广东省惠州市某中学2025-2026学年高二年级上册第二次段考（1月）数学试题

广东省惠州市第八中学2025-2026学年高二上学期第二次段考

（1月）数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知直线/经过点Q,-0）,（3,0）,则直线/的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

2.方程上+上—=1表示焦点在），轴上的椭圆，则k的取值范围为（）

4+324+4

A.%>—3B.k>-2C.k>—lD.k>0

3.据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比

上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯（）

A.38盏B.32盏C.26盏D.18盏

4.圆G：V+y2=4和圆C2：（x-2『+（p-2）2=4的公共弦长为（）

99

A.2>/2B.—C.—D.及

5.设数列｛%｝满足勺“二产2,且q="则%025=（）

A.-2B.C.D.3

6.已知四棱锥P-/I8C。的底面为正方形，4_1_平面/18€7）,尸力=48=1,点E是月。的

中点，则点E到直线P。的距离是（）

A.正B.在D.迪

424

7.直线歹二工+6与曲线》=斤了恰有两个不同的公共点，则实数力的取值范围是（）

A.[-2,2^]B.（-2^,-2]C.（-2,2）D.[-2立-2）

8.已知椭圆C:0+J=l（a>b>O）的左焦点为产，直线y=心与。相交于力，8两点,

crb~

且力则C的离心率为（）

A.x/3-1B.V2-1©.日口.日

试卷第1页，共4页

二、多选题

9.已知空间向量3=(2,-3,3),S=(3,-I,x),下列说法正确的是()

A.若］j_B，则彳=-3

B.若工=-2,贝।工在B上的投影向量为;^

14

C.若忖=而\则x=2

D.若£与B的夹角为饨角，则."(3,小)

10.已知点4是圆尸:*-1)2+。，-3)2=1上任意一点，点。是直线工+^-5=0与工轴的交点,

。为坐标原点，则()

A.以线段力。为直径的圆周长最小值为4兀

B.△力尸。面积的最大值为g

C.以线段力。为直径的圆不川能过坐标原点O

D.9◎的最大值为25

11.已知正方体/也CQ—EFG〃棱长为2,M为棱CG的中点，尸为底面EFG〃上的动点,

A.存在点P,使得|"|+|PM=4

B.存在唯一点P,使得"_LQW

C.当4"_LBP,此时点夕的轨迹长度为J5

97r

D.当尸为底面£PG〃的中心时，三棱锥夕一48”的外接球体积为了

三、填空题

12.已知双曲线£-《=1的焦距为2小，则该双曲线的渐近线方程为_____1

nr12

试卷第2页，共4页

13.已知抛物线C:/=8x的焦点为八点。在。上，若点。(6,3),则△尸。/周长的最小

值为.

14.已知直线八(/〃一2)%+)，-2/"+1=0,圆。”_3)，(］，-2)2=9,直线/与圆。交于“、

两点，则弦长|脑”的最小值为.

四、解答题

15.已知S”是等差数列卜“｝的前〃项和，且S“=T/+15〃.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)〃为何值时，S”取得最大值并求其最大值.

16.已知圆心为。的圆经过点4(1,1)和8(2,2),且圆心C在直线/：xh1=0上.

(1)求圆C的方程；

(2)若线段也的端点P的坐标是(5,0),端点。在圆。上运动，求线段尸。的中点"的轨迹方

程.

17.已知椭圆E:*+方的长轴长为2百，且点在椭圆上上.

⑴求椭圆E的方程:

⑵设直线尸=履+五与椭圆E相交于不同的两点P和。，当归。=百时，求实数4的值.

18.如图，四边形力8c。是正方形，四边形力8。是梯形，P。//。/,PO_L4),平面力QP。，

平面48CD,且4。=尸。=2。4=2.

(1)求证：04〃平面尸QC；

(2)求平面尸C8与平面夕仇?夹角的正弦值;

试卷第3页，共4页

(3)已知点〃在棱产力匕且异面直线/，与必所成角的余弦值为4g,求线段。，的长.

19.已知以22,0)为焦点的抛物线C的顶点为原点，点尸是抛物线C的准线上任意一点，过

点尸作抛物线C的两条切线产力、PB,其中力、B为切点,设直线以、P8的斜率分别是勺

和也.

(I)求抛物线。的标准方程及其准线方程.

(2)求证:尢,七为定值.

(3)求证：直线过定点，并求出该定点.

试卷第4页，共4页

《广东省惠州市第八中学2025-2026学年高二上学期第二次段考（1月）数学试题》参考答

案

题号12345678910

答案BCCACDBAABABD

题号11

答案BCD

1.B

【分析】结合直线倾斜角与斜率的关系及斜率公式计算解得.

【详解】设直线/的倾斜角为0,则3!!。=出心=e，则。=60。.

2-3

故选：B.

2.C

【分析】根据给定的椭圆方程及焦点位置列不等式求解.

【详解】由方程—+^—=1表示焦点在），轴上的椭圆，得2〃+4>"+3>0,解得

〃+32A+4

k〉-l,

所以女的取值范围为上>-1.

故选：C

3.C

【分析】利用等差数列的求和公式与通项公式解决实际问题.

【详解】由题知：塔的每层灯数构成等差数列，则

首项为%,公差d=3,项数〃=9,5=126,

根据等差数列前〃项和公式：

〃（〃一1）

Sn=naI[+—-2---d,

八9x8.

126=9aH----x3,

2

计算化简：126=94+10294=18即q=2,

所以根据等差数列通项公式：

%=4+（〃-1）1，代入黑=9、q=2、d=3,

%=2+（9-l）x3=2+24=26.

故选：C.

答案第1页，共13页

4.A

【分析】先求出公共弦的方程，再利用垂径定理求出弦长.

【详解】由圆。2：(工一2『+(y-2『=4,得/+y2-4x—4y+8=4,

又圆C：/+/=4,两圆方程作差可得两圆交点所在的直线方程为x+y-2=(),

又因为圆心G(0。)到直线*+y-2=0的距离P：°一/=x/2,

\J\-+\~

故两圆公共弦长为2/^=2显.

故选：A.

5.C

【分析】根据给定的递推公式，计算数列｛4｝前5项确定周期，进而求出指定项.

1+41+1

【详解】数列｛q｝中，仆一1=产，且6=：，则出=T=3，%=；|=—2,

21-3

2

1.1

%=泻=-9牝=T=7，因此数列｛q｝是周期为4的数列，

2

1+231+1

3

所以嗫=4'=4=；.

故选：c

6.D

【分析】利用坐标法，根据点到直线的距高的向量求法即得.

【详解】如图建立空间直角坐标系，则尸(0,0』)00,1,0),£卜；,0),

答案第2页，共13页

1

故选：D.

7.B

【分析】曲线》=口7是以原点为圆心，2为半径的右半圆，作出图象，利用直线与半圆

有两个交点求出。的取值范围.

【详解】y=工+。是斜率为1的直线，

曲线x=即3+丁=4（心0）,是以原点为圆心，2为半径的右半圆，画出它们的图

解得/）=-2及，或6=2&（舍去）,

答案第3页，共13页

当直线过(2,0)时，b=-2,直线与半圆有两个公共点；

由图可以看出：当-20＜。4-2时，直线与半圆有两个公共点.

故选：B.

8.A

【分析】作出符合题意的组形，利用椭圆的定义建立齐次方程，进而求解离心率即可.

【详解】如图，作出符合题意的图形，找到椭圆的右焦点广，连接力9,8尸，

由椭圆的对称性可得四边形4必尸是平行四边形,

因为力尸_14"，所以四边形是矩形，可得|04|二|OP'|二c,

因为y=所以乙4。9=60。，则△以尸是等边三角形,

由矩形性质得NE4尸'=90"由等边三角形性质得乙4尸0=60。，|4/'|二。，

结合题意可得|彳产|=gc，由椭圆的定义得|力广|+|4/|=2%

可得c+Gc=2a，化简得£二0-1,故A正确.

a

故选：A

9.AB

【分析】根据数量积的坐标运算判断A,根据投影向量的定义判断B，根据向量模的坐标表

示判断C,由求出x的范围，即可判断D.

【详解】对于A：若M，则限5=2〉3+(-3卜(-1)+3X=0,解得x=-3,故A正确：

对于B：当x=-2时，6=(3,-1,-2),则G7=2x3+(_3)x(T)+3x(-2)=3,

|b|=732+(-l)2+(-2)2=/14,

abr3r

所以£在3上的投影向量修包=工”故B正确;

对于C：若W=JiW,则W3+(—1『+/=而,解得X=±2,故C错误:

答案第4页，共13页

对于D：若〉与B的夹角为钝角，则展$=2x3+(—3卜(-1)+3工<0,解得x<-3,

3-1Y

若勿/6,则9=—=：，方程无解，所以々与B不共线，

2—33

所以若£与否的夹角为钝角，则工«一双-3),故D错误.

故选：AB

10.ABD

【分析】当40/三点共线，»。闫尸。|—|/P|=4,可判断A；S,P0=|sinZJPe，当

sin/4PQ=90时，△力尸。面积最大，可判断B；设以线段ZQ为直径的圆过坐标原点，利

用直径所对的圆周角为直角科判断C；设点/(/J。)，利用数量积的坐标运算可判断D.

【详解】由题意得圆〃：。-1尸+。，-3)2=1圆心尸(1,3),半径/一1,点。(5,0),

对于A：如图所示，易知|力。引〃0|四=4,

当且仅当4。,夕三点共线，且点力在线段上时，等号成立，

故线段力。为直径的圆周长最小值为4兀，故A正确：

对于B：|PQ|=J4、32=5,

=；归训尸。sin^APQ=|sinNAPQ,

所以当sin//尸。=90'时，△4P0面积的最大，最大值为故B正确;

对于C：若以线段力。为宜径圆过坐标原点，

由直径所对的圆周角为直角可得ZAOQ=90。，

易知当点彳在V轴上时，满足题意，

所以以线段力。为直径的圆可能过坐标原点0,故C错误；

对于D：设点/(%,与)，易知x°e[0,2],盟42,4],

答案第5页，共13页

则因=(-5,0)必=(%-5,%),

所以的@=25-5%£25-5x0=25,

即前的最大值为25,故D正确；

故答案为：ABD.

11.BCD

【分析】先建系结合点关于平面对称得出距离和最小值判断A,应用空间向量数量积坐标运

算计算求解判断B,C,应用直角三角形得出球心及半径结合球的体积公式判断D.

【详解】以。为原点，。4。。,。〃所在直线分别为北尸2轴，建立空间直角坐标系。-孙入

4(2,0,0),"(0,2,1),设尸点坐标为(xj,2),x,”R,»=(x—2,乂2),

・•・\AP\+\PM\=\A,P\+\PM\>|4^|=^/(0-2)2+(2-0)2+11-4)2=>4,故A选项错误.

?

由47_1~”可得万丽=0=/_2.丫+歹2_2>；+2=0=(工―|)2+()，_1)2=0=^=)，=],

故B选项正确.

时，即:舒.茄=()，AM=(-2,2,1),5/5=(x-2,^-2,2),

得至lJ—2(x—2)+2(_y_2)+2=0ny=x—l.

点尸轨迹是棱E/中点与棱E"中点间的线段，其长度为线段所的一半，即长为及.故C

选项正确.

当P为底面EFG”的中心时，由B选项知且，48_L8W,

・••外接球球心为棱AM的中点，从而求得球半径为54叫=1J4+4+1=|,

答案第6页，共13页

V=-7tx|-1,故D选项正确.

故选：BCD.

12.y=±^x

【分析】根据焦距及方程求得加=3,然后代入焦点在y轴上的双曲线渐近线方程求解即可

【详解】由题意可知c=55,乂〃2=12,所以=/-〃=15-12=3,

又双曲线的焦点在N轴上所以渐近线方程为y=±J%x=±gx.

故答案为：y=±^x

13.13

【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再利用抛物线的定义将^尸。尸的周

长进行转化，最后根据几何性质求出周长的最小值.

【详解】因为C:_/=8x,故尸(2,0),

记抛物线C的准线为/,则/:x=-2,

记点P到I的距离为d,点。(S3)到/的距离为4,

\PQ\+\PF\+\QF\=\PQ\+d+J(6-2>+(3-0)2

>tZ)+5=8+5=13,

故答案为：13.

14.2s

【分析】先根据已知直线方程求出直线/过的定点，再求出定点到圆心的距离“，比较d与

半径「的大小确定定点与圆的位置关系，进而确定弦长最小时直线与圆的位置关系，最后利

用弦长公式求解.

答案第7页，共13页

【详解】

,：(m-2)x+y-2in+1=(x-2)〃？-2x+y+1=0,

・••直线/经过直线x—2=0与-2x+)，+l=0的交点P(2,3),

•.•圆。:"-3)2+5-2)2=9的圆心为(3,2),半径为尸=3,

•••点尸到圆心的距离”="3-2)2+(2-3『=&<3=〃,即点。位于圆内，

当PC_L/时，|MN|取得最小值，最小值为|MN|=2炉工F=2s/^=1=25.

故答案为：2>/7.

15.(1)%=-2〃+16

(2)〃=7或n=8时，S”取得最大值56

【分析】(1)根据。“与2关系求解;

(2)法一，利用二次函数求最值；法二，由项的符号求最值.

【详解】(1)由题意可知；S”=T?2+15〃，

当〃=1时，q=，=-1+15=14,

当〃之2时,-S„_,=-n2+15H-[-(n-1)2+15(w-1)]=-In+16,

当〃=1时，ax=-2x1+16=14,符合％=S]=14,

・•・数歹IJ{%}的通项公式4=—2〃+16：

1s77S

(2)法一：S“=r/+15〃=一(〃---了+^22',

24

由二次函数图象及〃wN•知〃=7或〃=8时，S”取得最大值56.

法二：当时，an=-2«+16>0,

当〃=g时，an——2n+16-0,

答案第8页，共13页

当〃29时，%=-2/2+16<0,

所以当〃=7或8时，S.有最大值S7=S*=56.

16.(l)(x+3)2+(y+2)2=25

(2)(X-1)2+&+1)2吟

【分析】(1)先求得线段/台的垂直平分线的方程，通过联立垂直平分线的方程和直线的

方程求得圆心。的坐标，进而求得半径，从而求得圆C的标准方程.

(2)设出点必,。的坐标，用M的坐标表示点。的坐标，将点。的坐标代入圆。的方程，

化简求得点M的轨迹方程.

【详解】(1)设点。为线段力〃的中点，直线〃?为线段43的垂直平分线，则。(：，一；)

因为人明=一3，所以绘=：，

所以直线的方程为x-3y-3=0.

卜-3y-3=0,Jx=-3

由[n,得，o,

x-^+l=0[y=-2

所以圆心。(一3,-2),

半径r=\CA\=7(-3-1)2+(-2-1)2=5,

所以圆。的方程为。+3)2+O+2>=25.

(2)设点〃("),。(%,打).

9，x=2x—5

因为点尸的坐标为(5,0),所以八即1°

,_%+0稣=2乂

y一丁，

又点。(飞，打)在圆。：。+3)、3+2)2=25上运动，所以(XO+3)2+(E+2『=25,

即线段P0的中点M的轨迹方程为(1)2+3+1)2=].

17.(1)y+/=1

⑵±1

【分析】(1)根据题意可得关于。，力的方程，求解即可；

(2)联立方程，根据A>。求出〃的范围，再利用韦达定埋和弦长公式列出关于〃的方程，

答案第9页，共13页

求解即可.

【详解】(1)由题意得：2〃=2百，所以/=3,

点〃(及，立)在椭圆上，所以2+；=],解得从=1，

33b2~

所以椭圆E的方程为：=

(2)

直线电的方程为：y=kx+6

*二‘消去『后’得关于”的一元二次方程一+3&+扬、3,

联立

化简得(1+342)x?+6向X+3=0,

由题意知4=仅拒%)L4X3X(1+3/)=36肚2一12>0,解得一半或左>半，

由韦达定理可得%+超=-需，引-=修，

所以।图:百归一司=G禹-舟=8，

46尸—17

所以(1+上)1"』=3,化简得%”+6r-15=0,解得犬=1,即左=±1,

1+3公

经检验A=±1符合题意.

18.(1)证明见解析；

*；

呜

【分析】(I)根据给定条件，证得直线O4DC,。。两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用

空间位置关系的向量证明推理得证.

答案第10页，共13页

(2)由(1)中坐标系，求出平面尸C3与平面尸8。的法向量，再利用面面角的向量法求解.

(3)设出点〃坐标，利用异面直线夹角的向量法列式求解.

［详解】(1)由平面力。尸。_1平面ABCD,平面力。尸0c平面ABCD=AD,PDu平面ADPQ,

PDLAD,得直线?O_L平面力8CO,而四边形力8c。是正方形，则直线两两垂

直,

以点。为原点，直线O4DCQ户分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系,

£)(0,0,0),J(2,0,0),/?(2,2,0).P(0,0,2)，e(2,0,l),C(0,2,0),

依题意，［万=(-2,0,0)是平面POC的一个法向量，又函=(0,2,-1),

则画•而=0,而直线。5仁平面PQC,所以08〃平面尸QC.

(2)PC=(0,2-2),BC=(-2,0,0),函=(0,2,-1),网=(2,0,-1),

，一\nPC=2b-2c=0_

设平面CPA的法向量为"=(a,Ac),则〈——，取6=1,得〃=(0,1,1),

n-BC=-2a=0

nrQB=2y-z=0

设平面久步的法向量为蔡=(x,y,z),贝小一，取x=1,得力=(1,1,2)»

nvPQ=2x-z=0

设平面尸C3与平面P8。夹角为a,贝壮。$。=|85〈云,公卜也坦=了2"=—,

|m||n\76722

sina=Jl-cos2a=；,所以平面PC8与平面P8Q夹角的正弦值为，

(3)由点”在尸0上,设〃(0,0"),0々42,则而=(-2,0"),而