2026年人教版八年级数学下册全册教案

第十九章二次根式

19.1二次根式及其性质

第1课时二次根式的概念

(2)一个大正方形的面积是一个边长为a的正方

教学目标形与另一个边长为1的正方形的面积之和，则大

正方形的边长为JTTT.

1.理解二次根式的概念.(重点)

(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时

2.掌握二次根式有意义的条件.(重点)间t(单位：s)与开始落下时离地面的高度h(单

位：m)满足关系h=5tz.如果用含有h的式子表示

3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.(难点)

3那么t为___.

教学过程

［交流讨论］上面的问题结果分别是：V65,

一、复习导入Jg.学生根据这些结果的特征回答下

课件展示问题，并请同学们回答下列问题的

列问题：

答案.

(1)这些式子表示的意义是？

问题1什么叫做平方根？

分别表示65,a2+l,白的算术平方根.

答：一般地，如果一个数的平方等于a,那5

么这个数叫做a的平方根.

(2)这些式子有什么共同特征？

问题2什么叫做算术平方根？①根指数都为2；含有“丁”

答：如果一个正数x的平方等于a,即x2=

②被开方数为非负数.

a,那么x称为a的算术平方根.用g'表示.0的

［归纳总结］一般地，我们把形如后口0)的式子

算数平方根为0.叫作二次根式，二次根式也是代数式.

［例题讲解］

问题3什么数有算术平方杈？

［例I］下列各式中，哪些是二次根式？哪些不

答：我们知道，负数没有平方根.因此，在实是？

数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.

⑴V32;(2)6;(3)QI:(4)J^(〃W0)；

二、新知探究(5)异号)：(6)&F+1:O)yf5.

(一)二次根式的定义

分析:法音百三标浮;■星T哆髯翁兴d「三茨标〕

........x---1:不是非负数...........

思考：(多媒体演示)用带根号的式子填空，这些-----------

结果有什么特点？年是二次痕支：

解：(1)(4)(6)均是一次根式，其中炉+1属于“非

(1)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为负数+正数”的形式一定大于零.(2)(3)(5)(7)均不是

二次根式.

130nA则它的宽为_历_m.

练一练:

下列各式中一定是二次根式的是(B)(1)单个二次根式如J7有意义的条件：力>0：

(2)多个二次根式相加如仃+方+…十J\有意义的

2

A.yfxT\B.R^l)介0；

条件：.82

C.V/一11)•《

(3)二次根式作为分式的分母如：，有意义的条件：

(二)二次根式有意义的条件

J>0：

［提出问题］二次根式有意义和无意义的条件是什(4)二次根式与分式的和如4+5有意义的条件：

么？

企0且屏0.

［板书］

练一练：

1.二次根式有意义的条件后是被开方数(式)为

1.当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内

非负数；反之也成立，即：后有意义uaK).

有意义？

2.二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负

(1)(2)V5^:(3)

数；反之也成立，即：及无意义GVO.

——

［例题讲解］■7

【例2］当x是怎样的实数时,在实数范

围内有意义？2.当片5时，，三」的值是五.

解:由x-2K),得定2.

三、课堂小结

当xN2时，J7二，在实数范围内有意义.

［交流讨论］课件展示下列问题，学生思考后回

答：当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围

内有意义?

(3)G+1

.1•可以为任意实数

(6)^EZ四、课堂训练

X

1.下列式子一定是二次根式的是(C)

X<\fwo

A.sl-x-2B.G

［结论］要使二次根式在实数范围内有意义，即需

满足被升方数K)，列不等式求解即味若二次根QJx1+2DJx=-2

式为分式的分母时，应同时考虑分母不为().

［归纳总结］P

2.(1)若式子'2在实数范围内有意义，则x的

取值范围是xNL:

，十五

(2)若式子工-2在实数范围内有意义，

则x的取值范围是一xK)且xH2.

3.已知x,y为实数，且y=J工-9一如-x+4,

求的算术平方根.

解：因为.V,y为实数，尸二1+4,

教学反思

'r-9>0,

所以一所以x=9,y=41.本节课的教学过程中，通过创设情境，给出

9rNO.实例，学生积极主动探索，教师引导与启发，师

生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者地

所以历=旧=6,所以历的算术平方根为y/6.位.

五、布置作业2.注重知识之间的衔接，在温故知新的过程中

引出新知，讲练结合，巩固学生对新知的理解.

完成《一线课堂》对应练习。

第2课时二次根式的性质

教学目标平方根，因此及=0.这就是说，当aN（）时，

1.经历二次根式的三条性质的探究概括过程，学会4a20.

类比的数学观念，掌握二次根式的基本运用.（重

二、新知探究

点）

（一）二次根式的双重非负性

2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难

二次根式的实质是表示一个非负数（或式）

点）

的算术平方根.对于任意一个二次根式我们

知道：

教学过程

（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知

a>0；

一、复习导入

（2）&表示一个数或式的算术平方根，可

课件展示问题，并请同学们问答下列问题的

知行X）.

答案.

练一练：

问题1当x是怎样的实数时，E在实

1.已知实数m,n满足Im+BI+y^h。，则m=_z3

，n=I

数范围内有意义？jr呢？

2.已知（x-2）2+厅灯=0,则xy的值知2

答：前者x为全体实数；后者x为正数和0.

问题2二次根式、石的被升方数a的取值3.已知a,b为等腰三角形的两条边长，且a,b

满足b=^^+J2a—6+%则此三角形的周

范围是什么？它本身的取值范围乂是什么？

长为10或II.

答：当a>0时，行表示a的算术平方［归纳］若>=&+&+匕，则根据被开方数

大于等于0,可得a=0.

根，因此&>0；当a=0时，&表示0的算术

（二）（&）2=a（a20）

［课件展示］活动1如图是一块具有民族风的正

方形方巾，面积为a,求它的边长，并用所求得［交流讨论］课件展示下列问题，学生思考后回

的边长表示出面积，你发现了什么？答；当X是怎样的实数时，下列各式在实数范围

内有意义？

⑴行⑶J./+]

.'可以为任意实数A>0.vnj以为任意实数

(4)JT1

正方形的边长为“石，(5)-7=(6)

txy/x+\X

用边长表示正方形的面积为（G）2x>0.vX)\<HLv^O

又•・•面积为a,即（JZ）2二a.(三)yla2=a(a20)

［提出问题］这个式子是不是对所有的二次根式都［课件展示］填一填，你发现了什么？

成立呢？

［课件展示］活动2验证问题1的结论是否具有

广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填

空，你乂发现了什么？

a(u>0)4a

00

0.5算术平方,限平方运算

3

J思考：当aVO时，问题3中的结论还成立吗？

JA

••••••a((i<0)G而

-242

［交流讨论］学生交流讨论，直接写出下列问题的平方运算算术平方根

-0.10.010.1

结果：24

393

-333

…•••—

=-a(a<0)

［交流讨论］学生根据上面的结论交流讨论，想一

［归纳结论］一个非负数的算术平方根的平方等于

想它的值是什么？

它本身，即（4a）2=a（a20）.

［例题讲解］［例1］计算：［归纳总结］任意一个数的平方的算术平方根等于

它本身的绝对•值，即

⑴（41）2;⑵（26产；

^=\a\=［a（a~Q）

解：(1)(J1.5)2=1.5.

［例题讲解］【例2】化简：

(2)(2后=23(后=4x5=20.

练一练：⑴而：（2）

计算：解：⑴==4.

(1)(")2；(2)(入

（2）7（-5）:=7?=5.

解：⑴(而P=6.

练一练：

化简：

(2)(372)2=32X(V2)2=9X2=18.

(1)JG37:(2)J(・L7)2.-1工之口-0)

性质"

解：(1)=折=3.=a(aNO)

"<丁=a(a-0).

(2)《(・1.7)'=\匠=17

［议一议］如何区别(G)2与?

拓展性质I-|"=|a|(。为全体实数)-

［课件展示］

四、课堂训练

(向21

行

1.化简J1W的结果是(C)

从运算顺序看先开方,后平方先平方,后开方

A+4B+2

从取值范围看”取任何实数C.4D.-4

从运算结果看a同--3)2

表示一个非负数a的表示一个实数a的

意义2.当Yxv3时，％—3的值为(D)

算术平方根的平方平方的算术平方根

A.3B.-3

I例题讲解］［例3］实数a、b在数轴上的对应点如C.1D.-1

ell—、―八4~yJb~+J(ci—b］.3若J(X—2)2=x-2成立,则x的取值范围

图所不，请你化简：V'7

是(B)

1a,11I■个b■,

-3-2-10123A.xW2B.x22

C.0WW2D.任意实数

解：由数轴可知aVO,b>0,a-b<0,

4.化简：

，原式二|a|-|b|+|a-b|=-a-b-(a-b)—2a.

⑴后=5；(2)/-ior=10

【变式题】实数a、b在数釉上的对应点如图所示，

»3

2

化简：+4Q"+4Z?2+k一/?|(3)X/(-2.7)=2.7；(4)(J|T=7

―1---------------1------1----->5.实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简:

ba0

k+J("8)2=2

解：根据数釉可知b<a<0,

ab

/.a+2b<0,a-b>0,III■II■'11

-4-3-2-101234

d1广+4ab+4b~+If/—Z?|.z>..।../x.,

M11=|a+2b|+|a-b|=-a-2b+a-b=

五、布置作业

-3b.

完成《一线课堂》对应练习。

【注意】利用数轴和二次根式的性质进行化简，关

键是要要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符教学反思

号.

三、课堂小结1.注意前后知识之间的联系，在复习旧知的过程

中导入本节课的教学内容.按照山特殊到一般的

规律，降低学生理解的难度.

2.在总结二次根式性质的过程中，由学生经过观察、分析的过程，让学生在交流活动中体会成功.

19.2二次根式的乘法与除法

第1课时二次根式的乘法

［分析］观察三组式子的结果，我们得到下面三个

教学目标等式：

（1）

1.理解和掌握二次根式的乘法法则.（重点）

（2）716x725=716x25；

2.理解和掌握积的算术平方根的性质，体会二次根

（3）>/49x736=749x36.

式的乘法法则与积的算术平方根的性质之间的互

思考你发现了什么规律？你能用字母表示你所

逆关系.

发现的规律吗？

3.利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的

\fa•场J(〃20,〃之0).

性质进行计算和化简.（难点）猜测:

证一证：

教学过程求证\[a-\fh=y/a-b(a>0,h>0).

一、新课导入

证明：根据积的乘方法则，有

［课件展示］学校教学楼后有一矩形空地（长(y/a-y/b)2=(y[a)2"(y/b)2=ab.

宽如图所示），现在学校根据需要，想把它改建

为草坪.若全部铺满，预算一下：需购买多少平方・♦•就是ab的算术平方根.

米的草皮呢？又・.・<"•7万表示ab的算术平方根，

\［a•\［b=x/ab^a>0,b>0）.

［归纳总结］二次根式的乘法法则：

\［ci-\［h=Ja•方（々之

［例题讲解］［例1］计算：

二、新知探究

（1X75:（2）AX后;⑶AxA.

（一）二次根式的乘法法则

［课件展示］探究计算下列各式:解：（1/=

⑴g屈2xj_=6\74x91A=j6：；

-i2।।;

⑵函X后.4x5=20士而守如相;

J

(3)瓯^/^=7X6=■42!；；j49x364分”42%

trIJI--

1-------------1----11

观察两者有什么关系?

解：长方形的面积S=jiiix2ji

想-想:QBW1B

=25/2xlO==2显、/J

［分析］可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘

法法则.=4A/5

解：拉Xx5x疗=（&x⑶xW=#x/=而.（二）积的算术平方根的应用

［总结］只需其中两个结合就可实现转化进行计［课件展示I探究计算下列各式：

算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个1;1————

以上的二次根式相乘，即：(D：V4X9\/36日6；j=2X3=6•

1!/x也11

1।•11

⑵#16x25V400=|20j!=_4_XJ5_42O.；

（O.b>。，…，4>0）=k/16xV25

\!~a'Jb......\fk=\lab…ka>11

⑶#49x36=71764=142!：V49<辰1=7X6H42.

相一相.2及X3\/5=?•..J--------，-一--一一.一一；----I■I-■-一--

［分析］可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘

观察两者有什么关系？

法法则.

［分析］观察三组式子的结果，我们得到下面三个

解：20x34=（2x3）（7ixG）=6〃.

等式：

［总结］当二次根式根号外的因数不为1时，可类

（1）而6=不乂也;

比单项式乘单项式的法则计算，即：

（2）V16x25=V16xV25：

m\!a*n\［h=^mn）y［ab（a>^b>G）

（3）Jj9x36=Mx屈

［例题讲解］［例1］计算：

思考你发现了什么规律？你能用字母表示你所

发现的规律吗？

（1）V14x币:（2）3石x2-S/FO：（3X/3xx冷,.

解：（1）714xV7714x7=6x2=7力;\la-b=V^-V^（tz>0,Z?>0）.

⑵3石x2x/10=6V5x10=3()72:［归纳总结］一般地，

\lcf\jb=\jab（a>0,〃>0）由等式的对称

(3)瓜x性，反过来，就得到

练一练：\［ab=\［a-4b（〃N0,心0）

1.计算的结果是（C）语言描述：积的算术平方根，等于积中各因式的

算术平方根的积.

A.石B.4C."D.2

［例题讲解］【例2】化简：

2.mxjg的计算结果估计在（B）

（1）7l6X81；（2）4%3（〃20,杉0）.

解：（1）J16x81=V16x如二36；

A.1至1.5之间B.1.5至2之间

C.2至2.5之间D.2.5至3之间（2）,yfb^

3.计算：V6xV15xVi0=30.二2•a•ylb2-h

4.一个长方形的长和宽分别是两和2后，求-lahyfb.

这个长方形的面积.［归纳总结］化简二次根式的步骤：

1.把被开方数分解因式（或因数）；

2.把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因

式(或因数)的算术平方根的积；C.0<x<6D.x为一切实数

3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式a4.当a>(),b>()时，化简商的结果为(A)

2二|a|把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化

简.

A.b\[(ibB.by/—ab

练一练：

C.—bxj—abD.—b\[ab

计算：

(l)^/(-121)x(-49);(2)；病•同.【变式】将。根号外的因式移到根号内为

(B)

解：(1)/(-121)X(-49)=V12TX>/49=11X7=77;

AD.&

(2)：而.屈=卜,2.5.计算:

(1)V24xV27;(2)V6X(-VT5)；

=—J16/=—•4"=a".

44

三、课堂小结(3)VHxV20x>/75；(4)742x

法则»\fa-y/b=y/ab(a>O.b>0)

解：(1)原式二V22x6xV32x3=2^x3>/3

二次根式=6532x2=18&

的乘法yfHii=0•—(a20,/)20)

(2)原式=-V6X15=-V2x3x3x5=-3\^i0

币…《=5卜•《S2(仍

(3)原式=3&x2yx56=30,2x5x3=30痴

拓展法则

mja-n4b^m')4ab(a之0,b20)

(4)原式=[42x；=j32x2=36

四、课堂训练

1.以下运算错误的是(B)

五、布置作业

A.43x5=Mx标B,瓦xM=回

完成《一线课堂》对应练习。

C.2瓜3石=6而D.也x

教学反思

2.化简二次根式封(-4)2X2的值为(A)

1.创设情境，给出实例.学生积极主动探索，

A.4r^2B.-4-\/2教师引导启发，按照山特殊到一般的规律，降低

学生理解的难度.

C.±472D.2^3

2.在二次根式乘法法则的形成过程中，由学生

大胆猜测，经过思考、分析、讨论的过程，让学

3.若G(X-6)=GG,则(人)

生在交流中体会成功.

A.x>6B.x>0

第2课时二次根式的除法

［归纳总结］二次根式的除法法则：

教学目标

品!（/

忑二5（色。">。）

1.理解并掌握二次根式的除法法则，会用类比的

数学思想方法来探究除法法则.（重点）［例题讲解］［例1］计算：

2.理解并掌握商的算术平方根的性质，体会二次

根式的除法法则与商的算术平方根的性质之间的

互逆关系.

3.利用二次根式的除法法则和商的算术平方根的

性质进行计算和化简.（难点）

教学过程

一、复习导入

二次根式的乘法法则：

=y［ab（a>0,6>0）

［归纳］类似中被开方数中含有带分数，应先将

公式逆用：（4）

带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进

行运算.

4ab=\/a*4b(a>0,b>0)

（二）商的算术平方根的应用

二、新知探究类比有理数的乘法法则，把有理数的除法法

则反过来，也有类似的性质.

（一）二次根式的除法法则

［课件展示I探究计算下列各式:

［例题讲解］【例2】化简:

观察两者有什么关系？

［分析］观察三组式子的结果，我们得到下面三个

等式：【例3】设长方形的面积为S,相邻两边长分别

为a,b.El^nS=V1（）,b=V3,求a.

［交流讨论］学生分组讨论，类比二次根式的乘法

法则，概括出二次根式的除法法则.

解：因为Sab,所以1

SViofio/l0x3而V3O同4.把二次根式中根号外的因式移到根

=

厂万VT=to=归=百=0

号内，结果是

二次根式化简的结果中被开方数不含分母.

5.计算：

三、课堂小结

「区一一叫(a>O.Z)>O)

八*(，??+”)

:三-泥版】:括晨更如:Zb=Ja+b

|(t?>0.fe>0)

(iJ>0.Z>>0).;

四、课堂训练五、布置作业

1.化简M+血的结果是（B）完成《一线课堂》对应练习。

A.9B.3C.3A/2D.2百教学反思

2.下列各式的计算中，结果为2君的是（C

1.复习二次根式的乘法，旨在类比学习二次根

、份

A.V104-^2B.式的除法，培养学生继续探究的兴趣.

）C•序蔼D.限追2.二次根式除法的学习过程，按照由特殊到一

般的规律，由学生经历思考、讨论、分析的过

程，让学生大胆猜测，使学生在交流中体会成

3.计算等

的结果5功.

第3课时最简二次根式

教学目标

1.理解最简二次根式的概念.（重点）反过来呢？

2.利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简(a>0,b>0).

运算，感知数学转化思想的应用.（难点）

二、新知探究

3.能够判断一个二次根式是否为最简二次根式.

（一）最简二次根式

教学过程问题1你还记得分数的基本性质吗？

答：分数的分子与分母都乘同一个非零整式，所得

一、复习导入分数与原分数相等.

老师提出问题：二次根式的除法法则是什么？2=%旨（仃。）・

问题2前面我们学习了二次根式的除法法则,［例题讲解］【例2】化简，使结果中的二次根式

为最简二次根式；

你会去掉这样的式子中分母的根号吗?

（l）Vl2;（2）<O：（3）,454％:⑷解.

、a'c

［交流讨论］学生分组讨论，是不是可以用分数的

基本性质去掉分母的根号.解：(1)==

6-x/6

耳—y（3xy/3~~

［概念学习］把分母中的根号化去，使分母变成有理

数的这个过程就叫作分母有理化.3b\/3bc

\/a2c2ac

［例题讲解］［例1］计算:

练一练:

（2）嵯；（3）g.

V27y/2a的结果是(C

D.巫

解：⑴归=方口收「3叵

TTkbrA.-----B.-----C.------

姮2422

52.能使等式、=、叵成立的x的取值范

Vx-277^2

(y}3130月耳;瓜

“而―访一风正,7闹（C）

限20-T犷1.2/A.xr2B.x>0C.x>2