河北省石家庄市某中学2025-2026学年高一年级上册期中考试数学试卷

河北省石家庄市第一中学2025-2026学年高一上学期期中考试

数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设集合S={—3,—1,1,2},集合7={-2,1,2},则S5T=()

A.{1,2}B.{-3,-2,1,2}

C.{-2,-1,1,2}D.{-3,—2,-1,1,2}

2.函数〃力=1三的定义域为()

A.[l,2)u(2,+oo)B.(l,4<o)C.[1,2)D.[l,+oo)

3.若/。）=.1（4+1）（X-。）为奇函数，则。的值为（）

A.2B.-1C.1D.0

发小）小（小+5）门<1°

4.,则”9）的值为（

［2X-I5,A>10

A.9B.11C.28D.14

工设函数八］）=丁一百则/⑸<>

A.是奇函数，且在（0.+8）单调递增B.是奇木数，且在（0,+8）单调递减

C.是偶函数，且在（0,+8）单调递增D.是偶函数，且在（0,+8）单调递减

6.函数），=含在区间［2,4］上的最大值、最小值分别为（）

A.最大值为1,最小值为］

B.最大值为最小值为:

JJ

C.最大值为1,最小值为g

D.最大值4为最小值为1:

JJ

9

7.己知x>0,则x+一；的最小值是（）

x+\

A.5B.6C.7D.8

8.我们知道，函数y=/a）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数），=/3）

为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数,v=/（x）的图象关于点P（a,。）成中心对称图形

的充要条件是函数），=/3+〃）-〃为奇函数.已知函数/（x）=gV+/的图象只有一个对称中

心，函数/@）在区间上的最大值和最小值分别为M,N,则M+N=（）

A.-B.-C.2D.—

333

二、多选题

9.若avb<（）,则下列结论正确的是（）

A.a+b<0B.ab<b'

2

C.43VA3D.a<

10.下面命题是真命题为（）

A.XGR,“x>7”是。>3"的必要而不充分条件

B.xeR,“x>7”是。>3”的充分而不必要条件

C.HrwZ.x?>x的否定是Vxe>x

D.VxcZ,/>x的否定是K.i

11.己知必>0,且a+力=1,方程2"f+（劭+l）x-20岫=0的两个根分别为且

*<9，则（）

A.为的最大值为-10

B.9的最大值为1

C.（的最小值为1

D.卜2-与|的最小值为11

三、填空题

12.已知哥函数兀6=必的图象过点（4,2）,则a=

；：：：；）：：「在R上单调递愉则实处的取值范围是.

13.已知函数/。）=

试卷第2页，共4页

14.设函数/0)=卜2+@+*+/,|3〃£用，当X曰_2,2|时，记/(X)的最大值为M(&b),

则M(a,b)的最小值为.

四、解答题

15.已知集合河={小2+/一2<0},8={刈一小工工工5—3小}.

(1)若〃7=1,求(QA)B;

(2)若8=A成立，求机的取值范围.

16.已知函数/'(x)=r-4|x|-5.

⑴判断函数/(幻的奇偶性，并证明你的结论；

⑵求函数/*)在区间1-3§上的值域；

⑶当x>0时，/*)2公-13怛成立，求实数〃的取值范围.

17.如图，有一个小矩形公园ABCD,其中AB=20m,AD=10m,现过点。做直线与AB

和A。的延长线分别交于点E尸，将小矩形公园扩建为矩形公园AEM/

M

ABE

⑴怎样扩建才能使AE"的面积最小值？并求出AEA"的最小面积；

(2)当扩建后的公园4£用厂面积最小时，要对其进行规划，要求中间为长方形的绿地，四周

3

为等宽的公园健步道，如图所示.若要保证绿地面积不小于总面积的彳，求健步道宽度的取

4

值范围.

18.已知函数/(x)=W^是定义在上的奇函数，且"1)=1.

⑴求用，〃的值：

(2)试判断函数/(力的单调性，并证明你的结论;

(3)求使-1)+/侬-ll<0成立的实数。的取值范围.

19.已知集合S为非空实数集，定义：人={小=。+〃4^S},B={,x\x=\a-b\^beS}C&：

。和〃可相等，也可不相等).

⑴若集合5={0.1,4},写出集合A,B；

⑵若集合5={0,2,K)，},2<x<y,且8=S,求X)，的值：

⑶若集合Sq{x|04xW100,xwN},Al8=0,记card(S)为集合S中元素的个数，求

card(S)的最大值.

试卷第4页，共4页

《河北省石家庄市第一中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案DACBABADACBD

题号11

答案ABD

1.D

【分析】根据给定条件,利用并集的定义育接求解.

【详解】集合S={-3,7,1,2},集合了={-2,1,2},所以SU7={-3,-2,TJ2}.

故选：D

2.A

【分析】根据分式和根式求x的范围即可.

【详解】因为函数要使得函数有意义，

则不一120且x-2w0.

解得且xw2.

所以该函数的定义域为［L2)u(2,位).

故选：A.

3.C

【分析】求出函数的零点，再利用奇函数性质求出“并验证得解.

【详解】函数/(x)=Mx+l)(x-〃)定义域为R,由/。)=0,得x=O或x=—1或％=〃,

由广(X)是奇函数,得/(力=0的％值关于数0对称,则4=1,此时f(x)=x，T),

f(-x)=-x[(-x)2-\]=-x(x2-l)=-/(x),函数f(X)是奇函数,

所以。的值为1.

故选：C

4.B

【分析】由9<10,结合函数解析式可得/⑼=/(/。4)),再由解析式求f(14)J(13)求结

论.

/(/(x+5)),x<10

【详解】因为/("=9<10,

2x-15,x>10

答案第1页，共9页

所以〃9）=/（/。4））,

又14>10,故/（14）=2x14-15=13,13>10,

所以jf（9）=f（13）=2xl3-15=11.

故选：B

5.A

【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为{XxwO},利用定义可得出函数/"）为奇

函数，

再根据函数的单调性法则，即可解出.

【详解】因为函数/（x）=V-g定义域为{小工0},其关于原点对称，而/（-力=-/（力,

所以函数/（.丫）为奇函数.

又因为函数y=V在（（）,+?）上单调递增，在（_?,0）上单调递增，

而），=9二/在（（）,+?）上单调递减，在（・？，0）上单调递减，

所以函数/（可=/一9在（0,+?）上单调递增，在（・？，0）上单调递增.

故选：A.

【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题.

6.B

【分析】根据给定函数，确定其单调性，进而求出其最值.

【详解】函数），=学二=1-丁匚在［2,4］上单调递增，

l+x1+x

24

当x=2时，ymin=-,当x=4时，ynm=-.

故选：B

7.A

【分析】根据基本不等式的性质进行求解即可.

【详解】因为x>0,所以x+l>0,

所以根据基本不等式的性质可得x+2=x+l+'一—iN2j（x+l）x'--1=5.

x+\.r+1Vx+\

9

当且仅当x+l=——时，即x=2时等号成立.

x+l

答案第2页，共9页

9

此时x十二一的最小值为5.

x+1

故选：A.

8.D

【分析】根据给定条件，求出函数/J)的对称中心，再利用对称性求出目标值.

1117

【详解】依题意，/(-v)=-(-^3+3A'+3.r+1)—x——=—(x+I)5—(X+1)+—,

J。JJ

令函数g(x)=；/-x,^(-x)=1(-x)'-(-x)=-^x3+x=-g(x),即函数g*)是奇函数，

则/(x)=g(x+l)+q,因此函数g(x)=/(x-1)-；是奇函数，函数/。)图象对称中心为

(T，|)，

而-1二二一3+।1,则函数/(x)在［-3［］上的图象关于点(-12,±)成中心对称，

23

4

由函数/(x)在［-3,1］上的最大值和最小值分别为得”+N=；.

故选：D

9.AC

【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项分析判断.

【详解】对于A,由得a+"0,A正确；

对于B,由得油>//，B错误；

对于C,由得C正确；

对于D,由avOvO,得一一Z?>0,则/>//，D错误.

故选：AC

10.BD

【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断AB；利用含有一个量词命题的否定判断CD.

【详解】对于AB,是“x>3”的充分而不必要条件，A错误，B正确；

对于C,命题BxwZ,/〉》是存在量词命题，其否定是匕c错误；

对于D,命题VxcZ,/>文是全称量词命题，其否定是Kx,D正确.

故选：BD

11.ABD

81

+

【分析】令2c-一利用基本不等式的妙用求出的范围，并将方程化为

4〃“1”c

答案第3页，共9页

X24-CX-1()=(),C>9,再求出方程两个根，结合函数单调性逐项求解.

Q1

【详解】由">0,a+2b=l,得。>0/>0,原方程化为2/+(2+丁口—20=0,

ab

令2c=&+1=(»+3(4+2加=10+世+色之10+2、陛2=18,当且仅当a=4〃=]时取等

ababab\ab3

号,

-c-y!c2+40-c+Vc2+40

此时原方程为/+u—10=0,c之9,X,-------，工，

22

对于A,M+40对CW9+8)单调递减,当C=9时,8)max=T°，A正确;

'2

20

对于BC,9=---1、对cw[9,y)单调递减,当c=9时,(X2)max=l，B正确，々可以

c+\Jc~+40

小于1,C错误;

对于D,|工2-己1=4'+4。对cw[9,+co)单调递增,1工2一七扁=口，D正确.

故选：ABD

【分析】直接把点的坐标代入辕函数的解析式即得解.

【详解】由题得2=4"=22”,

所以〃=

故答案为5

【点睛】本题主要考查基函数的解析式中参数的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水

平.

13.2<a<5

【分析】利用给定的分段函数单调性，结合一次函数、二次函数的单调性列式求解.

a-\>\

2

-x+2(a-\)x,x<l,乂、公

【详解】由函数/*)=〈(-e在R上单碉递增，得8-〃>0，解得2VK5,

2a-3<12-a

所以实数。的取值范围是2W〃W5.

故答案为：2<a<5

?5

14.——

8

【分析】若去掉绝对值可得/(M-ty+aHG+A),可知的最大值为2),/②，

答案第4页，共9页

/5小，/(;)中之一'将四个不等式相加使用绝对值三角不等式可得结果・

【详解】去绝对值，则/(x)=±(f+a)±*+/?),根据二次函数的性质

所以/⑺在［-2,2］的最大值为/(-2),/(2),L),佃中之一，

所以可得M(a,b)>/(-2)=|4+。|+1-2+〃|,

“3步)"(2)=|4+。|+|2+加,

<1A11

M(a,b)>f\^j=-+a+-+Z?,

M(a,b)>f——=—+ci+——+b,

12J42

上面四个式子相加可得

4M(a,Z?)>2||44-fl|+-+«\+[\2-b\+\b+2\+b+-+--b

I47k22\)

之24—；+“2+2|+3+《)=当

即有M3打之2三5，

8

可得力)的最小值为营.

75

故答案为：V-

O

【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，考查分析能力，属中档题.

15.(l){x|l<x<2};

4

⑵加之于

【分析】(1)解不等式化简集合A，再利用补集、交集的定义求解.

(2)利用包含关系，按8是否为空集分类求解.

【详解】(1)不等式/+工—2K0,解得—,则A={x|-2WxW1},QA={x|x<-2

或x>l},

当加=1时,/?=(x|0<x<2),所以(玲4加5={%|l<x<2}.

(2)由(1)知，A={x\-2<x<\},

当1一〃2>5—3〃7,即〃?>2时，3=0,满足8gA，因此〃?>2；

答案第5页，共9页

4

当〃?W2时，8=0,由BqA,得一2<145-3"?41,解得§工加42,

所以加的取值范围是〃此号4

16.(1)偶函数，理由见解析；

⑵卜9,7]；

⑶aV4a-4.

【分析】(1)利用函数奇偶性定义直接判断.

(2)利用配方法求出指定区间上的值域.

(3)等价变形给定不等式并分离参数，再利用基本不等式求出最小值即得.

【详解】(1)函数解%)是偶函数.

22

函数f(x)=X-4\X\-5定义域为R,/(-A)=(-X)-4|-X|-5=f(x)t

所以函数/")是偶函数.

(2)函数/。)=(|4|一2尸一9,由xe[-3,6],得|x|w[0,6],

则当1x1=2,即x=±2时,/(.r)min=-9,当工=6时,/(x)a=7,

所以函数/J)在区间1-3,61上的值域为[-9,7].

Q

(3)当x>0时，/(.r)>ov-13<=>x2-4x-5>ar-13<=>x+——4恒成立，

x

HUA+^-4>2^T|-4=4V2-4,当且仅当x=2a时取等号，则心4&-4,

所以实数。的取值范围是044及-4.

17.(1)当A£=40m,A尸=20m时,矩形4EMr面积取得最小值800m?；

⑵(0,15-5"].

【分析】(1)设8E=.v(x>0),利用平行线分线段成比例定理求出矩形面积，再利用基本不

等式求出最小值.

(2)设健步道宽度为mi,由(1)的结论列出不等式组并求解即可.

【详解】(1)依题意，CD!/AE,CB//AF,设8E=Mx>0),由空=笑，得一^=工，

AEAFx+20AF

则AF=>do),矩形AEM/的面积S：.=AEAF=(x+20).8”)

XX

=10(x+—+40)>10(2^x-—+40)=800,当且仅当工=20时取等号，

答案第6页，共9页

所以当矩形AEMF的边AE=40m,A尸=20m时,矩形AEMF面积取得最小值80。/.

(2)由(1)知，矩形r中，/Af=40mM/7=20m,设健步道宽度为mi,

[0＜Z＜，°吟＜10厂

依题意‘,。-27)(2。-2叱,800'整理得b-3。，+5。细解得。(小5-5尻

所以健步道宽度的取值范围是(0.15-5"].

18.⑴/〃=2,〃=。：

(2)f(x)在卜1川上单调递增,证明见解析；

(3)[0,1).

【分析】(1)由奇函数性质利用/(。)=0以及/⑴=1可得结果；

(2)利用函数单调性定义按步骤即可证得/(x)在卜15上单调递增：

(3)由函数奇偶性及其单调性解不等式即可得”的取值范围为恨1).

【详解】(1)由题意可知〃。)=0,故〃=0,

又由/(1)=1可得/(1)=含=1,解得机=2；

所以/(x)=

—2x2x

此时/(x)定义域关于原点对称，且/(T)=(二)2+]=-777=T(x),

故/(“是定义在[T，l]上的奇函数，满足题意,

所以加=2,/1=0.

(2)/Cr)在[-1/上单调递增，证明如下:

取任意X]，WG[-1,1],且凡＜々，

则〃一一〃X)=区_3_=2$(后+1)-2/卜；+1)=2(—)(F)

川八J八2)-d+1W+广(片+唯+1)一[；+1)仁+1)；

因为X],9且王＜工2,

所以X]—工2<°，X；+1>0,x；+1>0,^x2<1,即1-人泾>°，

所以/⑸—/⑸=2能3f<0,即〃内)<〃/),

答案第7页，共9页

因此，(X)在［-15上单调递增.

(3)由(1)(2)知，，(x)是在［-川上单调递增的奇函数，

所以由/(〃—)+/(/得/3-1)＜一/(/-1)=/(1一/),

0<a<2

因此需满足一14/-141,解得＜->/2<67<V2,即OW"1,

a-\＜\-cr-2<a<1

故实数〃的取值范围为［0,1).

19.(1)4={0,1,4,2,5,8},8={0,1,3,4}；

(2)x=4,y=6；

(3)67.

【分析】(1)根据给定的定义，直接计算即得集合A3.

(2)根据给定的定义求出集合8