广东揭阳市三校2025-2026学年高三年级下册开学综合训练数学试题

2026年2月高三级综合训练

数学

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.

1.命题：的否定是（）

A.VxeB.Z,|A^GNC.3XCZ，W任ND.*任Z,国任N

【答案】C

【解析】

【分析】对全称量词命题进行否定时，只需将全称量词改为存在量词，并否定原命题的结论即可.

【详解】全称量词V要改为存在量词结论要否定为凶金N,条件xwZ保持不变：

所以命题的否定是BXEZJXeN.

故选:C

2.在二项式（。+〃）"的展开式中，第5项和第9项的系数相等，则〃=（）

A.14B.13C.12D.II

【答案】C

【解析】

【分析】写出展开式的通项，依题意C：=C）即可求出〃.

【详解】二项式（〃+〃）”展开式的通项为&=C/F/〃且〃eN）,

依题意可得C：=C＞则〃=4+8=12.

故选：C.

3.已知〃，q为实数,2i—3是关于x的方程2/+庶+4=。的一个根，则〃+4的值为（）

A.14B.-14C.38D.—38

【答案】C

【解析】

分析】把根代入方程，利用复数相等可求答案.

【详解】由题意2（2i—3『+〃（2i—3）+9=0,即（2〃-24万+10-3〃+9=0,

2〃一24=°解得Qi2

所以〃+“=38.

10-3〃+g=0=0'[^=26

故选：C

4.已知｛4｝是各项为正数的等比数列，6%=%，且2%与生的等差中项为4,则。6等于（）

15

A.2B.—C.4D.8

4

【答案】D

【解析】

【分析】利用等比中项的性质可根据4%=%求得知，再根据等差中项的性质得到2%+%=8,结合

%=1，解得公比4,进而可求得。6・

【详解】由题可知，q%=〃；=〃3,得。3（&-1）=0,解得q=1或%=。（舍去）.

设等比数列｛4｝的公比为夕（<7>0）,则由2%+%=8，可得2%夕+44=2q+q?=8,

整理得（q-2）（q+4）=0,得4=2或g=Y（舍去），

贝U。6=%/=1x8=8.

故选：D.

5.已知点P（3,5）是圆。：/+（）,一1『=1外一点，过P作圆C的两条切线，切于A,B两点，则切线长

\PA\=（）

A.2的B.26C.V26D.372

【答案】A

【解析】

【分析】利用切线长公式计算.

【详解】由题意知,C（o,l）,半径r=1,

贝|J归川=^PC^-r2=^32+（5-1）2-1=2".

故选：A

6.有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面

体.半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.某公园中设置的供市民休息的石

凳如图所示，它是一个棱数为24的半正多面体，且所有顶点都在同一个正方体的表面上，它也可以看成

是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，若被截正方体的棱长为0.5m,则该石凳的表面积为

()

A.6m2B.35Am2C.S+VSm2D.+m2

4

【答案】D

【解析】

【分析】由已知得到石凳的各条棱都相等，并求得楂的长度，然后分别计算6个正方形面的和，8个等边

三角形面的面积的和，然后求和即得.

【详解】由图形可得该多面体的棱长为正，则6个正方形的面积之和为=8个等边三

4444

角形的面积之和为8x乎=乎，所以该石凳的表面积为土子m?.

故选：D.

7.如图所示，等边VA笈。内有3个全等的小三角形，口石尸=2，tanNA"Z?_Y3，则VA9C的面积

为（）

A.7B.C.14D.14G

【答案】B

【解析】

【分析】设|人尸|=忸4=1在△A3O中，分别利用正弦定理和余弦定理，求得边长再利用三角形

面枳公式求解.

【详解】在△ABO中，ZADB=\S0-60=120，

又1anNABE=@，则NA5E为锐角,

2

sinZ.ABE_8

tanZ.ABE=

cosZ.ABE2sinZABE=,设|4F|=|BD|=x,

7

sin2ZABE+cos2ZABE=l

一+2—|明=x+2」明।j」(x+2)

在△ABD中，由正弦定理得sinNABEsin120在'G2，

~1~T

22

由余弦定理得［4砰=|40『+|0邳2—2|4以。河85120=>"I"*?)=(x+2)+x+(x+2)x,

\/

=>5x2-4x-\2=0=>x=2^x=--(舍)，

所以陷=包岁1="0=2"

所以s=1-|AB|2sin60=；x(2>/7『x#=7行,

故选:B

8.设2"=3"=7c<1，则()

A.7c<la<3bB.3b<2a<7cC.3b<7c<2aD.lc<3b<2a

【答案】A

【解析】

【分析】方法一：设2“=3b=7'=，<1，可知c为负数，分别表示工，:和上，根据选项，构造上和

abca

272

三,并比较大小，即可判断2。与3力的大小关系；同理，构造一和一，可判定2。与7c•的大小关系，即可得

方ac

到结果；

方法二：设2"=3〃=7'=/<1,分别利用Inf表示〃力,。，并结合选项构造2。,3〃,7c,则可构造函数

/(A)=—,结合函数在(e,+。)上的单调性，可判断“7),/(2),“3)的大小关系，整理后即可得到

11W

结果.

【详解】方法一：设2“=3"=7'=fvl，

则，=Iogf2,y=logr3,-=log,7,且。，4c为负数,

abc

37

所以一二log,8>log9=一，由而>0得勿〈劝.

azb

72

同理，一=logJ28<log,49=一,由ac>0得7c〈加，

ac

所以7cv2〃v给.

，人.li",Inf,Inr

方法二：饺2"=3=7<=/<l,则ml4=log,r=——，b=logz=——，c=logr=——，

ln23ln37ln7

所以2a=网，3Z?=—,7c=—

ln2ln3ln7

设f(x)=F，则/'(x)=lnx-1

11LAln2x

当上«e,+8）时，/（句＞0,所以/（x）在（e,+功上单调递簿,

因为〃2)二备=亮二告=〃4)，且〃7)>〃4)>〃3)>0,

3427

U即M—<---=----<----.

In3In4ln2ln7

又htfvO,所以7cv2av3b.

故选：A

二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得。分，部分选对的得部分分.请把正确选项在

答题卡中的相应位置涂黑.

9.已知〃2，〃为两条不同的直线，。，仅两个不同的平面，且〃2_1_8〃///,则（）

A.若加〃〃，则a_L〃氏若根///，则6

C.若〃则，〃_!_〃D.若〃2〃〃，则〃〃/夕

【答案】AC

【解析】

【分析】A由面面垂直的判定定理即可判断，BCD由线面之间的关系即可判断，

【详解】对于A,由面面垂直的判定定理即可判断。_L〃，故A正确；

对干B,若m工a,相〃力可得直线〃，与直线〃可能平行、相交、异面，故B错误;

对干C,若m上0,又〃〃〃则擀_1_〃，故C正确;

对于D,若，〃//〃,，///7,则加〃夕或mu6,故D错误;

故选：AC.

10.下列说法正确的有()

A.69,63,65,55,71,73,77,78,83,82这组数据的第8()百分位数是80

B.若一组数据4，勺，…，x”的方差为则2百，2/，…，2%的方差为1

C.若变量X服从二项分布则E(X)=2

D.若变量J服从正态分布N(l()0,b2),P(I00<^<113)=0.3,则PC<87)=0.2

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据百分位数的概念计算可得选项A正确；根据方差的性质可得选项B错误；利用二项分布均值

计算公式可得选项C正确；根据正态分布的对称性可得选项D正确.

【详解】A.将数据从小到大排序为55,63,65,69,71,73,77,78,82,83,共10个数据.

78+82

V10?8()%8,・••这组数据的第80百分位数是-------=80,选项A正确.

2

B.若一组数据d，x2.......x”的方差为则2玉，2々，…，2%的方差为22xg=2,选项B错误.

C.若变量X服从二项分布〃(4,；)则E(X)=4xg=2,选项C正确.

D：•变量J服从正态分布N(100,cr2),.♦•正态密度曲线关于直线1=100对称，

・•・P(^<100)=P(^>100)=0.5,P(1OO<<<113)=P(87<^<100)=0.3,

I.p/<87)=P«<100)-P(87<<<100)=0.5-0.3=0.2,选项D正确.

故选：ACD.

11.纯音的数学模型是函数)=Asina,但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结

合，称为复合音•复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为/的基音的同时，其各部分，如二分

之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如27,37,4/等.这些

音叫谐音，因为其振幅较小，我们•般不易单独听出来，所以我们听到的声音函数是

y=siar+—sin2;t+—sin3;r+.1己＜（工）=sinv+—sin2x+-sin3jr++—sin/tr,则下歹J结论中正确

2323n

的是（）

A.工=兀为力（x）的一条对称轴B.人⑺的最小正周期为2兀

c.人（另的最大值为;+半

D.＜（x）关于点（兀,0）中心对称

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据人（一工+2兀）可判断选项A；根据人（工+2兀）=入（力可判断选项B：利用导数研究

函数的最值的方法及三角恒等变换即可判断选项C；根据＜（-工+2兀）+4（同=0可判断选项D.

【详解】因为人（x）=sinx+/sin2x,

f2[-x+2n）=sin（-x4-27i）+^-sin2（-x+27t）=-sinx--^sin2x=-/,（x）,

所以力（一x+2兀）工人⑺，

则X=7T不为f2（X）的一条对称轴，故选项A不正确；

因为力（x+27r）=sin（x+27r）+；sin2（x+27i）=sinx+/sin2x,

所以人（x+2兀）二人（力，

则力（力的周期为2兀，而），=5而工的最小正周期为2兀，故人（工）的最小正周期为2兀,

故选项B正确；

因为力（x）=sirLr+—sin2x+—sin3x

23

所以力（x）=cos^+cos2x+cos3x

=cosx+cos2x+cos（2x+x）

=cosx+cos2x+cos2ACOSX-sin2xsinx

=cosx+cos2x+cos2xcosx-2sin-xcosx

=cos2x+2cos2xcosx

=cos2x（l+2cosx）

又因为（x+2兀）=sin（K+27t）+gsin2（_r+27r）+；sin3（x+27r）=/；（戈）

所以质（X）的周期为2兀.

故只考虑函数力（”在［0,2可上的最大值即可.

*z»,（\zx/日八it_1x4兀37c_p,5兀47c_p_77r.

令4（x）＞0,得：0＜不＜一或一＜x＜一或一＜x＜一或一＜x＜2兀:

'''434434

712兀一、〜3兀5兀„4九7式

令人（x）<0,得:—<x<一或者一<x<一或一<x<一;

4434434

（2n371），5兀4兀、（7nn2兀'

所以函数A（x）在（。,£6i,2兀|上单调递增;在和

）

4兀女、

上单调递减.

又因为力仔卜V211V212＞/23兀12a手，力（2兀）=。

-X----=---1------，力-+-----

22322323

所以右（工）最大值为g+半，故选项C正确;

因为＜（x）=siru+gsin2x+gsin3式++—sin/tr,

力（一x+2兀）=sin（-x+27：）+—sin2（-x+27t）4-isin3（-x+2n）4--­+—sin//（-x+2兀）

23n

5…轲2公轲3（一+2山-—-inm

所以力（-X+2兀）+fn（x）=O,

则£（x）关于点（兀,0）中心对称,故选项D正确.

故选：BCD

三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上.

2

12.若直线），二左（工一3）与双曲线?-），2=1只有一个公共点，则上的一个取值为.

【答案】I（或一!，答案不唯一）

22

【解析】

【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.

上2-1

【详解】联立（4），化简并整理得：+24公戈-36/一4二0,

y二左（工一3）

由题意得1—止=0或△=(24左1+4(36左2+4)(1—4r)=0,

解得左=±；或无解，即〃=土;，经检验，符合题意.

故答案为：；(或一答案不唯一).

22

13.已知角。的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，将角。的终边绕原点逆时针旋转三后与单位

4

(43、

圆/+y2=1交于点尸—I,则sin2a=.

7

【答案一天

【解析】

【分析】

/\

利用三角函数的定义可解出cosa+f,然后余弦的二倍角公式求解.

I4J

【详解】由题意可知：cosf«+—=±则cos2cr+—|=2cos2f«+--1=2x—-1=—,

\4；5<2JV4J2525

又cos2a+—=-sin2a,所以sin2a------.

I2j25

7

故答案为：-二.

25

【点睛】本题考查任意角三角函数的定义，考查诱导公式、二倍角公式的运用，较简单.

14.1202年，意大利数学家斐波那契(LeonardoFibonacci,约1170-约1250)以兔子繁殖问题,引入“兔

子数列“：I,I,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,即耳二6=1,

人们在自然界中发现了许多斐波那契数列的例子•斐波那契数列在现代

物理“准晶体结构”、化学等领域也有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列｛%｝，则

数列｛%｝的前2025项的和为.

【答案】1350

【解析】

【分析】由题意可得出新数列，判断出周期性，即可求得答案.

【详解】由题意知数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…，

被2除后的余数构成一个新数列｛〃“｝：1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,…，

即数列｛4｝是以3为周期的数列，一个周期内的三项和为2,

因为2025=675x3,故数列｛%｝的前2025项的和为675x2=1350,

故答案为：1350

四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.某校组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成

绩，绘制了频率分布直方图，如图所示.

（1）根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表）

（2）若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N（〃,b2）,其中〃为样本平均数的估计值，0-%14,

初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数、（四舍五入精确到整数）.

附：若随机变量X服从正态分布乂（",。2）,贝l」P（〃-crWX4〃+b）a（）.6827,

P（^-2（y<X<jLi+2b）«0.9545,P（//-3rr<X<//+3b）=0.9973.

【答案】（1）62

（2）46

【解析】

【分析】（1）根据平均数的求法计算即可；

（2）根据3o■原则以及正态分布对称性计算.

【小问1详解】

设样本平均数的估计值为"

则E=10（40x0.01+50x0.02+60x0.03+70x0.024+80x0012+90x0.004）=62.

所以，样本平均数的估计值为62.

【小问2详解】

由（1）可知，样本平均数的估计值〃=62,

所以〃+2。p62+2x14=90,

则P（X290）=P（X之〃+2b）=，（1-0.9545）=0.02275.

所以，估计能参加复试的人数为2000x0.02275k46.

16.已知函数/（工）=25亩2（7+'->/58521一1,工£兄

（1）求函数/（X）的单调递增区间；

（2）在V48C中，角A、B、C的对边分别是。、b、%且满足（2。一。"。5笈=尻。$。，若方程

/（A）+l=〃?恰有两个不同的解，求实数〃?的取值范围.

JI、冗

【答案】（1）一五+%乃,泊+Z乃（火£Z）；（2）l<m<3.

【解析】

/\

【分析】（I）先将函数解析式化简整理，得到/W=2sin2x喂，根据

—2+2攵4£2不—工£生+2%肛kwZ求解，即可得出结果；

232

7171（71\71（71

（2）先由题意，根据正弦定理，得到8=一，求出24一、£一三,不,^t=2A--e\--^,画

33y3y3\3）

出"）=2sinr在7一半乃）的大致图像，将方程/（A）+l=〃z恰有两个不同的解，转化为产“。与

y二〃?-1有两不同交点，结合函数图像，即可得出结果.

【详解】（1）因为/（x）=2sin[?+x）-GCOS2X-1=-6COS2X-COS（/+2.E）

=sin2X-GCOS2x=2sin（2x-1）,

由一工+2攵乃W2工一巳£工+2%乃次GZ得一"k7r<x<—+k/r,keZ,

2321212

所以函数的单调递增区间为一气+k冗噂+kn:（kwZ）；

（2）因为（2«-。）8$8=685，,所以（2sinA-sinC）cosB=sin/?cosC,

即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sin＞l,所以cosB=—,

2

故8=。，所以A£（0,3-,因此2A一耳e（一，

所以sin（2A-q）£一弓』，令f=24一?£（一（,乃，则/⑺=2sin/,

作出函数/⑺=2sinf在Z£一号乃）的大致图像如下，

因为方程/（A）+l=m恰有两个不同的解，则y=/（A）与y=〃z-l有两不同交点,

即＞'=/（/）与丁=〃?一1有两不同交点,

由图像可得，只需0＜机一1＜2,即1＜加＜3.

【点睛】本题主要考查求正弦型三角函数的单调区间，以及根据方程根的个数求参数的问题，熟记辅助角

公式，正弦函数的单调区间，正弦定理等，灵活运用数形结合的方法求解即可，属于常考题型.

17.如图，在三棱锥。一A3c中，ZZ14C=ZB4C=60%AC=1,AB=2,AD=3fACA.BC.

（1）求AC-B。，并说明异面直线AC与用力所成角。的大小在棱B力长度增大时是怎样变化的.

（2）判断点。在平面ABC上的射影是否可能在直线4c上？说出你的结论并加以证明.

【答案】（1）随3。长度增大，6也增大

（2）不可能，证明见解析.

【解析】

【分析】(1)将ACBD转化为ACA。—AOA8计算即可，再根据向量数量积与余弦函数的单调性

可知随8。长度增大，。也增大.

(2)应用反证法，假设点D在平面ABC上的射影在BC」:，则有AC.80=0,得出矛盾故得证.

【小问1详解】

异面直线AC与BO所成角为aAC8O=AC(AO—A8)=ACAO-ACA8,

AC-Ab=|AC|-|AZ5|cos^CMD)=lx3x-=-,AC-AB=|AC|-|AB|cos^CM^=lx2x-=l,

222

31

/.ACBD=ACAD-ACAB=一一1=-,

22

vAC-5D=|/AC|•|BD|cos6>,AC=\,

n_1

'C°盼=不可，因为8«0,可，)=COS0在［0,可上单调递减，所以随BQ长度增大，cos。减少，故。增

大.

【小问2详解】

不可能.

证明：假设点O在平面ABC上的射影在3c上，

则平面ABC±平面O8C,平面ABC1平面DBC=BC.AC1BC,ACu平面ABC,AC_L平面O8C,则

有ACS皿九

从而有AC・30=()，这与Ad矛盾，

所以点。在平面ABC上的射影不可能在3C上.

18.已知函数/(x)=ln(x+l)-or+1.

(1)当a=l时，求y=/(x)的极值；

(2)若/(x)Wl在［0,+8)上恒成立，求实数。的取值范围;

(3)证明：V〃eN"(1+g+*

【答案】(1)极大值I,无极小值

(2)［1,-Ko)

(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)利用导函数判断其单调性即可;

⑵将问题转化为ln(x+l)-在［0,+巧上恒成立，构造g(>r)=ln(x+l)-at(xNO),再分类讨论

研究其单调性即可；

I/1^1

(3)由(2)知，当々=1时，ln(x+l)Kx在［0,+纥)上恒成立，令X=则有In1+—<—,

再写出“个式子，将其相加化简即可.

【小问1详解】

当〃=1时，/(x)=ln(x+l)-j+l,定义域为(-1,+8),则/'3=三匕-1=彘/

当-l<xv()时，/z(A-)>0；当x>0时，r(x)<0,

所以/(x)在(-1,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减,

因此,当4=1时/(戈)有极大值/(。)=1：/(X)无极小值.

【小问2详解】

若/(x)=ln(x+l)-or+l<1在［0,+功上恒成立,

即ln(x+l)-or<0在［0,+8)上恒成立，

设g(x)=ln(x+l)一依(工之。)，则g(0)=。,g'(x)=—!——a,

XI1

①当4W0时，有g'(x)>0,此时函数g(x)［0,+8)上单调电增,

有g(x)Ng(O)=O,不符合题意;

②当。>0时，，/、1-ax-a+\

g(M=—7-a=-----；—

x+1x+1x+1

令g'(x)=O,解得人二：-1,

若心1,则5-140,此时g'(x)〈O,

函数g(x)在［0,+8)上单调递减，则恒有g(x)Hg(O)=O,符合题意;

若Ovavl,则—1>0,则g'(x)>0,得0<x<—1；g(x)vO,得x>—1,

aaa

从而可知，函数g(x)在(0,：

—1J上单调递增，在l,+8j上单调递减.

注意到当工£(0,5-11时.，g(*>g(O)=O,此与g(x)KO用矛盾，不符合题意.

综上，实数。的取值范围为［1,+8).

【小问3详解】

山(2)知，当々=1时，ln(x+l)&x在［0,+。)上恒成立,

令XU!WGN"),则有In1

<-7，

得)2”

1、1(|1.I

所以hi1+-<—,in1+百〈声，…，In<友'

I2j2

将上面式子相加,可得ln(l+g)+ln(l++...+ln[l+4r]/+!+…+±,

(T)222T

\1

即是加

i+0?+丹｛总<一—

2

J_、

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19,用一个平面截圆锥，若圆锥的轴与该平面所成角大于圆锥轴截面的半顶角时，所得截口曲线是椭圆.在

直角三角形ABC中，BC=1,ZB=90，NA=30，点。在线段43上，CO为/C的平分线，直线

C8与平面。垂直，垂足为B.点Eea,NOCE=45，记点E的轨迹为曲线W.

(1)说明：曲线卬为椭圆；

(2)建立适当坐标系，求曲线W的方程；

(3)当四面体七一A5c体积最大时，求平面E4C与平面。夹角的大小.

【答案】(I)说明见解析.

（2）坐标系见解析，椭圆方程为6）|丁_］（依赖于坐标系）.

42

（3）30°

【解析】

【分析】（1）可将“ZDCE=45°的点E”视作以C为顶点、CD为轴的圆锥面上的点，然后

根据题意判定即可；

（2）建立坐标系，利用空间向晨运算求解：

（3）法一：利用坐标系中坐标运算求解；法二：利用面面角的定义，使用线面垂直的判定定理，采用儿

何方法求解.

【小问1详解】

曲线W是椭圆的几何理由：

可将“NDC