《工程力学（第3版）》-第3章

3.1力在空间直角坐标轴上的投影3.1.1直接投影法当力F在空间的方位直接采用F与x、y、z坐标轴的夹角α、β、γ表示时（图3−4），则力F在直角坐标轴上的投影可表示为各轴的投影方向与所对应轴的正向一致时取正号，反之取负号。下一页返回3.1力在空间直角坐标轴上的投影3.1.2二次投影法若力在空间的方位采用力与任一坐标轴（如z轴）的夹角γ及力在垂直于此轴（z轴）的坐标平面（Oxy面）上的投影与另一轴的夹角ϕ表示，如图3−5

所示，则可先求出力F在xy平面上的投影Fxy

，然后再将Fxy

分别投影到x、y轴上，求出力F在坐标轴上的投影。此法称为二次投影法。应用二次投影法的过程可作如下归纳：下一页返回上一页3.1力在空间直角坐标轴上的投影3.1.3合力投影定理设有一空间汇交力系F1

，F2

，…，Fn

，利用力的平行四边形法则，可将其逐步合成为一个合力矢FR

，且有空间汇交力系的合力在某一轴上的投影，等于力系中各力在同一轴上投影的代数和，式（3−3）称为空间力系的合力投影定理。返回上一页3.2力对轴之矩3.2.1力对轴之矩从空间的角度来看，对一个与z轴不共面的力F，可将力F分解为两个分力，一个为平行于z轴方向的分力Fz

，另一个为在垂直于z轴平面上的分力Fxy

。这样就将力F中对轴无矩的成分与有矩的成分分离开来（图3−7（a））。由于Fz

对z轴无矩，所以力F对z轴的力矩就只等于Fxy对z轴的力矩，而Fxy对z轴的力矩就是Fxy

对O点之矩。故综上所述，力使刚体绕一轴转动效应的度量称为力对该轴之矩，简称力对轴之矩。下一页返回3.2力对轴之矩它等于此力在垂直于该轴平面上的投影对该轴与此平面的交点之矩（图3−7（b））。记作Mz

(F)，下标z表示取矩的轴，力对轴之矩的单位为N·m或kN·m。力对轴之矩的符号可用右手定则来判定：用右手握住z轴，使四指指向力矩的转向，若此时大拇指指向z轴的正向，则力矩为正；反之为负。3.2.2合力矩定理在平面力系中推证过的合力矩定理，在空间力系中仍然适用，即力F对某轴（如z轴）的力矩，为力F在x、y、z三个坐标方向的分力Fx、Fy

、Fz

对同轴（z轴）力矩的代数和，此为合力矩定理。上一页下一页返回3.2力对轴之矩应用上式时，投影Fx

、Fy

、Fz

及坐标xA

、yA

、zA

均应考虑本身的正负号。所得力矩的正负号亦将表明力矩绕轴的转向。上一页返回3.3空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡条件也是通过力系的简化得出的。与平面任意力系相仿，空间任意力系也可简化为主矢和主矩，当主矢和主矩都等于零时力系平衡。由此而导出的空间任意力系的平衡方程为式（3−7）表明空间任意力系平衡的必要与充分条件是：各力在三个坐标轴上的投影的代数和以及各力对此三轴之矩的代数和都等于零。式（3−7）有六个独立的平衡方程，可以解六个未知量，它是解决空间力系平衡问题的基本方程。下一页返回3.3空间任意力系的平衡方程由式（3−7）可得出空间任意力系的特殊情况下的平衡方程式如下：上一页下一页返回3.3空间任意力系的平衡方程求解空间力系的平衡问题的基本方法和步骤与平面力系问题相同。即（1）确定研究对象，取分离体，画受力图。（2）确定力系类型，列出平衡方程。（3）代入已知条件，求解未知量。正确地取出分离体，画受力图是解决问题的关键，表3−1列出了空间常见的约束类型及约束力表示法。上一页返回3.4重心地球上的任何物体都要受到地球的引力，若把物体假想地分割成无数部分，则所有这些微小部分受到的地球引力将组成一个空间汇交力系（汇交点在地球中心）。由于物体的尺寸与地球的半径相比要小很多，因此可近似地认为这个力系是空间平行力系，此平行力系的合力G即物体的重力。通过实验可以知道，无论物体怎样放置，其重力总是通过物体内的一个确定点——平行力系的中心，这个确定的点称为物体的重心。下一页返回3.4重心3.4.1重心及形心的坐标公式若将图3−12中的物体分成许多微小部分，每一微小部分的重力分别为G1

，G2

，…，Gn

，组成空间平行力系，各部分重心坐标为（x1

，y1，z1

），（x2

，y2

，z2

），…，（xn

，yn

，zn

）。由于物体重力G是各部分重力G1

，G2

，…，Gn的合力。这个平行力系合力作用点即物体的重心C，设C点的位置坐标为(xC,yC,zC)。这些坐标的值可由合力矩定理求得，即由上一页下一页返回3.4重心上一页下一页返回3.4重心式（3−10）即物体重心坐标公式。若物体为均质的，设其密度为ρ，总体积为V，微元的体积为Vi

，则,G=ρgV,Gi=ρgVi，代入式（3−10）有上一页下一页返回3.4重心可见均质物体的重心位置完全取决于物体的几何形状，而与物体质量无关，因此均质物体的重心也称为形心，对于均质物体来说，形心和重心是重合的。若物体是等厚均质薄板，可消去式（3−11）中的板厚，从而有式（3−12）称为平面图形形心坐标公式。其中，A和Ai

分别为物体平面图形总面积和各微元的面积。上一页下一页返回3.4重心3.4.2确定重心位置的方法重心位置的确定方法有很多种，这里着重介绍以下几种。1.对称法对于均质物体，如几何体上具有对称平面、对称轴及对称中心，则此物体的重心必在此对称平面、对称轴及对称中心上。如物体具有两个对称面，则重心必在此两面的交线上。若物体具有两根对称轴，则重心必在此两轴的交点上。上一页下一页返回3.4重心因为相对于对称平面（或对称轴、对称点），物体在其两侧的微小部分总是成对且等距离地存在，因此，对于对称面（或对称轴、对称点）而言，存在一个正的微静矩就必定同时存在一个相同值的负微静矩，相加时互相抵消，物体对于对称面（或对称轴、对称点）的总静矩总是为零。所以，物体的重心就必定在对称面、对称轴及对称点上。2.平衡法如物体的形状不是由基本形体组成，或过于复杂，或质量分布不匀，其重心常用平衡法来确定。上一页下一页返回3.4重心3.解析法（1）积分法。求规则形体的形心时，可将形体分割成无限多块微小形体，在此极限情况下，可将式（3−11）写成定积分形式：式中，dV

为体元；x，y，z为体元的位置坐标。物体的重心、面积形心坐标积分公式可同理写出。此法称为积分法，也称为无限分割法。上一页下一页返回3.4重心常用基本几何体的形心位置可在机械设计手册中查得。表3−2中介绍部分基本几何体的形心位置。（2）组合法。若一个复杂形体是由几个简单基本形体组合而成，而每个基本形体的形心位置又是已知的，则可将此复杂形体分割成几个基本形体，应用式（3−11）、式（3−12）通过有限项的合成求出它的形心。如有一个形体为一基本形体中挖去另一个基本形体的残留形状，只需将被挖形体的体积或面积看作负值，仍