二次根式的乘法与除法（知识解读+例题讲义+随堂检测）解析版-2024人教版八年级数学下册

第02讲二次根式的乘法与除法

/识导航

部导航1考点清单

考点1：二次根式的定义与有意义条件

考点2：双重非负性的应用

考点3：二次根式性质的正向与逆向运用

考点4：房的化简

考点5：性质条件的辨析

用)导航2里难点

重点：

(1)双重非负性

(2)4条核心性质的灵活运用

2

(2)必与由)的区别

难点：

<1)含的字母后的化简

(2)非负性的综合应用

3"知识梳理.十7t

知识点1：二次根式的乘法法则

1.二次根式的乘法法则：Va-Vb=Vab(«>O,/?>0)

(二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变)

2.二次根式的乘法法则的推广

(1)Va-Vb-Vc=Vabc(a>07?0,c>0)

(2)aVbcVd=ac^MCh>>0),即当二次根式前面有系数0寸，可类比单项式乘

单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。

3.二次根式的乘法法则的逆用

而=瓜a>0,/?>0)(二次根式的乘法法则的逆用实为枳的算数平方根的性质)

4.二次根式的乘法法则的逆用的推广

Vabcd=Va-Vb-Vc•>0,/?>0,c>0,t7>0)

H题型精讲

【题型1二次根式的乘法运算】

【典例1】计算：

(1)V3xV5；(2)^xV27；⑶4UxV7；(4)JIxV128.

【答案】⑴底

(2)3

⑶行

(4)8

【分析】(1)把被开方数相乘即可，

(2)先把被开方数相乘，再把结果化成最简形式即可,

(3)把被开方数相乘即可，

(4)先把被开方数相乘，再把结果化成最简形式即可.

【详解】(1)O=后/=代

(3)y/10xV7=V10x7=\/70

(4)J^x>/128=J1xl28=V64=8

【点睛】本题考查的是二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法法则是解答此题的关键.

【变式1】计算：x/5xjl；

【答案】|

【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，先计算乘法，再化简，即可求解.

【详解】解：而X薪

-——•

2

【变式2】计算：

(1)V12XV3.(2)71000xVol

(3)J|XJ.(4)V24XV3.

【答案】(1)6

(2)10

(3)1

(4)6企

【分析】(1)根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可；

(2)根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可；

(3)根据二次根式的乘法法则进行计算即可；

(4)根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可.

【详解】(1)解：原式=7'2x3==6.

(2)解：原式二V1000x0.1=V100=10.

(3)解：原式=6X：=1.

(4)解：原式=、24X3=412=6^2.

【点睹】本题主要考查了二次根式的乘法法则，解题的关键是熟练掌握二次的乘法法则:

\[a-yjb=y[ab.

【变式3】计算

(1)|V20x(-V15)x(-1V27)

(2)2y/6xy♦：y]32xy2(x>0,y>0)

【答案】(1)45：(2)4孙同

【分析】(1)先化简二次根式，然后进行乘法运算，即可求解；

(2)先利用二次根式的乘法法则进行乘法运算，再化简，即可.

【详解】(1)解：原

=45；

(2)解：原式=2x：y/6xyx32xy2

=-V82x3x2y3

乙

=4xy73y.

【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘法

运算法则一一*5=痼,其中（QZO,620）,还要注意结果要化为最简二次根

式.

可知识梳理

知识点2：二次根式的除法法则

1.二次根式的除法法则

得二43之0*之0）（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）

2.二次根式的除法法则的推广

Va4-4-Vc=&i+b+c(a>0,b>0,c>0)

注意:

（1）a20,b>0时：二才有意义；

（2）如果被开方数时带分数，应先化成假分数

题型精讲

【题型2二次根式的除法运算】

【典例2】计算：

【答案】⑴,

（2）1

【分析】本题考查了二次根式的除法运算.

（1）先根据二次根式的性质化简，再计算二次根式的除法即可:

（2）根据二次根式的除法运算法则计算即可.

【详解】（1）解：兴

20

3V2

一运

3

=2；

（2）解：丹/

V3

=晶

【变式1】化去下列各式分母中的根号：

（噫⑵焉⑶焉（、＞0）⑷⑥（。＞°/＞0）

【答案】⑴字

喈

噂

嘘

【分析】本题考查二次根式的除法运算，利用二次根式的性质化简，熟练掌握除法法则

和二次根式的性质是解题的关键：

（1）运用除法法则和二次根式的性质化简即可；

（2）运用除法法则和二次根式的性质化简即可；

（3）运用除法法则和二次根式的性质化简即可；

（4）运用除法法则和二次根式的性质化简即可.

【详解】⑴解:卜4=盘=1

C、2Z&V2

⑵怖=^^二彳；

（3）工=3'=运;

V6x\[6x-\[6x2x'

（4）2一，标一死

42a2匕72a2bx2bab

【变式2】计算：

（1）V27Q4+^7（a＞0）；（2）4V6%3+2。＞0）.

【答案】（1）3。

⑵6缶

【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，熟记运算法则是解本题的关键；

(1)根据二次根式的除法法则进行计算即可；

(2)根据二次根式的除法法则进行计算即可：

【详解】(1)解：，27。4+>0)=J27a%+(3吟=79dz=3a；

(2)蒯：4-6*3+2J(x>0)—2x•:-2x/18x2-6\/2x；

【变式3】计算：

(嚅(2叫+同(3)6772+(-3V6).

【答案】⑴2

(2)72

(3)-473

【分析】本题主要考查了二次根式的除法，熟记运算法则是关键.

(1)根据二次根式的除法法则计算即可，

(2)根据二次根式的除法法则计算即可，

(3)根据二次根式的除法法则计算即可.

【详解】(1)解：嚅=a=2；

vlO

⑵解:旧+旧=遮；

(3)解：6V72+(-3V6)=-2x，72+6=-2V12=-473：

【题型3二次根式的乘除法运算】

【典例3】计算:

⑴3月+加收

(2噬x(4词+3

【答案】(1)20遍

(2)-y

【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法的运算法则是解题的关

键.

(1)(2)直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可得出答案.

【详解】⑴解：原式=（3+lx|）x卜+2

=2xV600

=2xV100x6

=20V6.

(2)解：原式=3x(-q)x2xJ|xl5x|

3

"4X5

15

4

【变式1】计算:

(1)4\<15x2g+遍.(2)夕+36x275+377.

【答案］⑴24

【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法的运算法则是解题的关

键.

（1）（2）直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可得出答案.

【详解】（1）解：原式=（4x2）x115x3+5

=8xV9

=8x3

=24.

(2)解：原式=\[1XX25/3Xyn=

2xV7xV3

-9xV3xV7

_2

——•

9

【变式2】计算：g后x卜照+6历）

【答案】嚎

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键.

先根据二次根式的性质进行化简，再根据二次根式的乘除混合运算计算即可得解.

【详解】解:

_y而

~2x•

【变式3】计算：:厢x（-弓必1）+3R（b>0）

【答案】-a2y/a

【分析】先根据二次根式有意义的条件判断。的符号，然后根据二次根式的乘除混合运

算，根号里面和外面分别计算，最后再化简二次根式即可求解•.本题考查了二次根式的

乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

【详解】解：由题意可得必2NO,a3b>0,^>0,

助＞0,

=--\/asb2

b

=-1•a2byfa

b

=-az\[a.

者知识梳理

知识点3：最简二次根式

1.最简二次根式的概念

（1）被开方数不含分母

（2）被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式

2.化简二次根式的一般方法

方法举例

将被开方数中能开得尽得因数或因式进行78=74^2=272

开方

若被开方数中含有带ET_f4_-y/4^3_2-x/3

分数，先将被开方数V3-V3-73x3

化成假分数

若被开方数中含有小洞区修二亚

数，先将小数化成分VIDVKX）1（）

化去根号下的分教

母若被开方数时分式，15a_15u-3c_115ac_4154c

\\2ffc2C226bc

先将分式分母化成能]12/7-3~\36^C~

转化为平方的形式,(a>0,b>(),c>0)

再进行开方运算

被开方数时多项式的要先因式分解JX2+2xy+y=J(x+y)~=x+y

(x20,y20)

3.分母有理化

（1）分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。

方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的

根号。

■题型精讲

【题型4最简二次根式的判定】

【典例4】下列二次根式中，最简二次根式是（）

A.MB.Y9a2C.Vm3+m5

D.yjx24-y2

【答案】D

【分析】本题主要考查了最简二次根式,

最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式,逐一分析各选

项解答即可.

【详解】解：（3A：水被开方数含分母，不是最简；

B:V9a2=|3a|,可开方，不是最简；

C:Vm3+ms=+m2）=+m2）,被开方数含平方因数ni?,不是最简：

D:尸衣被开方数无分母且无平方因数，是最简.

故选：D.

【变式1】下列二次根式中，是最简二次根式的是（：.

A.RB.V27C.V5D.V2

【答案】C

【分析】本题考查最简二次根式的判断，掌握好最简二次根式的定义是关键.

根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数，同时选项必须

是二次根式，逐一判断即可.

【详解】解：对于A,2=；,可化简为有理数，不是最简二次根式：

■M42

对JB,V27=V9x3=3V3,可化简，不是最简二次根式；

对于C,V5,被开方数5是质数，无平方因子，且不含分母，是最简二次根式；

对于D,婢是立方根，不是二次根式，不符合题意.

故选：C.

【变式2】下列式子中，属于最简二次根式的是（）

A.B.V24C./D.<13

【答案】D

【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，逐一判断各选项

即可.

【详解】解：A.历=R=g,不是最简二次根式，不符合题意；

B.V24=V4X6=2V6,不是最简二次根式，不符合题意；

C.Jl=^,不是最简二次根式，不符合题意；

D.g是最简二次根式，符合题意.

故选：D.

【变式3】下列式子：@V7,（2）后③眄，④⑤"T4,⑥，。2+03从其中

最简二次根式有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】本题考查最简二次根式的识别，根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，

口不含能开方的囚数或囚式），逐一判断各二次根式是否符合条件.

【详解】解：①V7是三次根式，不是二次根式，故不是最简二次根式；

②R被开方数含分母，故不是最简二次根式；

③V9被开方数9能开方（8=3）,故不是最简二次根式：

④星即被开方数含分母，故不是最简二次根式；

⑤被开方数r24-4无分母且不能因式分解为完全平方形式（在实数范围

内），故是最简二次根式；

@迎2+。3b即42（1+时）=|a|AT祐，被开方数含能开得尽方的因式a2,故

不是最简二次根式；

团只有⑤是最简二次根式，共1个，

故选：A.

【题型5化为最简的二次根式】

【典例5】化简:

⑴痕；（2）J

(3)705；

【答案】⑴

4V2

（2）

V3

T

（3）

V2

T

（4）

V5

~5

【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是根据二次根式的性

质把二次根式化为最简二次根式.

(1)把二次根式中能开得尽方的因数开出来，即可得到最简二次根式；

(2)把二次根式分母有理化，即可得到最简二次根式；

(3)把根号下的0.5化为分数，再进行分母有理化；

(4)把二次根式分母有理化.

【详解】(1)解：V32=V2x16=\/2xV16=4\/2：

⑵解4邛

⑶解：/=6=够=却圣

⑷解—T

【变式1】化简：

(l)V05；(2)£;(3)牛；(4)电.

【答案】⑴当

喈

⑶苧

⑷手

【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键；因此此题

可根据二次根式的性质及化简进行求解(1)(2)(3)(4)小题即可.

【详解】⑴解：R=[=*

L

3

-=

(2)解：原式=9

、

L

9%

=

一

(3)解：原式=\22

L-

3

-X-S

(4)解：原式=N25

【变式2】化简：

(3)^375：⑷后

(1)772：(2)7780：

【答案］⑴6企

(2)2A/195

(3)5715

⑸乎

⑹当

【分析】本题考查的是二次根式的化简.

(1)把原式化为75^2,再进一步化简即可.

(2)把原式化为“4x195,再进一步化简即可.

(3)把原式化为“25x15,再进一步化简即可.

(4)把原式化为区，再进一步化简即可.

(5)把原式化为需，再进一步化简即可.

(6)把原式化为1^^,再进一步化简即可.

5x5x9

【详解】(1)解：g=，36x2=6口.

(2)解：V780=V4X195=2V195.

解

3)•=V25x15=5V15.

6解

)•

【变式3】化简：

(1)>/12；(2)775；⑷/

【答案】(1)273

(2)573

⑷苧

【分析】(1)把12写成4x3,然后化简;

(2)把75写成25X3,然后化简;

(3)将分母直接开方化简.

(4)将那成/2,然后直接化简.

【详解】⑴解：="3r5=2百；

(2)解：V75==573；

(3)解:用?

⑷解花=历=苧

【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.

【题型6已知最简二次根式求参数】

【典例6】已知最简二次根式后再与向可以合并，则％的值是.

【答案】4

【分析】本题考杳了同类二次根式的定义.

根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式可以合并的条件是被开方数相同.

【详解】解；由题意，与百可以合并，

因此它们是同类二次根式，

故被开方数相等，

即2%—3=5,

解方程：2%-3=5,

移项得2%=8,

解得尤=4.

故答案为：4.

【变式1】若近与最简二次根式付眨是同类二次根式，则。=.

【答案】5

【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，熟练掌握"同类最简二次根式的被开方

数相同〃是解题的关键.

根据同类最简二次根式的定义，令被开方数相等，列方程求解。的值.

【详解】解：愿厅与最简二次根式衍2是同类二次根式，

0a+2=7,

解得：a=5,

故答案为：5.

【变式2】若最简二次根式标I和四乘积是有理数，则。=.

【答案】1

【分析】本题考查二次根式的乘除法，最简二次根式，熟练掌握相关运算法则及定义是

解题的关键.

将弼化为2VL再根据题意得到关于a的方程，解方程即可.

【详解】解：爬=20

•••最简二次根式后FT和弼乘枳是有理数，

/.a+1=2.

解得：a=1,

故答案为：1.

【变式3】若岳』是最简二次根式，则整数a的最小值为.

【答案】3

【分析】本题考查最简二次根式的定义，二次根式有意义的条件.根据最简二次根式的

定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方

的因数或因式.让被开方数为非负数列式求得。的取值范围，找到最小的整数解即可.

【详解】解：团二次根式有意义，

02a-4>0,

解得a>2,

当a=2时，二次根式的值为，2x2-4=0,不是最简二次根式，不符合题意；

当a=3时，二次根式的值为V2x3-4=V7,是最简二次根式，

综I：所述：若二次根式标二?是最简二次根式，则整数〃的最小值是3.

故答案为：3.

B随堂检测

i.卜列各式中，是最简二次根式的是（）

A.V03B.yjx+y3C.V24D.y/xy3

【答案】B

【分析】本题考查最简二次根式的定义；根据被开方数为整数或整式，且不含能开得尽

方的因数或因式，逐一判断各选项.

【详解】解：A,V03=患，被开方数含分母，不是最简；

B、斤衣，被开方数为整式，且无平方因式或因数，故为最简；

C、V24=V4V6=2V6,被开方数含平方因数4,不是最简；

D、y/xy3=yjxy-y2=\y\y/xy,被开方数含平方因式y?,不是最简.

故选B.

2.计算（3&P的结果是（）

A.6B.12C.18D.36

【答案】C

【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次艰式的乘法运算法则是解题的关键;

根据二次根式的乘法计算即可得解.

【详解】解：（3&）2=3?x（\/2）2=9x2=18,

故选：C.

3.计算ex遍的值为（）

A.2A/2B.273C.3V2D.2通

【答案】B

【分析】本题考查了二次根式乘法，利用二次根式的乘法法则，将根号内的数相乘后化

简.

【详解】解：V2x^/6=^2^6=V12=2A/3,

故选：B.

4.若加=Q,A/20=b,则0.016=（）

A.cibB.—C.1OahD.—ab

10010

【答案】B

【分析】本题考查了算术平方根.先把75^讴化为空包,再根据已知条件求出对应

的结果.

【详解】解：卧々=Q,V20=b.

团由）雷

720x8

100

场x（切

100

a3b

100?

故选：B.

5.化简：（1）A/16=

（2）g+

【答案】42

【分析】本题考查二次根式的性质与化简，正确运用二次根式乘法法则是解题关键.

（1）根据算术平方根的定义直接计算：

（2）根据二次根式的除法法则，将除法转化为被开方■数的除法后再开方.

【详解】解：（1）71石=4：

（2）712-^73==V4=2.

故答案为：（1）4（2）2

6.交警通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的公式是"二16屈.其

中u（单位：km/h）表示车速，d（单位：m）表示刹车后车轮滑过的距离，f表示摩

擦因数.在某次交通事故中，测得d=10m,f=0.8.则汽车的车速是km/h.（结

果保留根号）

【答案】32V2

【分析】本题主要考查了利用二次根式的乘法公式逆运算进行化简，正确理解题意是解

题的关键.直接用题目中速度公式进行计算即可得答案.

【详解】解：0d=10m,f=0.8,

Bv=16牺=16V10x0.8=16我=32企（km/h）,

故答案为：32企.

7.请写出一个正整数阳的值使得^是最简二次根式，m=.

【答案】1

【分析】本题考查的是最简二次根式的含义，根据最简二次根式的定义可得m=l或

m=3等，从而可得答案.

【详解】解：回标是最简二次根式，m为正整数，

回正整数机的值可以为1或3等，

故答案为：1(答案不唯一).

8.化简:

(1)743^9；(2电

【答案】⑴6

⑵手

【分析】本题考查二次根式化简,涉及二次根式乘法法则及二次根式性质与分母有理化.

(1)可根据二次根式的乘法法则属=迎x啊a>0,b>0)进行化筒：

(2)根据二次根式的性质J|=^(a>0,d>0),将其转化为分数形式的二次根式，再进

行分母有理化.

【详解】(1)解：历西

=V4x\/9

=2x3

=6.

,一、(2-J20X•.每V1O

⑵4=嚣=药=—

9.化简：

⑴际7；