

.•.若a＞0,当时，自变量X的取值范围是工＞2或xvl.

故答案为：刀＞2或不＜1.

方法二：

•.•函数y•经过原点，且对称轴为直线x=l.

，抛物线与X轴的另一个交点为Q,0)，

函数外的图象与X的交TA-轴上一点(2,0),

.•.若。＞0,当凹＞为时，自变量x的取值范围是x＞2或xvl.

8.(2023•合肥一模)如图.已知正方形纸片A8CZ)的边AB=4,点P在AD边上，将NA沿8P折叠，点A

的应点为A'.

(1)若AO//5P时，Q4的长为；

(2)若点A'到边"＞或的距离为1,则线段小的长为

【答案】(1)2；(2)9近或㊁后

75

【详解】(1)在正方形ABC。中，AD=AB=4^

根据折售可知，ZAPB=ZAPB,PA=PA,

，.A'D//BP,

:.%PB=/PND,

NAPB+NAPB=NPAD+NPDN,

:.^PAD=ZPDA,

:.PK=PD,

:.PA=PD，

,AD=4>

：.AP=2,

故答案为：2；

(2)过点H作AE_LAD于点石，延长£4,交8c于点/，如图所示:

则ZAE4'=NOE4'=90。，

在正方形A8CZ)中，ZC=ZCZM=90°.AD=CD=AB=4,

二四边形£FCD是矩形，

..N£FC=90°,EF=CD=4,ED=CF,

AE=BF,REFB=W,

点A'到边4)或5c的距离为1,分情况讨论：

①当AE=1时，

则A尸=4-1=3,

根据折置可知，A8=AB=4，AP=AP,

在R/Z\AM中，根据勾股定理，BF=y)42-32=x/7,

1.AE=BF=A/7,

设=

在A庄中，根据勾股定理，X2=(V7-A-)2+12，

解得％=生夕，

7

4>/7

二.PnA4=---,

7

②当A尸=1时,

则#E=3,

在尸中，根据勾股定理，BF=x/42-12=715,

AE=BF=V15,

设AP=AO=〃？，

在RfZXAPE中，根据勾股定理，机;（岳-“）2+32,

解得m=V15，

:.PA=^4\5,

综上所述，期的长为士J7或士而,

75

故答案为：3a或士厉.

75

9.（2023•庐阳区校级一模）己知〃、b、c、d四个数满足：,d=2ci+3b+4c,其中〃、

234

b、c为非负数.

（1）若a=〃，则c=；

（2）d可取的整数有一个.

【答案】（1）生；（2）15

5

【详解】（1）设且=T=3=女，则a=2Z,。=4一34，c=4攵+2.

234

•/a=b,

:.2k=4-3k.

:.k=-.

5

,，c.426

.\c=4A:+2=4x-+2=—.

55

故答案为：—.

5

（2）由（1）得，a=2k,b=4-3k,c=4攵+2.

.•.d=2i+3Z?+4c=4k+12-9&+16攵+8=1出+20.

,.,a、b、c为非负数，

4

.'.OM

.•.2阖心+2034-.

」.d可取的整数有20或21或22或23或24或25或26或27或28或29或30或31或32或33或34,共

15个.

故答案为：15.

10.(2023•合肥三模)在AA5c中，4。8=90。,人。=4。=正，将A44C绕点A逆时针旋转得到,

(1)如图，当4V落在45边上时，CM的长为

(2)当时，则AAQW的面积为.

【答案】(1)>/6；(2)1(75+1］或，(百—1)

22

【详解】(1)在AA4C中，ZACB=9()o.AC=AC=&,

/.AB=VAC2+BC2=J(J5)2+(J5)2=2,

由旋转的性质可知：AM=AB=2,NC4W=90°，

CM=JN+A”=J(扬2+2?=6,

故答案为：娓:

(2)设MC交AB于。，

①当M、C在直线/W两侧时，BM=AB=AM,

「.A4B例为等边三角形,

在MGW和/\BCM中，

AC=BC

、AM=5M,

CM=CM

AACM:ABCM(SSS),

「.CM垂直平分AB,

AC=BC=42,

CD=AD=\,AM=2,DM=x/3,

MCA/的面积为，(6+l)xl='(G+l):

22

②当M、。在直线AB同侧时，

在MO/和,CM中,

AC=BC

<AM=BM,

CM=CM

:.AACM合ABCMISSS),

:.BM=AB=AM,

延长MC交AB于点。，则M)_L/W于。，且〃。=百，

的而枳为的面积为‘6x2=6,

2

/.MCM的面枳为的面枳为！&：＜夜=1,

2

/.MOW的面积为'(6-1).

2

综上可知，AAOVf的面积为+或

22

故答案为：L(V5+I)或耳75-1).

22

11.(2023•庐阳区一模)正方形纸片ABCD中，E,尸分别是4?、C8上的点，且AE=C〃，CE交AF于

M.若E为AB中点、,则丝=；若NCM/=60。，则丝=

EM-----EM------

【答案】2；2+6

【详解】(1)连接8。，如图1,

.•四边形A8CD是正方形，

/.AB//CD,且AB=CD,

:.ZMEB=ZMCD,AMBE=^MDC，

.CMCD

"'EM~~BE'

•：E为AB中点,

CM八

——=2；

EM

(2)过点C作。VLA厂,交A/的延长线于点N,如图2,

在RtzXCMN中，ZCMF=60°,

“。CN小MN

,/sin60=-----，cos60=------，

CMCM

CW_75MN_I

'~CM~^2'CM=2'

即CW=2M7V,

YAE=CF,BA=BC,

:.BA—AE=BC-CF,

即BE=B尸,

RtAABF^RtACBE(SAS),

"AB=NECB,

，：ZAME=/CMF,AE=CF,

:.AAME^^CMF(AAS),

:.EM=FM,

•.ZAFB=^CFN,NB=NN=9(J。

:/；AB="CN，

:.ZMCF=^NCF^

过点尸作尸G_LCE于点G，

：.FG=FN,NFMG=NMCN，

CNFN

cos/FMG=cos/MCN=--=——

CMMr

CNx/3

-----=—，

CM2

FN

CM_2MN2(MF+FN)

~EM~EM~EM

MF=EM，

CM_2(E%.N)

"~EM~-EM

2EM+2FN

EM

、cFN

=2+2x——

FM

=2+2XT

=2+>/3.

故答案为：2：2+旧.

图2

12.（2023•合肥模拟）如图，在矩形AB=6,BC=4,2是矩形内部一动点，且满足NBC尸=NPDC,

则线段的最小值是：当取最小值时，OP延长线交线段AC于E,则CE的长为.

【详解】解：（1）「四边形A3CZ）矩形,

..48=90°，

:.ZBCP+ZDCP=90°,

、；NBCP=/PDC,

乙PDC十々PCD=90°，

：.NCPD=%中,

以C£)为直径作GO,OO经过点尸，连接03,交I。于尸，比时尸8长最小.

•.<?B2=BC2+CO2=424-3\

；.0B=5，

:.PB=OB-OP=5-3=2，

(2)作OF//BC交DE于F,

OC=OD,

：.DF=EF，

OF=-CE,

2

BEBP

7)F=~pd'

4-CE2

-CE§

2

:.CE=3.

故答案为：2；3.

13.（2023•蜀山区二模）在平行四边形人AC?）中，AB=4,AC=6,点E是AC边上的点，连接儿E,将AABE

沿AE翻折至A4庄，连接B.

（1）如图1,连接时，若点石为8c边中点，且CF=！A8时，则NAM=°；

2

（2）如图2,连接。尸，当点。、尸、£三点共线时，恰有NZX尸=ZA"\则C尸的长为

由翻折得：AE垂直平分3斤.

.•点E为5c边中点,

/.EG//FC.

NBFC=NBGE=9(r,

CF=LAB=2、BC=6,

2

BG=FG=、BF=2叵,

2

乙.BG2&72

cos乙4B尸==----=—，

A842

:.ZABF=45°，

故答案为：45：

(2)由翻折得：ZAFE^ZABE,AF=AI3=4,EF=BE,

••四边形48CZ)为平行四边形，

/.AD=BC=6,CD=AB=4,AD//1/BCAB//CD,

•/ZECD+ZB=180°，

ZDE4+ZAFE=180°,

即ZDM+ZB=180°,

:.ZECD=ZDFA,

、：ABIICD、

:.ZADF=/DEC,

在AAZ)产与△DEC中，

ZADF=/DEC

NDFA=NECD,

AF=DC

:,AADF^ADEC(AAS),

:.DE=AD=6,DF=EC,

:.DF=DE-EF=DE-BE=6-BE,

\-ADCF=ZADF,ZADF=ZDEC，

：.ZDCF=ZDEC,

•.•NCDF=/EDC.

；.9FCSADCE,

.CFDFDC

~EC~~DC~~DEf

CF6-BE_4

"(y-BE~4-6'

Q

/.6-BE=~,

3

“8416

CF=-x—=——,

369

故答案为：

9

14.(2023•蜀山区校级一模)已知点M(〃,力是抛物线y=d-4.r+5上一动点.

(1)当点M到)，轴的距离不大于1时，力的取值范围是一；

(2)当点M到直线x=〃?的距离不大于”(〃>0)时，〃的取值范围是5地10,贝卜〃+〃的值为

【答案】(1)2轴10：(2)0或5

【详解】(1)vy=x2-4x+5=。一2-+1,

抛物线开口向上，对称轴为直线x=2,顶点为(2』)，

函数有最小值1,

•.•点是抛物线y=f—is上，且点M到y轴的距离不大于1,

「.-1釉1,

—1时，y=10；x=l时，y=2,

.•.2釉10.

故答案为：2漱必10：

(2)当y=5时，则d—4x+5=5,解得x=0或x=4；

当y=10日寸，贝1」V一4工+5=10,解得x=5或x=-l；

,，的取值范围是5效b10,

/.-»0或4釉5,

「点M到直线x=w的距离不大于n(n>0),

.1a-m|„n,

/.a-〃4,〃或a-m.

/.in-i&im+n,

/.in+n的值为0或5.

故答案为：。或5.

15.(2023・瑶海区二模)氐八，\6(2中，ZC=90°,BE平分ZABC,点、F为BC中点,ZCBE=ZCAF,BC=2.

(1)写出一对相似三角形—；

(2)AC的长为____.

【答案】(1)^CBE^CAF；(2)V5

【详解】(I)•・・NC8£=NC4尸，NC=NC，

：.ACBE^CAF,

故答案为：&CBESACAF.

(2)7点/为3c中点，BC=2,

:.CF=BF=LBC=I,

2

设CE=x，

△BCESMCF，

BC=CE

AC-CF

心比£2

CEx

AC

过点石作EOJ_A/?于点。，如图,

则ZADE=/BDE=9(F,

BE平分ZABC,EC工BC，

:.DE=CE=x,

/.在RtABED和RtABEC中,

DE=CE

BE=BE

/.RtABED^RtABEC(HL),

；.BD=BC=2,

r)rx

在RtAADE中，4。=±±=二=1,

tanAx

AB=AD+BD=3,

在RtAABC中，由勾股定理得,

AC=jAB2-BC?=V32-22=x/5,

故答案为：旧.

16.(2023•包河区二模)RtAABC中，点。是斜边4?的中点.

(1)如图1,若。£_13c与E,O/：_L4C于尸，DE=3,DF=4,则43=

(2)如图2,若点P是CQ的中点，且CP=2,则2牙+而二

【答案】(1)10；(2)62.5

【详解】(1)•.OE_L8C,DF1AC,

ADEF=4DFC=ZACB=90°.

.•・四边形£＞比户为矩形，

:.DE=CF=3,

在RtADFC中，由勾股定理得，8=5,

丁点。是斜边的中点，

.\AB=2CD=\O,

故答案为：10：

(2)如图，过点。作OEJ.AC,DFA.AC,垂足分别为点七、F,过点P作尸G_LAC,PH±AC,垂

足分别为点G、H,则四边形CG夕〃为矩形，

:.PG=CH、CG=PH,

.•点D为RtAABC的斜边AB的中点,

:.CD=BD,

..BE=CE,

•.•点夕为CD的中点，DEIBC,PG上BC,

.••点G为CE的中点，^CE=2EG=2CG,

:.BE=CE=2EG，

:.BG=BE+EG=3EG=3CG=3PH,

同理可得A〃=3PG,

PAr+PB2=BG2+PG1+AH1+PH1=(3PH)2+PG2+(3PG)2+PH1=10x(|)2=62.5,

故答案为：62.5.

17.(2023•庐阳区二模)在正方形A3CD中，将绕点8逆时针旋转a得到比，连接.

(1)当a=60。时，ZBED=°；

(2)在8E上取点/，使EF=2M,连接C尸.若AB=6,当O°vav9O。时，/)E+CF的最小值为

【答案】(1)135；(2)2x/13

【详解】(1)如图，连接CE,

■.将BC绕点、B逆时针旋转60°得到BE，

:.BC=BE,NC8E=60。，

是等边三角形，

：.BC=BE=CE,NBEC=NBCE=*。,

:.CE=CD,ZECD=30°,

/.ZCW=75°,

/.ZBED=135°,

故答案为：135；

(2)如图，在8C上截取=连接EH,

;EF=2BF,BC=BE=6,

:.BF=2,

：.BH=BF=2,

又.BE=BC,4CBF=/EBH,

:.ACBFwbEBH(SAS),

:.CF=EH，

：.DE+CF=DE+EH，

当点上，点。，点”三点共线时，止+C尸有最小值，最小值为。，的长,

DH=ylCD2+CH2="36+（6_2尸=2x/13,

故答案为：2A.

18.（2023•庐阳区校级二模）RtAABC和RlADEF的位置如图，NAC8=/D庄=90。，AC=BCEF=4,

连接AE,且O厂，则：

（1）若NEDF=a,则NM£=（用含a的代数式来表示）；

（2）若空则Gb的长为

EC2---

【答案】（1）45°-a；（2）—

9

【详解】（1）•.ACDE=AEDF,

AC_AE

~DF=~DE'

•.ZC=ZF=90°,

RtAACE^RtADFE，

:.NEDF=/EAC=a,

•.AC=BC^

.•.A4CB是等腰直角三角形，

ABAC=45°，

NBAE=ABAC-ZEAC=45。-a,

故答案为；45°-a；

(2)・.ZC=ZF=90°,

在RtAACE和RtAEFA中，

AC=EF

AE=EA'

RtAACE=RtAEFA(HL),

:.EC=AF,ZEAC=ZAEF,

「.△GAE是等腰三角形，

GE—GA，

•/-=-,即EC=28E,

EC2

:.BC=3BE=4,

448

:.BE=-,AF=EC=4一一=2,

333

设G〃=x,AG=EG=4-x,

在RtAAGF中，利用勾股定理得A尸+尸G?=AG,

222

即(1)+x=(4-.r),

解得x=3，

9

,GT.

9

故答案为：12.

9

19.(2023•庐江县模拟)已知：抛物线y=ax2—2a«4H0).

(1)此抛物线的对称轴为直线x=—；

(2)当一掇*4时，)，的最小值为T,则。=—.

【答案】(1)1；(2)4或一！

2

【详解】(1)y=ax2-2ax(aw0),

二.此抛物线的对称轴为直线x=--=1；

2a

故答案为：柒=1：

(2)y=ax2-2ax=a(x-\)2一。的对称轴为直线x=1,

顶点坐标为（1,-a）,

当a>0时，在一1领k4,函数有最小值-

,j的最小值为-4，

/.d=4；

当avO时，在一盛业4,当x=4时，函数有最小值，

9a—a=-4，

解得a=--；

2

综上所述：”的值为4或

2

故答案为：4或

2

20.（2023•合肥二模）已知函数了=炉+小（加为常数）的图形经过点（-5,5）.

（1）m=.

（2）当-5效作〃时，），的最大值与最小值之和为2,则〃的值—.

【答案】（1）4；（2）〃=一3或〃=加一2

【详解】（1）函数），=£+〃a（加为常数）的图形经过点（-5,5）,

/.5=（一5y—5m,

解得〃?=4,

故答案为:4；

（2）由（1）得”?=4,

.•.函数的解析式为），=/+4x,

/.y-x2+4x-（x+2）2-4,

故抛物线的对称轴为直线x=-2,二次函数的最小值为T,

♦.•（-5,5）的对称点为（1,5）,

当-5触〃时，y的最大值与最小值之和为2,

当-5,,〃<-2时，最大值为5,x=〃时，取得最小值，且为），=）/+4〃，

根据题意,得川+4〃+5=2,

解得〃=-3,〃=T（舍去）,

故〃=—3；

当-2领h1时，最大值为5,x=-2时，取得最小值，且为-4,

根据题意，得5-4=1,不符合题意；

当〃>1时，x=-2时，取得最小值，且为-4,x=〃时，取得最大值，且为），=〃2+4",

根据题意，得〃2+4〃-4=2,

解得〃=9一2,〃=一加一2（舍去），

故〃=>/10—2：

故答案为〃=-3或〃=而-2.

21.（2023•庐阳区校级一模）已知二次函数y=W—（a+l）x+3.

（1）当a=2时，二次函数的最小值为；

（2）当—掇*2时，二次函数y=V-（a+l）x+3的最小值为1,则〃=—.

【答案】（1）（2）T或一1+2及

4

【详解】（1）当。=2时，y=x2-（2+l）x+3=x2-3x+3=（x-^）2+^,

.•.当x时，y有最小值，最小值为

故答案为：-；

4

（2）对于y=f_3+i）x+3,对称轴为x=__（"+D=也,

22

①当空1<一1,即々<—3时，

2

此时对称轴在-啜/2的左侧，

.•抛物线开口向上，

.•・当-倒k2时，y随工的增大而增大，

.•.当x=—l时，y有最小值1,即l+（a+l）+3=l,

解得a=T;

②当-啜J2时，即—3领h3时，

•.・抛物线开ri向上,

.•.当彳=等时，y有最小值1,

即3卫土生%,

4x1

整理得：4+2。-7=0,

解得4=一1一2人（舍去），a2=-1+2>/2；

/.d=—I+2-x/2；

③当空1>2时，即〃>3时，

2

.,抛物线开口向上，

当-氏上2时，y随x的增大而减小，

当x=2时，y有最小值，

即22-23+1）+3=1,

解得。=2,不合题意，舍去,

综上所述，a=-4或-1+2夜.

故答案为：T或-1+2夜.

22.（2023•庐阳区校级一模）在平面直角坐标系中，已知矩形。44c中，点4（0.3）,C（4,0）,点E、D分

别是线段。C、AC上的动点,且四边形£）£尸3也是矩形.

⑴次

43T15T21

【答案】（1）（2）一或一或一

32820

【详解】（1）连接的,

・・•矩形Q4BC中，点A(0,3),0(4,0),

:.AO=BC=3,AB=OC=4,

AC=>JAO2+OC1=V9+16=5,

NBDE=90P=/BCO,

...点B，点C,点E，点D四点共圆,

:.NBED=ZACB,

(an/BED=tanZACB=—=—»

BCDE

DB4

---=一,

DE3

故答案为：

3

DE3

.DB_4AB

••==f

BF3BC

<ZABC=4DBF=W，

:.ZABD=ZCBF,

:2Bl"9F、

ABAD4

BCCF3

3

：,CF=-AD,

4

当5C=CZ>=3时，WiJAD=2,

:.CF=-,

2

当BO=C。时，则点。在BC的中垂线上，即点。是AC的中点,

/.AD=-,

2

:.CF=—,

当BO=8C时，如图，过点8作_LAC于H,

9山8=电="

BCAC

-C-H-=—3

35

,3弓

7

...AD=-

5

CF=—

20

综上所述:b的长为3或丝或名,

282（）

3Tl5T21

故答案为:-或一或一.

2820

23.（2023•合肥一模）如图，在边长为10的正方形AHCO中，M,N分别是BC、6的中点，AM交3V

于点石，连接。E,过点A作"_LZ）E,垂足为尸，延长AF分别交及V,CZ）于G,Q,求:

(1)DE=

⑵及

A

【答案】（1）10：（2）-

5

【详解】（1）过点E作于，，日上CD于I,

H

AD

图2

,四边形A6C£＞为正方形，边长为10,

：.AB=BC=CD=}0,ZABC=NC=ZADC=90°,

,.・M,N分别是8C、8的中点，

:.BM=CN=DN=5，

AABM=ABCN（SAS）,

「.AM=BN=VlO2+52=5\/5,/BAM=NCBN,

•/E4M+ZAM4=90。，

NCBN+ZAMB=5）。,

/.ZA£B=90°,

-S.,..,.=-A8BM=-AMBE,

BE=2y/5,

:.NE=BN-BE=3后,

'：EILCD,NC=90。，

：.EI//BC,

:.MEIs.BC,

NIElNEHnNlEI3石

NCBCNB5105V5

「.£7=6,M=3,

：.DI=DN+N1=8,

：.DE=JEI2+DI2=X/62+82=10.

故答案为：10；

（2）过点、F作FJ//CD交.BN于J,

H

AD

M

图2

EHJ.AD,EILCD,

ZDHE=ADIE=ZADC=90°，

四边形£7。”为矩形，

DH=EI=6，EH=DI=8,

AFA.DE,

;.ZAFD=NEHD=W,

,;DE=AD=10,ZADF=NEDH,

AADF二^EDH(AAS),

:.DH=DF=6,AF=EH=8,

•.ZDAF=ZQAD,ZAFD=ZADQ=900,

ADFA^^QDA,

DFAFHn68

DQADDQ10

...NQ=/)Q-ON*-5=|,

•：FJHCD,

FJEFHnFJ10-6

DNED510

：.FJ=2,

'：FJ//CD.

FGFJ24nnFG4

GQNQ55GQ5

2

故答案为：—.

5

24.（2023•庐阳区校级一模）已知抛物线y=ad+法-。，其中。为实数.

(1)若抛物线经过点(1,4),则6=―；

(2)该抛物线经过点42,-〃)，已知点B(l.-a),C(2,2),若抛物线与线段有交点，则a的取值范围为

【答案】(1)4；(2)-2,,a<0

【详解】(1)将(1,4)代入y=ad+云-。得，

4=a+b-a,

解得。=4，

故答案为：4.

(2)将4(2,-。)代入了=*+笈-。得，

-a=4tz+2/7-a，

解得。=-〃，

/.y=ax2-lax-a

=d(x-l)2-2a,

.•・抛物线对称轴为直线x=l，顶点坐标为(L-2a),

当a>0时，抛物线开口向上，顶点在点8下方，

抛物线经过(2,-a),

.♦•点C在抛物线上方，

二抛物线与线段8C无交点，

当〃<0时，抛物线开口向下，

-2ci>-a，

.•・抛物线顶点在点4上方，

当点C在抛物线上或抛物线上方时满足题意，

即2..,

解得a..-2,

故答案为：

25.(2023•合肥模拟)已知二次函数)，=加+2or-l,

(1)随着a的取值变化，图象除经过定点(0,-1)，请写出图象经过的另一个定点坐标

(2)若抛物线与x轴有交点，过抛物线的顶点与定点(0,-1)作直线，该直线与x轴交于点且,

则a的取值范围为一.

【答案】⑴(-2,-1)；(2)0<用1或a=T

【详解】⑴二次函数)，=加+2办-1的对称轴为x=-|^=-l,

由二次函数图象过点(0,-1),对称轴为x=-l,因此二次函数的图象过点(-2,-1),

故答案为：(-2,-1)；

(2).•抛物线与x轴有交点，

.•.△=(2a)2+4a.O,

，a>0或4，-1»

,,,y=ax'+lax-\=t7(x+l)2-a-\,

.•.抛物线的顶点为,

设过抛物线的顶点与定点(01)的直线为"质-1，

代人(T-a-l)得，-a-\=-k-\,

：.k—a，

「•过顶点与定点(0,-1)的直线为y=at-1,

令y=0,贝lj%=L

二与x轴的交点为(1，0),

a

,/该直线与X轴交于点P(孙0),1117HI..1,

AI-I-J,

.•.当〃>0时，一..1,即0<4,1,

公0时，L-1,即一1,,。<0,

1或〃二一1.

26.(2023•包河区一模)已知抛物线)，二/一2。1+"+24(4>0).

(1)若。=1,抛物线的顶点坐标为—;

(2)直线x=〃?与直线)，=2%-2交于点P,与抛物线y=f-2奴+。2+24交于点Q.若当〃z<3时，PQ的

长度随机的增大而减小，则。的取值范围是—.

【答案】(1)(1,2)；(2)a..2

【详解】(1)y=x2-2ax+cr+2a=(x-a)2+2a,

当〃=|时，y=(x-l)2+2,

,顶点坐标为:(1,2)；

1

(2)当x=m时，yp=2m-2,则点尸的坐标为(/〃,2m-2),yQ=m-2am+a~+2a,则点Q的坐标为

(m,m2-2am+a2+2a),

222

yQ-yp=nr—2am+a+2a—(2m—2)=(a—m)+2(a—m)+2=(«-w+I)+1>0,

.•.点Q恒在点P上方，

2

•••PQ=yQ-yP=[tn-{a+1)]+1,

可得：当〃?va+1时，PQ长度的随着m增大而减小，

.•当〃?<3时，PQ的长度随制的南大而减小，

.,.4+1..3,

解得：a.2；

故答案为：(1,2)；a.2.

27.(2023•合肥模拟)如图，点P在正方形A8CD内，Z5PC=135°,连接Q4、PB、PC、PD.

(1)若=则NC7Y>=；

(2)若PB=2,PC=3,则的长为

D\C

---------明

【答案】(I)90°；(2)V22

【详解】(1).•四边形A8CD是正方形，

.'.AD=AB，

,\PA=AD，

设=则/84P=180°-加，

/.ZE4D=2«-90°,ZAPD=l350-a,

vZBPC=135°,

...ZCPD=360O-(135°-«)-67-135O=90°；

故答案为：90°；

(2)如图，过C作CQ_LCP,过户作PQ_LP8,PQ与CQ相交于Q,连接3Q,

ZBPC=135°,

7.ZCPQ=45°,

「.△PCQ为等腰直角三角形，

-PC=3,

PQ=3正,

、：CD=BC,ZPCD=ZQCB,PC=CQ,

:.ADCP^M3CQ(SAS),

BQ=PD,

在RtAPBQ中，PB2+PQ2=BQ2,

­.尸8=2,

PD=BQ=>/22.

D

一：，Q

28.(2023•蜀山区一模)已知•次函数y=-x+2a+l的图象与二次函数y二d一依的图象交于MN两点.

(1)若点股的横坐标为2,则，的值为；

(2)若点M,N点均在x轴的上方，则a的取值范围为

【答案】(1)(2)a>--

42

【详解】(1)由题意得：x2-ax=-x+2a+l,

丁点M的横坐标为2,

/.A=2,

将l=2代入得：

4-2«=—2+2^+1>

解得：67=—,

4

故答案为：

4

(2)当y=V-ar=0时，x(x-4)=0,

解得x=0或x=a，

当4>0时，若点、M,N均在x轴的上方，

当x=a时，一a+力7+1>0,

a>—1f

/.d>0>

当“VO时，若点M,N均在x釉的上方，

当工=0时，2a+l>0，

当。=0时，点M,N均在x轴的上方,

综上,

2

故答案为：a>——.

2

29.（2023•庐阳区校级三模）如图，在RtAABC纸片中，4cB=9（）。,AC=S,BC=6,点、D,E分

别在4C、AA边上，连接DE,将ABDE沿DE翻折，使点/T落在点"的位置，且四边形BEFD是菱形.

（1）若点尸在AC上，则菱形巫尸。的边长等于；

（2）连接"则AF的长的最小值为

【答案】（1）—；（2）2x/5

4

【详解】（1）点尸在AC上，如图1,

「四边形3E/Z）是菱形，

:.BE=EF=DF=BD,BA/IDF,EF//BC,

:.^EFA=ZBCA=9QP,ZDFC=ZE4F.

设BE=EF=DF=BD=x,

在RlAABC中，AC=8,BC=6,

：.AB=yjAC2+BC2=10,

：.AE=AB-BE=\O-x,CD=BC-BD=6-x,

sinZDFC=sinZE4F,

CDEF

---=——,

DFAE

6-x_x

••二,

x10-x

15

/.X=—，

4

二.菱形或广。的边长等于身，

4

故答案为：”；

4

（2）如图2