2026高二数学复习重难点训练：空间向量基底法十四大题型（解析版）

重难点03空间向量基底法十四大题型汇总

EB题型解读；

好，/满分技巧/

技巧一.基底的判断思路

1.判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则可以作为一个基

底.

7判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱

对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.

技巧二.利用向量法证明向量共面的策略

1.若已知点P在平面ABC内，贝盾而二x万+yAC^OP=xdA+yOB+zdc(x+y+z=l),然后利用指定

向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.

2.证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将

其中一个向量用另外两个向量来表示.

技巧三.用基底表示向量的步骤

(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.

(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合

相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.

(3)下结论：利用空间的一个基底｛a,b,c｝可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a,

b,c,不能含有其他形式的向量.

技巧四.求线面角的两种思路

1.线面角转化为线线角.根据直线与平面所成角的定义，确定出待求角，转化为直线的夹角来求解，此时要

注意两直线夹角的取值范围.

2.向量法.

方法一：设直线PA的方向向量为a,平面a的法向量为n,直线PA与平面a所成的角为0(0G[O,^]),

a与n的夹角为s,则sin0=lcos同=热

方法二：设直线PA的方向向量为a,直线PA在平面a内的投影的方向向量为b,

则直线PA与平面c(所成的角6满足cos8=|cos<a,b>|

技巧五.求二面角常用的方法：

L几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：

①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；

2.空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意

题型提分练/

题型1空间向量基底的辨析

【例题1](2023春河南开封•高二统考期末)若｛五是同构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间

基底的是()

.a+b,a—b,a8.a+b,a—b,bC.a+b,d—b,b+^D.d+b,d+b+c,c

【答案】C

【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】对于A,G=：1(«+»+(d-S)],因此向量d+b,a-b,G共面，故不能构成基底，故A错误；

对于B,b=1[(5+5)-(a-5)],因此向量G+b,d-b,B共面，故不能构成基底，故B错误;

对于C,假设向量G+S,a-S,5+5共面，贝呢4-c=A(a++〃(五一至),

即E=。+。一〃一，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C正确;

对于D,(a+b)+c=d+b+c,因此向量d+b,d+b+c,1共面,故不能构成基底,故D错误；

故选：C.

【变式1-1]1.(2020秋・河南信阳•高二统考期末旧知d=(2,-1,3)b=(-1,4,-2)j=(7,5,Q若归石1｝

不能构成空间的一个基底，则实数A的值为()

A.0BC.9D

77

【答案】D

【分析】依题意可得①b,洪面,则1=xa+yb,其中x,ywR।根据空间向量坐标运算得到方程组，解得

即可.

【详解】｛，,B,外不能构成空间的一个基底,•，*G,瓦，共面，则1=xa-^-yb,其中x,yGR,

则(7,5,2)=(2x,-x,3无)+(-y,4y,-2y)=(2x-y,-x+4y,3x-2y),

_33

zz—

7=2x-y7

17

5=r+4y,解得=—

7,

A=3x—2y_65

故选：D.

【变式1-112.(2022秋•全国•高二期末席但瓦丹是空间的T基底，则也可以作为该空间基底的是()

.b+c,b,-b—cB.a,d-ib,d-b

C.d+b,a-b,cD.a+b,d+b+c,c

【答案】C

【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】对选项A:-b-c=-(b+c),因此向量»+c,b,-b-洪面，故不能构成基底，错误；

对选项B：a=i[(a+5)+(a-b)],因此向量d.a+b,a-5共面，故不能构成基底，错误；

对选项C:假设0=A(a+»+-5),Wc=(2+,这与题设矛盾，假设不成立，可以构

成基底，正确；

对于选项D：(d+b)+c=d+b+c,因此向量G+b,d+b+c,[共面,故不能构成基底，错误；

故选：C

【变式1-1]3.(2023秋云南大理•高二统考期末)若闻，乐司是空间的一个基底，且向量｛而=可+与+

心丽=瓦-2瓦+2瓦，沆=范+3筱+可｝不能构成空间的一个基底，则k=()

ABC.D

3244

【答案】D

【分析】由题意可知，向量而、0B.无共面，则存在实数x、y使得元=xOA+yOB,根据空间向量的基

本定理可得出关于x、y、1的方程组，即可解得%的值.

【详解】因为向量瓦？二百+与+可，丽二药一2或+2可，而二攵可+3与+2可不能构成空间的一个基

底,

所以西、砺、沆共面，故存在实数乂y使得沆=xOA+yOB,

即A瓦*++2瓦=x(e[+或+磅+y(可—2瓦+2eJ)=(x+y)及+(%—2y)eJ+(%+2y)%,

x=-

k=x+y

因为｛耳幅与｝是空间的一个基底，则％-2y=3,解得y=-：

x4-2y=2

k=-

古嫩：D.

【变式1-1】4.（2022秋•河南省直辖县级单位•高二统考期末）若良I网成空间的一组基底，则下面也

能构成空间的一组基底的是（）

A.22、S+cxd+b+cB.5一2乙b+3c

C.五、b—cxb+cD.b4-cxb-cK2b

【答案】C

【分析】根据空间基底的概念逐场判断，可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，因为G+B+F=（B+H+3x2a,则2d、b+c.2+族+5共面，A不满足条件；

对于B选项，因为生=。+/）-。一24，则石一2&b+c.3洪面，B不满足条件;

对于C选项，假设G、b-c.B+0共面，则存在人"R,

使得族+c=Ad+〃（另一了）=ad+〃另一,

1=0

因为2人湃勾成空间的一组基底，则〃=1,该方程组无解,

=1

假设不成立，故&、b-c.b+左共面,

所以，五、b-c.b+河以作为空间向量的一组基底，C满足条件；

对于D选项，因为涕=。+/+。一，），则B+&b-c.2旗面，D不满足条件.

故选：C.

【变式1-1]5.（2021秋•陕西渭南•高二统考期末）已知@月,可是空间的一组基底，则可以与向量历=a+b,

q=a-5构成基底的向量是（）

A.aB.bC.a+2bD.a+2c

【答案】D

【分析】利用空间共面向量定理及基底的概念判断即可.

【详解】-p=a+b,q=a-bt:.p,年与d,B共面，故A,B错误；

,•展+23=5(五+5)(6-右)/-常，与万滴共面，故C错误；

,「｛3,b,门是基底，.二不存在x,y使d4-2c=x(d+5)+y(d-b)=(x+y)d+(x-y)B成立，

.•，+21与仇。不共面，故G+2何以与方游构成空间的一组基底，故D正确.

故选：D.

【变式1-1]6.(2023秋•河北邯郸•高二统考期末)已知SA1平面ABC,AB1AC,SA=AB八BC=居,

则空间的一个单位正交基底可以为()

A.｛福迷，衣｝B.｛AB,AC,AS｝

C.｛而，冠，而｝D.｛衣，福日丽｝

【答案】A

【分析】根据正交基地的定义可知，三个向量两两互相垂直，且模长为1.

【详解】因为S4_L平面ABC,AB、AC都在面ABC内，

所以SALAB,SA1.AC.

因为力8LAC,AB=1IBC=V5I所以4c=2,又SA=1,

所以空间的一个单位正交基底可以为｛m*而,AS].

故选：A

题型2利用空间向量基底求参数

【例题2](2023春•甘肃临夏•高二统考期末)我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱

垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥P-48CD为阳马,PA1平面A8CD,且EC=2PE,若丽=

xAB十yAC十ZAP,贝！Jx+y+z=()

A.1B.2

CD.-

33

【答案】A

【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.

【详解】因为EC=2PE,所以西=^PC,

所以万万=AE-AD=AP+PE-AD

一1——

=AP+-PC-AD

=AP-^-^（AC-AP）-AD

2一1——.

=-AP+-AC-AD

33

71__k

二:和十g前一（灰十运）

2一2一»

=-AP--AC-CD

33

=-AP--AC+AB,

33

一一一一（x-h

又DE=xAB+yAC+zAP,所以《'-3,则％+y+z=1.

Iz=|

故选：A

【变式2-1]1.（2023春•江苏沟通高二统考期末）已知P是白48C所在平面夕一点，M是BC的中点，

若前=xPA+yPB+zPC,KO（）

A.x+y+z=0B.x+y+z=l

C.x-y—z=lD.x—y—z=­l

【答案】A

【分析】推导出湎=*而+前），利用空间向量的减法结合空间向量的基本定理可得出无、y.z的值，即

可得出合适的选项.

【详解】如下图所示：

因为M为8C的中点，则前=超+的=万+：玩=通+：（公一通）=^（AB+AC）,

所以，彳耘=式万一同+配一可）=-PA+T而+g近，

又因为宿=xPA+yPB+zPC,且瓦5、丽、无不共面，则％=-1,y=z=J

故x+y+z=0,x-y-z=-2,

故选：A.

【变式2-1]2.（2023秋・湖南永州•高二统考期末）如图，在四面体ABCD中，E,F,G,H分别是AB,

BC,CD,DA的中点，点M是EG和FH的交点，对空间任意一点O都有力？+OB+OC-}-OD=kOMl

则&=()

A

A-B.-C.2D.4

42

【答案】D

【分析】证明出四边形斯GH为平行四边形，M为EG中点，利用空间向量基本定理求解即可.

【详解】E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，

故EH"BD,EF//GH,

所以E,EG,”四点共面，且四边形ErG”为平行四边形，

故M为EG中点，

因为赤+0B=20E,OC+OD=20G,

所以耐+OB+OC+OD=2(0E+0G)=4丽,

故k=4.

古嫩：D

【变式2-1】3.(2020秋•重庆北哈高二西南大学附中校考期末在棱长为1的正方体力BCD-4BiG2中，

M,N，〃分别在棱8%,8c,BA±，且满足两=3两,BN=^BC，丽=：丽，。是平面8J/N，平面ACM

与平面为8。Di的一个公共点，设丽=xBH+yBN+zBM，则f+y+3z=()

ABCD

5555

【答案】C

【分析】根据条件确定。点位置，再根据向量表示确定x,y,z的值，即得结果.

【详解】

如图，Q为AC与BD交点,P为8Q中点，。为MQ与81P的交点过P作PT平行MQ交8%于兀

如图很I」7为8M中点，所以M7=^BM=^x^BB.=^x^x

所以瓦方=10P,

囚此月5二:西十（前=qq丽十（丽十丽）=（丽十]丽十春丽，

因为80=xBH+yBN+zBM,所以z==g,y=*.♦.x+y+3z=y.

故选：C

【点睛】本题考查平面向量基底表示，考查综合分析求解能力，属中档题.

【变式2-1]4.（2019春•湖北武汉•高二统考期末）已知S是"ABC所在平面外一点，D是SC的中点，

TTTT

若BD=xS4+yS8+zSC,则x+y+z=.

【答案】4

【分析】由D是SC的中点可得而=*丽+的），整理可得诙=OSA-SB+（元油空间向量基本定理可

得x,y,z,即可求解.

【详解】如图，根据条件:

丽=3瓯+网

=-（SC-SB-SB）

2

=-SB+^SC

=OSA-SB+^SC,

又BD=xSA+ySB+zSC,

•・由空间向量基本定理得％+74-2=0-1+1=-^

故答案为：-；

【点睛】本题考查空间向量基本定理的应用，考查平面向量基本定理的应用.

题型3基底表示向量

【例题3]（2023秋・安徽滁州•高二校考期末）已知三棱锥。-4",点M,N分别为48,OC的中点,且

OA=a,OB=b,OC=c,用d,h,乙表示MN,则MN等于（）

A.-+c—a)B.-(a4-5—c)

22

C.(a-5+c)D.1(c-a-^)

【答案】D

【分析】运用向量的线性运算即可求得结果.

【详解】因为OX=a,0B=b,0C=c,

所以丽=ON-OM==^OC-^(OA+OB)>=^c-b-a).

故选：D.

【变式3-1]1.(2021秋・安徽安庆・高二安徽省桐城中学校考期末)如图，在平行六面体/18C。-4181Goi

中，已知而=d,AD=b,AA^=c,则用向量d,b,河表示向量丽为()

A.d+b+cB.d-5+c

C.d+b-dD.-a+b+d

【答案】D

【分析】从要表示的向量的起点出发，沿着平行六面体的棱把向量顺次首尾相连，再转化成指定的基底中

的向量,得到结果.

【详解】在平行六面体48CD-中，西=丽\

所以西=瓦5+而+西=-AB+而+标=-a+b+c

故选：D.

【变式3-1]2.(2023春・安徽滁州•高二统考期末)在四面体/1-8C0中I.是AD的中点，?是BC的中点.设

AB=a,AC=b,AD=c,则乔=()

A1-»।1।1-*D1~»1.1-»z~-»1.1-»c1.IT*1-»

A.--2a+-2b4--2cB.-2a--b2+-2cC.a--2b+-2cD,-2a+-2b--2c

【答案】D

【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.

【详解】依题意品=丽+而=：而+：（而+沆）

],]1

=-AD4--DB+—DC

LL乙

=1AD+1（AB-AD）+1（AC-AD）

=-^A'D+^AB+^AC=3+步一家.

故选：D

【变式3-1]3.（多选）（2023秋・江西吉安・高二统考期末）妇图，空间四边形OABC中，M,N分别是

边OA,CB上的点，且力M=2Mo,CN=2NB,点G是线段MN的中点，则以下向量表示正确的是（）

^.AG=^OA+^OB+^OCB.BG^OA-lOB^OC

636

C.CG=-OA--OB+-OCD.OG=^OA+^OB-^-^OC

636

【答案】BD

【分析】利用空间向量的基底表示向量，再结合空间向量线件运算，逐项计算判断作答.

【详解】空间四边形0ABe中，初=2而，而=2而，点G是线段MN的中点，

0N=0C+CN=0C+^CB=0C+'^（0B-0C）=^0C+^0B,

OG=^（0M+0N）+|（10C+|0S）=^0A+^0B+^0C,D正确；

对于A,AG=0G-0A=--0A+-0B+-0C,A错误；

636

对于B,BG=OG-OB=-0A--0B+-0C,B正确；

636

对于C,Z=赤一方=二成+；砺一S沅，c错误.

636

故选：BD

【变式3-1]4.(2023春・安徽滁州•高二安徽省定远中学校考期末)如图，在四面体力BCD中，荏=入荏，

AH=AAD，而=(1—2)而，而=(1-2)CD,4£(0,1).

(1)求证：E、尸、G、”四点共面.

⑵若入=[设M是EG和尸，的交点，。是空间任意一点，用万5、丽、反、丽表示丽.

【答案】(1)证明见解析

(2)0M=^0A+河+河+;而

【分析】(1)证明出丽〃而，即可证得结论成立；

(2)由(1)可得出荫=3前,可得出E，〃FG，则取=寥=巳由此可得出两=,再结合空间向

ZMG/*GZN

量的线性运算可得出0M关于刀、赤、0Cy而的表达式.

【详解】(1)证明：因为前=AH-AE=AAD-AAB=ABD,

FG=CG-CF=(1-A)CD-(1-A)CB=(1-X)BD,

所以丽=/-FG,则前〃的,因此/?、/、G、，四点共面.

1—Z

(2)解：当2=；时，~AE=^AB,即而-初=：触-6?),可得砺=：就+；丽,

•5«5«5«5

因为江=-CD,即耐一反二"而一沅),可得而=-OC+-OD,

3333

由(1)知，丽=：丽，丽=彳而，因此丽=\FG,

又因为EH、FG不在同一条直线上，所以，EH//FG,

则黑=胃=］则前/丽，即丽一丽=X丽一场)，

所以，丽=1而+1赤=：住次+：方)+X：沆+|丽)

=，而+J而+＜沆+J而.

9999

题型4基底法与坐标问题

【例题4】(2022秋・广东珠海•高二珠海市第一中学校考期末)已知向量方在基底伸石,耳下的坐标为(1,2,3),

贝如在基底但+b,b+c,c+可下的坐标为()

A.(0,1,2)B.(0,2,1)

C.(2,1,0)D.(1,2,-1)

【答案】B

【分析】根据空间向量的坐标表示，利用向量相等列方程组即可求出结果.

【详解】因为向量行在基底归石,钟下的坐标为(1,2,3)，即万=d+2族+3乙

设力=x(a+3)+y(b+c)4-z(c+G),x、y、zGR,

所以日=(x+z)a+(%+y)b+(y+z)c,

x+z=1

x+y=2,解得x=0,y=2,z=l;

{y+z=3

所以日在基底m+btb+c,c+&}下的坐标为(0,2,1).

故选：B.

【变式4-1】1.（2022春上海松江•高二统考期末）已知四面体O-ABC,G1是SBC的重心，G是。G1

上一点，且OG=3GG1,若坑=xOA+yOB+zOC,则(x,y,z)为()

AG级）B.G，鸿

C.口•(狷5)

【答案】A

【分析】连接AG1并延长，交BC于点E,利用向量加减、数乘几何意义用瓦5,而，沆表示出面，即可得

答案

【详解】如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E,则点E为BC的中点,

AE=^(AB+AC)=^(OB-2OA+OC),则福=：荏=久旗-2次+沆),

由题设，OG=3西=3（西-OG）,

333__.121__、]__、__、

OG=-OG^=-(OA+AG^)=-(OA+-OB--OA+-OC)=-(OA+OB+OC)

4443334

所以x=y=z=-.

故选：A

【变式4-1]2.（2023秋・广东•高二统考期末）在三棱柱ABC-/1出。中，M,N分别为&G，的中点，

若MN=xAB+yAC+z/Mi则(x,y,z)=()

【答案】A

【分析】利用空间向量的运算法则得到而=丽-g前-:砧，得到答案.

【详解】l^tN=M~A^+A^A+AB-¥BN=--AC-AA^+AB+-AAi

22

=AB--AC--AA=xAB+yAC+zAA,故x=l,y=~~,z=

22X122

(x,yfz)=(1，_”]，

故选：A

【变式4-1]3.(2023秋・河北石家庄•高二统考期末)设P-是正三棱锥，G是448C的重心，D是

PG上的一点，且丽=DG,若而=xPA+yPB+zPC,贝！J(x,y,z)为()

A-G-5-5)B.&黑)C.&捐)D.信融

【答案】B

【分析】G是等边△ABC的重心，可得而=^AB+^AC=^(PB-PA)+^(PC-PA),再由丽=近，可

«5O«5«5

得而=Ipg,而丽=~PA+AG,从而可以将而用西，丽,而表示出，进而可求出(x,y,z)

【详解】因为三棱锥P-/WC是正三棱锥，G是乙ABC的重心，

所以布=海+萍=/而一两+“无一百)=1方+萍一河，

因为D是PG上的一点，且丽=DG,

所以方=^PG,

因为丽=PA+AG,

所以丽=*=逆+那

1一1/1—.1一2一、

=-PA+-[-PB+-PC--PA]

22\333)

1一1一1一1一

=-PA+-PB+-PC--PA

2663

=海+：丽+河

666

因为丽=xPA+yPB+zPC,

所以％=y=z=；o,

所以（"Z）为&袅）,

古嫡：B

【变式4-1]4.（2022春广东汕尾•高二统考期末）如图，平行六面体ABCD-&&GD】中,E为CD1的中

点若BE=xAB+yAD+zAAx,则(x,y,z)=()

A.B,C.(14,-1)D.(-1,-1,-^)

【答案】A

【分析】利用向量的加减法公式，对向量近进行分解，进而求出％,y,z的值.

【详解】BE=BD+DE=而一而十;西=一而十而十;标，故％=-1,y=1,z=，即。,y,z）=

（T,1,3

古嫩：A.

【变式4-1】5.（2022秋福建福州•高二校联考期末）如图，M为0A的中点，以｛两沆，而｝为基底，丽=

xOA+yOC+zOD,则实数组（x,y,z）等于（）

A.G.-L0)B.(go,-1)

【答案】B

【分析】根据空间向量减法的几何意义进行求解即可.

【详解】DM=0M-OD=^OA+OOC-OD,所以实数组(％y,z)=Q,O,-1).

古嫡：B

题型5空间三点共线问题

【例题5](2022秋•安徽•高二安徽师范大学附属中学校考期末)在四面体。力8c中，点M在04上,且0M=

2M4,N为8c的中点,若丽=^0A+^0B+^0C,则使G与M、N共线的工的值为

344

A.1B.2C.-D.-

33

【答案】A

【详解】ON=1(pB+沆)，丽=:布，

假设G,M,N三点共线，则存在实数2使得

OG=WN+(1-A)OM

A一一12(1-A)—.

=-(OB+OC)+JOA

2(I-A)J-a—a一

=3OA+-OB+-OC

=-OA+-OB+-OC,

344

p(l-A)=1

-3—一3

得衿彳，解得％=1,2毛

I242

V24

故选：A.

【变式5-1]1.(2023春•甘肃白银•高二校考期末)设向量可，瓦，而不共面，已知荏=可+号+行，玩=

可+4石+瓦，而=4百+8瓦+4瓦，若A,C,D三点共线，则入=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据A,C,D三点共线，可得而〃而，则存在唯一实数〃，使得近=而,再根据空间向量共

线定理即可得解.

【详解】由万=可+为+瓦，前=q+4芍+五，

得尼=而+近=2瓦+（1+Q/+温,

因为A,C,D三点共线，所以技〃而,

则存在唯一实数〃，使得前=〃而，

2=4〃r_I

则1+"8〃，解得

2=4〃0=3

故选：C.

【变式5-1]2.（多选）（2022•全国•高二期末）关于空间向量,以下说法不正确的是（）

A.向量d,b,若&b=0,则占1b

B.若对空间中任意一点。，有赤=；亍5+；而+；近，则P,4,8,C四点共面

b3Z

c.设｛五石,为是空间中的一组基底，贝！]但-b,b+e,a+”也是空间的一组基底

D.若空间四个点P,A,B,C,PC=^PA+^PB,RIJ/1,B,C三点共线

44

【答案】AC

【分析】根据向量垂直的性质可判断选项A；由共面向量定理可判断选项B；由向量的加法法则可判断选项

C;由共线向量定理可判断选项D.

【详解】对于A,向量a,3，若d不二o,若向量a,族均为非零向量，则由向量垂直的性质可得G_L族；若

向量五,B其中一个为零向量，则♦与石不垂直，故A错误；

对于B,若对空间中任意一点。，有而=^OA+^08+,

o3Z

因为：+~+~=1/所以PiA,B,C四点共面,故B正确；

对于c,设｛五/，钟是空间中的一组基底，由向量的加法法则可知：3=-色+?）+（,+?）,所以

[a-b,b+c,a+玛不能构成空间的一组基底，故C错误；

对于D,若空间四个点P,A,BC,PC=^PA+^PB,由共线向量定理可知：力，8,C三点共线，故D

f44

正确，

雌：AC.

【变式5-1]3.（2022秋・全国•高二期中）设百而是两个不共线的空间向量，若丽=2瓦-可，前二3瓦+

3可，而=可+k可，且力，C,。三点共线，则实数k的值为

【答案】|/0.4

【分析】由於〃而列方程，化简求得k的值.

【详解】-：AB=2可一瓦，近=3工+3筱，诙=前+k孩，

.'.AC=AB+BC=5百+2eJ,

又.A,C,D三点共线,.••前〃丽,

,•否，丽1洪线，，配=SCD,

「.2—5k=0,.,.k=

故答案为：|

【变式5-1]4.（2022春•陕西榆林•高一校考期末）百，瓦是两个不共线的向量，若而=2百+k乐丽=

瓦+3石，而=2瓦-酝若A,B,D三点共线，求k的值.

【答案】-8

【分析】A,B,D三点共线，故存在唯一实数2,使得而=ABD,再由已知条件表示出而与通，建立方程

组可求出A和入值.

【详解】由题意A、B、D三点雌，故必存在一个实数九使得而=ABD

又布=2瓦+k瓦，彘=匹+3匹，而=2西一百

:.BD=CD-CB=2e1一%一（。1+3。2）=，i—

・•・2瓦+k瓦=入瓦-4Ae^

解得"-8.

ik=-4A

所以求k的值为-8.

题型6空间向量共面问题

【例题6]（2023秋・浙江杭州•高二杭州高级中学校考期末）在于空间一点O和不共线三点A,B,C,且

有痂=-OA+OB+2OC，贝!J（）

A.O,A,B,C四点共面B.P,A,B,C四点共面

C.O,P,B,C四点共面D.O,P,A,B,C五点共面

【答案】B

【分析】根据空间向量的加减法，可得而，丽，丽三个向量共面,可得答案.

【详解】由2而=-OA+OB+2OC,得而-OB=2（OC-OP）^OP-OA,

即丽=2PC+AP,故而，丽,F?共面.

又因为三个向量有同一公共点P,所以P,48,。共面.

故选：B

【变式6-1]1.（2023秋•广西河池•高二统考期末）已知48,C三点不共线,对平面力8c外的任一点0,下

列条件中能确定点M,A,B,C共面的是（）

A.OA?=2OA+^OB-OC

B.丽=30^4-2OB-2OC

C.OM=1OA+^OB^OC

D.而甘府+|而后沆

【答案】D

【分析】~OM=xOA十yOB十zOC,分析出当B,C共面时，工十y+z=1,从而分析四个选项，得到正

确答案.

【详解】当M48,。共面时，不妨设祠=AAB+nAC.

变形得到丽-0A=A（OB-0A）+n（OC-0A）,

则丽=AOB-Q+〃-1）04+fiOC,

设丽=xOA+yOB+zOC,若点M与点4B,C共面，

则x+y+z=-"〃+l+A+〃=l,

只有选项D中:+：+（_3=1符合题意.

故选：D.

【变式6-1]2.（2023秋•江西宜春・高二江西省宜丰中学校考期末）对于空间任意一点0和不共线的三点

A,B,C,有如下关系：0P=^0A^-^0B+^0C，则（）

bS/

A.o,48,C四点必共面B.P,力,8,C四点必共面

C.0,P,B,C四点必共面D.0.P,48,C五点必共面

【答案】B

【分析】根据如下结论判断：定于空间任一点。和不共线三点A,8,C,若点P满足赤=xH?+y而+

zOC（x,y,z6R）且%4-y+z=1,则P,A,8,C四点共面.

【详解】对于空间任一点。和不共线三点4B,C,若点P满足而=xOA+yOB+zOC（x,y,zE/?）且不+y+

z=1,则P,4B,C四点共面.

^OP=^OA+^OB+^OC,其中：+：+；1,所以P,4,8,C四点共面.

O3ZO.5Z

故选：B.

【变式6-1]3.（2023秋・浙江台州•高二台州市书生中学校考期末）已知空间四面体O/BC中，对空间内任

一点M，满足丽=+：而+A沆下列条件中能确定点M,4B,C共面的是（）

46

A.A=-B.A=-C.A=—D.A=—

231Z12

【答案】D

【分析】利用空间中四点共面定理求解即可.

【详解】根据空间中四点共面可知：+：+a=1,解得a=白

4o1Z

故选：D

【变式6-1]4.（2022春•上海浦东新•高二上海市建平中学校考期末）已知A、B、C、D、E是空间中的五个

点，其中点A、B、C不共线，则"DE||平面ABC"是"存在实数X、y,使得厉=xAB+y近的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合向量共面的判定定理即可得出答案.

【详解】若DE〃平面ABC,则丽函尼共面，故存在实数x、y，使得丽=xAB+yAC.

若存在实数x、y,使得砺=xAB+yAC,则丽,AB,旅共面

则DE〃平面ABC或OEu平面ABC.

所以"DE〃平面ABC”是"存在实数x、y,使得反二工荏+y而的充分而不必要条件.

故选：A.

【变式6-1]5.（多选）（2023秋・广东广州•高二秀全中学校考期末）若M4,4构成空间的一个基底，

则下列向量共面的是（）

C.a+b,a—b,cD.d+b.d+bc,c

【答案】ABD

【分析】利用共面向量定理逐项分析判断作答.

【详解】｛瓦£选构成空间的一个基底，

对于A,(b4-c)4-(h-c)=2b,因此另+c,b,b-5共面，A正确；

对于B,(a4-b)4-(d—b)=2a,因此G,d+b,d—B共面,B正确；

对于C,假定a+B,,洪面，则存在尢〃eR使得

c=A(d+5)+-b)=(A+n)a+(2-加,而二b,环共面，则g]，二;，解得2=〃=0,

于是1=0,匕族,洪面，与日范,左共面矛盾，因此d+心d-况坏能共面，c错误；

对于D,伍+斤)+0=,+族+乙因此G+b,a+b+c,洪面，D正确.

故选：ABD

题型7基底法求数量积

【例题7](2022秋•浙江湖州•高二统考期末应校长为1的正四面体AECO中，点M满足戒=xAB+yAC±

(1-X-y)而(X,y6R)点N满足丽=ADX+(1-1)DC(A6R)，当AM和DN的长度都为最短时fAM•AN

的值是()

AB.CD.

3333

【答案】A

【分析】根据给定条件确定点M,N的位置，再借助空间向量数量积计算作答.

【详解】因而=xAB+yAC+(l-x-y)AD，则丽-AD=x(AB-AD)+y(AC-AD),即丽=xDB+

yDC.

而x,y6R,则由，万,反共面，点M在平面BCD内，

又丽=WA+(1-A)DC(AGR),即而=ACA,于是得点N在直线71。上，

棱长为1的正四面体力BCD中，当月M长最短时，点M是点A在平面88上的射影，即正△BCD的中心，

因此，病=：而+：元+而，当DN长最短时，点N是点D在直线AC上的射影，即正△ACD边AC的

中点，

AN=^AC,而乙8AC=乙DAC=60n,AB-AC=AD-AC=1x1xcos6(T=1,

所以宿-AN=^（AB+AC^AD）^AC=^（AB-AC-i-AC2-{-AD-AC）=^,

故选：A

【变式7-1]1.（2023春•四川德阳•高二统考期末）已知点P为棱长等于1的正方体ABC。-4BiGD]内部

一动点,且同|=1,则阳•时的值达到最小时，西与西夹角大小为.

【答案】90*

【分析】取线段G。】的中点E，可得出两•两=|方广-；,分析可知当人P、E三点共线时，网•两取

最小值，求出|即|的最小值可得瓦；•西=。可得解.

【详解】取线段的。1的中点后,贝！时=方+岗，西=方-西，

因为|P*=1,所以P在以人为球心的正方体内部的球面上,

所以，丽.呵=（而+西）•（而-西）=PE2-西2=回/_1,

当4P、E三点共线时，西•西'取最小值，

此时固min=卜+了+（丁T=J

此时雨.西=|PE|2-；=o,

所以PD11PG,所以南与西的夹角为90。.

故答案为：90。.

【变式7-1]2.（2022秋•浙江金华•高二校联考期末）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等

于1,点E,F分别是BC,AD的中点，则荏.存的值为

【答案】一夕-0.5

【分析】BC,BD,瓦?两两成60。角，模都为1,以这三个向量为基底，进行向量数量积运算.

【详解】

根据题意ABCD为正四面体，

BC,BD,而两两成60。角，百X•前=•前=前•丽=[,

由族=BE-BA=河-BA,

CF=BF-~BC=^BA+^'BD-'BC,

所以荏.CF=c前-0)•G而+逆-硝

故答案为：-g

【变式7-1]3.（2023秋福建三明•高二统考期末如图在四面体ABCD中“AC=60。^BAD=乙CAD=

45c,AD=V2,AB=AC=3.

⑴求近•丽的值；

⑵已知F是线段CD中点，点E满足而=2AE,求线段EF的长.

【答案】（瑶；

⑵日.

【分析】（1）取福亚，而为空间的一个基底，表示出航前,再利用空间向量数量积求解作答.

（2）利用（1）中的信息，利用空间向量数量积计算空间向量的模作答

【详解】(1)在四面体48G)中，设施=a,AC=b,AD=c,则|五|=|b|=3,|c|=V2,

(a,b)=乙BAC=60°,(a,c)=乙BAD=45°,(b,c)=Z.CAD=45°,

前•BD=(AC—AB)•(AD-AB)=(b-a)-(c-a)=5-c—b-d—a-c+a2

=|b||c|cos45°-|b||a|cos60°-|d||c|cos450+|a|2=372xy-32x1-3^xy+32=

(2由1知,因为前=2AE则荏=建=/，因为F是CD中点贝廊=^DC=^(AC-AD)=^b-^cf

如图，

于是得EF=EA+AD+DF=--3d+c+-2b--2c=--3d+-2b-i-2-c,

因此|而|2=（—9&+：»+旨）2=9+9+?—§一.+野

32,32,（0产32cos60。3企cos45。,3>/2cos45o11-_—.6

=7+7+~------3--------=+^^=7,即pn有（但用=方，

所以线段EF的长为手.

【变式7-1】4.（2023春河南许昌•高二校考期末）如图，点M、N分别是棱长为1的正四面体（M8C的边04

和BC的中点，点P、Q是线段MN的三等分点.

⑴用向量力L砺、沆表示而和而；

（2）求研、砚；

⑶求丽•0Q.

【答案】⑴丽=;而+;而+;近，而=;而+:砺+:沆