第一章（综合培优）空间向量与立体几何（解析版）-高二数学单元B卷（人教A版选择性必修第一册）

第一章空间向量与立体几何（B卷）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.如图，在平行六面体ABCM8c77的棱中，与向量A4模相等的向量有

A.0个B.3个C.7个D.9个

【答案】C

【解析】向量模相等即长度相等，根据平行六面体的性质可知，与向量AA'模相等的向量是：

AA,BB；BB,CC；CC,DD,DD，共7个.故选C.

2.已知）二（2,1,%）,1=（7,2,4）,若。乂2"/?）,则实数4的值为（）

A.-1B.1或一3C.一1或3D.3

【答案】C

11

【解析】由题意可知，=2（2,1,2）-（7,2,4）=（-3,0,2^-4）；

因为4_1_仅〃一/?）,所以〃.（2〃一人）=0

所以（2,1,2）（一3,0,2/1—4）=-6+2/12-4;1=0

所以4=-1或3.

故选：C.

3.在正方体A3CD-A山QDi中，石是Ci。的中点，则异面直线。石与AC所成角的余弦值为（）

1020

【答案】B

【解析】设正方体校长为1,以。为原点建立空间直角坐标系如图所示,

则。(0,00),E(0,；,I),

_,1

所以OE=(0，5，1)，AC=(-1,1,0)，

np.AC2

则cos<DE,AC>=————,

\DE\­\AC\%1,亚~lo~

则异面直线DE与AC所成角的余弦值为巫

10

故选:B.

4.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A4G，CA=2CB,Cq=3CB,则直线与直线

A4夹角的余弦值为（）.

【解析】解：CA=2CB,Cq=3C3,.•.设8=1,

根据题意得，5(0,0,1),q(0,3,0)M(2,0,0),B,(0,3,1).

BQ=（0,3,-1）,被=（-2,3,1）,

.CPS怔"鲂二吉四二返

\T1/网网Vio-Vu35-

故选:A.

5.二面角a—/一4为60。，A、B是棱/上的两点，AC.8D分别在半平面。、夕内，AC1/,BD11,

且A3=AC=〃，BD=2a,则CO的长为（）

A.y/3aB.2y/2aC.y/5aD.2a

【答案】D

【解析】因为二面角a—/一4为60。，A、8是楂/上的两点，AC,8。分别在半平面。、0内,ACVI,

BD1L

iimimiu______

所以vAC,>=60"，ACB4=0，ABBD=0

又CD=CA+AB+BD

uimHIBIUUD\2MillMillT

所以CD+AB+BDJ+AB+BD+2CA-AB+2AB-BD+2CA-BD

/utr^nunnmnuiruiu^~~,,2~~~~~~~八

=\ICA+AB+BD+2CABD='。-+。/+（2。）+2a2acosl20=2。.

所以C4的长为2a.

故选:D.

6.如图，在边长为2的正方体ABCO-A4GA中，石为BC的中点，点?在底面A8CO上移动，且满

足B/_LAE,则线段与尸的长度的最大值为（）

4y/5

A.—B.2C.272D.3

【答案】D

【解析】如下图所示，以点O为坐标原点，DA.DC、。。所在直线分别为工、）'、z轴建立空间直角

坐标系。一冷2,

则点与（2,2,2）、"（0,0,2）、E（l,2.0）,设点尸（xy・O）（O«xL2OKyW2）.

*=(1,2,-2),B,P=(x-2,y-2,-2),

♦;QEtBp,:.BlPDlE=x-2+2(y-2)+4=x+2y-2=0,得戈=2—2》，

0<x<20<2-2y<2

由《,得OWyWl,

0<y<20<y<2

...仰4=J(x-2)2+(y-2『+4=J5y2-4y+8,

vO<y<l,当y=l时，忸>I取得最大值3.

故选：D.

7.如图，在60。二面角的棱上有两点4、B,线段AC、8。分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于

梭AB,若4N=AC=BD=4,则线段CO的长为（）

A.4x/3B.164>/2

【答案】D

【解析】分别过点A、点。作3。、A8的平行线相交于点£,连接CE，

则四边形A8OE为平行四边形.

・•・线段AC、8。分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱A8.

AC1.AB,A£_L43则NC4E为二面角的平面角，即NCAE=60

•,-AB=AC=BD=4

AC=BD=AE=AB=DE=4,如图所示.

二.MCE为等边三角形，CE=4

AC±DE,AE_LDE，ACr^AE=A.ACu平面ACE,AEu平面ACE

.•.OE_L平面ACE

又•.CEu平面ACE

•••DEICE

在Rt\CDE中CO=y/CE2+DE2="+4「=472

故选：D

8.如图,四面体ABCD中,AB,BC,BD两两垂直,BC=BD=2,点E是CD的中点，异面直线AD与BE所成角的

余弦值为巫，则直线BE与平面ACD所成角的正弦值为（）

10

A

V222V21

3333

【答案】C

【解析】由题意得AB,BC.BD两两垂直，以8为原点分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设AB=〃,

则A(O0,〃),£(1,1,0),4(。,0,0),0(020),

于是人£)=(。2-〃),BE=(I,I，())，

因为异面直线AD与BE所成角的余弦值为巫，

10

所以|cos<AD,BE>|=—

10

于是/—rv^==，解得。=4•

百Ra*10

故AC=(2,0,-4),AD=(0,2,-4),

设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),

244z=0,x=2z,

则〈,八所以《

2y-4z=0,y=2z,

令z=l，得;7=(2,2,1).

设直线BE与平面ACD所成角为氏

则sin。=侬如讣高二平

即直线BE与平面ACD所成角的正弦值为述.

3

故选C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.在正方体ABCO-Aq中，下列结论正确的是()

■UU11

A.四边形人BCQ的面积为|A用13GlB.AR与A3的夹角为60。

c.(AA+A2+AB;)2=3(ABJ2D.AC(AM-AOJ=()

【答案】ACD

【解^5］如图

由43_1面叫“得4人%，所以四边形ABCQ的面积为网,故A正确；

•••△AC2是等边三角形，・・・NA"C=60°,又・・,AB//RC,••・异面直线4。与所成的夹角为60。，

一UUU

但是向量A。与43的夹角为12（）。，故8错误；

由何后加法的运算法则可以得到AA+AR+A/=4G，•・•AC：=3A,B,2,

・•・（AA+A,D,+A,^'）2=3（，故C正确：

向量运算可得44—A。；=Z）西，:在正方体ABC。—A#G。中，。河・•・D#_LA。，

••・4。・〃4=0,故。正确.

故选:ACD

10.已知ABCO-4&GG为正方体，下列说法中正确的是（）

A.（AA+ADI+A|BJ=3（41居）

B.AC.-4可=（）

C.向量ADI与向量48的夹角是60。

D.正方体ABCD-AIBICIDI的体积为卜8AA^AD

【答案】AB

【脩析】由向量的加法得到：AA+AR+AB1=AC，•・•Ag2=3A1B；,・・・（庆£）2=3｝出］，所以

A正确；

•・•44-A,A=ABI,・•.A|C-AB；=O.故区正确；

•••△AC。是等边三角形，・・・NAZ）C=60。，又4田〃。C,・••异面直线AG与4出所成的夹角为60。，但是

向量AD】与向量AB的夹角是120°,故C不正确；

VX^±A4i,AABAA（=0,故,944,•4斗=。，因此。不正确.

故选：AB.

11.给出下列命题，其中正确命题有（）

A.空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底

B.已知向量4//〃，则4,〃与任何向量都不能构成空间的一个基底

C.是空间四点，若8AlM,8N不能构成空间的一个基底，那么AB,A7,N共面

D.已知向量｛〃,〃,&组是空间的一个基底，若比=a+e,则｛〃/,，〃｝也是空间的一个基底

【答案】ABCD

【解析】选项A中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A正

确；

选项8中，根据空间基底的概念，可得4正确；

选项。中，由8ABM,8N不能构成空间的•个基底，可得共面,又由8ABM,8N过相同

点B,可得A及四点共面，所以。正确；

选项。中：由是空间的一个基底，则基向量a,/?与向量〃z=a+c一定不共面，所以可以构成空间

另一个基底，所以。正确.

故选：ABCD.

12.正三棱柱ABC—A4a中，M=^AB,则（）

A.4cl与底面ABC的成角的正弦值为g

B.4G与底面ABC的成角的正弦值为立

2

c.4G与侧面44,8出的成角的正弦值为立

4

D.AQ与侧面44,3出的成角的正弦值为姮

4

【答案】BC

【解析】如图，取AG中点E，4c中点尸，并连接石厂，则七片，EQ,所三条直线两两垂直，

则分别以这三条直线为X轴，）'轴，Z轴建立如图所示空间直角坐标系；

设AB=2，则A4,=2百.

二.a（0,-1,0）<（0,1,0）,40,-1,2岛。（0,1,254（60,0）.

.•.八G=（0,2,2百）.底面八8C的其中•个法向量为利=（0,0,2百），

二.AG与底面ABC的成角的正弦值为Icos<7/7,AC1>1=----------!—=I-------~i=\=~~»A错8对.

\m\x\AQ\|4x26|2

♦.•a片的中点K的坐标为（弓,-；,0）.

（3、

・•・侧面的其中一个法向品为KG=,

\/

・••AG与侧面AA耳8的成角的正弦值为：ICOS<AC,,KC\>|=AG,/=f,

|AG|x|KCj4xj34

故C对。错•；

故选:BC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知球。内切于正四面体A-3CO,且正四面体的棱长为2卡，线段是球。的一条动直径（M，

N是直径的两端点），点?是正四面体A-BCD的表面上的一个动点，则PM.QN的最大值是一.

【答案】8

【解析】解：由正四面体棱长为2几，其内切圆的半径为1，

由题意，A7,N是直径的两端点，可得OM+ON=0，OMON=-1,

则2例,％=（00+0加）（夕0+0%）二尸02+20（0知+0'）+0知.08=/>02+0—1二002—1,

当点P在正四面体顶点时，P02最大，且最大值为9.

则pot1的最大值为8,

故答案为：8.

14.已知长方体ABC。—A4G〃中，A8=4,朋=2,4)=1，E为CO的中点，则点用到平面A£>E

的距离为.

【答案】限

【脩析】解：以。为坐标原点，射线DA、DC、DD1依次为x、)，、z轴，建立空间宜角坐标系,

则点£(0,2,0),D,(0,0,2),4(1,0,0),B«,4,2),

从而04二(1,0,-2),AE=(-1,2,0),=(1,4,0),

〃〃A=0x-2z=0

设平面的法向量为〃=(x,y,z),由《■—可得＜

n-AE=0-x+2y=0

令〃=(2』」),

所以点用到平面ARE的距离为:

故答案为：R.

15.如图，在空间四边形ABCD中，AC和8。为对角线，G为A4BC的重心石是上一点，BE=3ED,

以|AB,AC,A4为基底，则GE二

D

【答案】--!-AB-1AC+3A/

1234

32

【脩析】由题意，连接4E,则GE=AE-AG=4B+—8。一一AM

43

321

=AB+-(AD-AB)——x-(AB+AO.

432

=--AB--AC+-AD.

1234

1-1-3~

故答案为一一AB一一AC+-AD.

1234

16.给出命题：

①在口ABCD中，A3+A。=AC;

②在△ARC中,若ABAC>0,则AABC是锐角三角形；

③在梯形A4CO中,EF分别是两腰4C,D4的中点，则此=g(4B+OC).

以上命题中，正确命题的序号是.

【答案】①③

【解析】①满足向量运算的平行四边形法则，故正确；

②A8AC=|A8HA。.cos4>0nzAv90。,但/反NC无法确定,△A8C是否是锐角三角形无法确定，故错误;

③符合梯形中位线的性质，故正确.

故答案为①③.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图，在四棱锥S-48co中底面A8CO是直角梯形，侧棱SA_L底面A8CQ,A8垂直于A。和8C,M

为棱SB上的点，SA=AB=BC=2,AD=\

(1)当5M=2M〃时，求平面AMC与平面543所成的锐二面角的余弦值；

(2)在第(1)问条件下，设点N是线段CO上的动点，MN与平面S44所成的角为。，求当sin。取最大值

时点N的位置.

【答案】(I)亚；(2)当。N=@叵时，sin。最大.

615

【解析】解(1)・・・SA_L底面/^CD,

：.SALAD,SALAB,

又AQJ_A8,

•••以A为原点，

以A。，AB,AS所在直线为x,yz轴，

建立空间直角坐标系如图，

\'SA=AB=BC=2,AD=\,SM=2MB,

：.A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),S(0,0,2),

42

M：0,-,-),D(I,0,0)

33

由上可知AO_L平面SAB,

AAD=(1，。，0)可作为平面SAB的法向量：

设平面MAC的法向量为〃=(x,y,z),则〃•AC=(x,y,z)•(2,2,0)=2x+2)，=0,即x+y=0,

・,4)4v2z

n-AM=(x,y,z)-(0,-,-)=^-+—=0,BP2y+z=0

3333

取x=l,则y=-z=2,

即〃=(1,T2),

设平面SAB与平面AMC所成锐二面角为a,

_V6

-6

(2)如图，作NQ//BC、DR//AB,NQ,DR交于P,

DPDR

~PN~~CR~~

设QN=m,则PN=m-l,

:.DP=2M-2,

:・N(m,2m-2,0),

42

MN=(ZH,2m-2——,——)，

33

L240104

**•MN=jm"----加+----

39

ADMN

sin0=cos(iA£),

卜川MN

m

1,40104

jm~-----m+-----

39

1

10440

5+

9m23m

1

104.115

1"(版

13/zz

1

1044~15x215

9m2613

当机二生时取等号，

此时玳|,冬)，而崂得0),

2

(22

DN=+

<15,+。¥

所以当OV=L巫时.，sin。最大.

15

18.如图，四边形48CD为正方形，E,尸分别为A。，BC的中点，以Q尸为折痕把△OFC折起，使点C

到达点P的位置，且PFLBF.

（1）证明：平面P£F_L平面A8PQ；

（2）求。P与平面4B/7）所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）正.

4

【解析】（I）证明：由四边形4BC。为正方形且E,尸分别为4。，的中点，则所_L/R.

":PF工BF,EFcPF=F,EF、PFu面PEF,

:，J_面PEF,乂BFu平面ABFD,

・，.平面平面ABFD.

（2）作P”_L£F,垂足为从由（1）得，P”_L平面A8FO,过H作

以口为坐标原点，Hx、HF、HP为x轴、了轴、z轴正方向，|8/|为单位长，建立如图所示的空间直角

坐标系77-工yz.

由（1）可得，DELPE,又DP=2,DE=1,

:・PE=B乂PF=1,EF=2,则PF?+PE?=EF?，故PEIPF.

由等面积法可得PH=等，从而£”=；,则”（0,0,0）,p（o,o,弓）,D（-l,-1,0）,

,DP=（1,白,苧），而“P=（0,0,手）为平面4BFO的法向量.

HPDP\3

设DP与平面ABF。所成角为仇则8=

HP\DP\丁N

・•・OP与平面48"）所成角的正弦值为正

4

19.如图所示在四棱锥产一ABC。中，Q4_L底面ABC。，AB1AD,NA8C=60，PA=AB=BC，

AD=—AB^E是PC的中点.求证：PD_L平面ABE.

C

B

【答案】证明见解析.

【解析】:幺，底面ABC。，A8_LAD，

；・A8，AO，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设Q4=A3=8。=1,则人（）,（）』）,

'9/Q

4(0,0,0),5(1,0,0),D0,—,0

37

•••ZA5C=60，

・••A3C为正三角形.

由

rz1、101

’-

C-OE,4-

29242

\1

比>

浅11

ABQ

=4-42-

7

•,«设平面ABE的一个法向量为n=（x,y,z），

rX-O

—

n-AB=O—161

则＜，即，—X+

n-AE=O_4-42-=0

、

令y=2,则z=-y/3,n=

uun2^2UIW

•••PO=0,3，-1，显然P。一n，

3

UUUI

•'­PD/m，

,PDJL平面人的，即产0_L平面ABE.

20.如图，在直三棱柱A3c-44G中，ABVAC,AB=AC=2,=4,点。是8c的中点.

（1）求异面直线A8与G。所成角的余弦值;

（2）求平面AOG与平面ABA所成的二面角（是指不超过90的角）的余弦值.

【答案】（|）亚；（2）-.

103

【解析】在直三棱柱A8C-4SG中，A4,_L平面48C,且A3JLAC,

以点A为坐标原点,AB.AC.AH所在直线分别为x、N、z轴建立空间百角坐标系.

如下图所示:

则由题意知4（0,0,0）、3（2,0,0）、。（0,2,0）、4（0,0,4）、4（2,0,4）、C,（0,2,4）,D（1,1,0）.

(1)AB=(2,(),-4)，C,D=(1,-l,-4),

_18_3闻

cos<AB,Cp>=

|4lB|-|ciD|~2>/5x3>/2-10

所以，异而直线A/?与GQ所成的的余弦值为当叵;

10

（2）易知平面ABA1的一个法向量为〃=（0,1,0）,

设平面AQG的法向量为相二(x,y,z)，4)=(1,1,0),AG=(0,2,4),

〃zAO=()x+y=0

由〃z-4G=0可得令y=-2,则x=2,z=1,

l12y+4z=0

所以，平面AQG的一个法向量为机二(2,—2,1),

m•n-22

cos<rn,n>=(­r-；—r=—=——

邮〃|33，

?

因此，平面ADG与平面ABA所成的二面角(是指不超过90的角)的余弦值为

21.如图，已知平行六面体ABCO-4丛G。中，对角线与平面人BC交于点F,连接4尸交4c于点

£.利用向量方法证明：

(1)点E为BC的中点;

2

(2)|AF|=-|AE|,且点尸为仆人用。的重心；

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.

【解析】证明：(I)设Ab=/LAB+(1—4)AR=；L4B+(1—2)(AO+A4J,①

AF=xAC+yAB]=x(AB+AD)+y(AB+A4,)=(x+y)AB+xAD+yAA｝，②

1

x=—

'x+y=23

1

・•・“-4=x,解得＜y=-

-3