高考数学复习训练：空间向量在立体几何中的应用（角和距离）分层训练 （原卷版）

专题18空间向量在立体几何中的应用（角和距离）

【练基础】

一、单选题

1.（2022•全国•统考高考真题）在正方体A8CQ-A4CA中，E,r分别为ABIC的中点，则（）

A.平面4律_L平面B.平面平面

C.平面4E尸//平面AACD.平面4M〃平面4CQ

2.（2023・全国•高三专题练习）下图为正三棱柱A8C-。叮的一个展开图，若4,A-4,。，D.,2六点在同一

个圆周上，则在原正三棱柱中，直线AE和直线8尸所成角的余弦值是（）

3.（2022秋.湖北黄冈•高三校考期中）平行六面体A3cO-A/GA中，ZA.AB=ZA.AD=ABAD=^AB=AD=AA],

3

则82与底面A8CZ）所成的线面角的正弦值是（）

A.BB.如C.1D.0

3322

4.（2023•全国•高三专题练习）在矩形48CQ中，。为8。中点且4）=24?,将平面48/5沿对角线翻折至二面

角A-8D—C为90。，则直线AO与CD所成角余弦值为（）

A.立B.好

54

136n4&

y-.-----LJ・----

2525

5.（2023・全国•高三专题练习）如图，已知正方体A5C。-44cA的棱长为1,则线段从2上的动点P到直线AG的

距离的最小值为（）

4G

4/iB、

A

叵cV6

A.1L•----D

24-T

6.（2023・全国•高三专题练习）正方体ABC。-ABC。棱长为2,动点P在线段BQ上（含端点），以下结论不正确

的为（）

4

A.三棱锥B-AQP的体积为定值1

B.过P,8,G三点若可作正方体的截面，则截面图形为三角形或平面四边形

C.当点。和四重合时，三棱锥尸-A|8D的外接球体枳为46兀

D.直线PD与面48。所成角的正弦值的范围为［

7.（2022•河南省直辖县级单位•统考二模）如图，已知A8是圆柱底面圆的一条直径，。。是圆柱的一条母线，C为

底面圆上一点，且OP=AB=42OA，则宜线PC与平面朋B所成角的正弦值为（）

P

AB

C

A.晅BD

10-TC15-i

8.（2023・全国•高三专题练习）在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为''曲池"的几何体，该几何体的

上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为2,AA，

8%CC.,均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2,对应的圆心角为90。，则图中

异面直线A4与CR所成角的余弦值为（）

答案第2页，共15页

二、多选题

9.（2023・云南・统考模拟预测）如图，在正方体ABCD-AB£R中,反RG分别为BC、CCP网的中点，则（）

A.AC14片B.A8与AA所成角为60。

C.1AFD.AG〃平面4M

10.（2023•全国•模拟预测）已知四楂徒尸-488的顶点都在一个表面积为16兀的球面上，PA_L平面43c。，底面

A8C。是正方形，AB=2,则（）

A.PA=2

B.PCLBD

C.直线PC与直线AB所成角的大小为60

D.直线PC与平面附B所成角的大小为60

11.（2023・山东威海•统考一模）在棱长为1的正方体八BCD-AMGA中，点〃满足人，一4/十八/切+yA£>,AG[OJ],

）回。』，顺）

A.当工=1时，Df+8P的最小值为石

B.当"=），时，有且仅有一点P满足。片，儿尸

C.当二十产1时，有且仅有•点〃满足到直线A4的距离与到平面A8CQ的距离相等

D.当f+）,2=］时，直线AP与CQ所成角的大小为定值

12.（2023•广东梅州・统考一模）如图，在直三棱柱ABC-A4G中，AC=BC=6,CC,=4,ACJ.BC,M为棱AG

的中点；E为棱8BJ：的动点（含端点），过点A、E、M作三棱柱的截面。，且。交8c于Q,则（）

A.线段ME的最小值为AB.棱3片上的不存在点E,使得4C，平面AEW

C.棱8用上的存在点E,使得AE_LMED.当七为极44的中点时，ME=7

三、填空题

13.（2。23•广东江门•统考一模）已知直线/过点A（12O）,且直线/的一个方向向后为〃7=（0,-11），则坐标原点O

到直线/的距离d为.

14.（2023・上海•统考模拟预测）正方体48C。-AqCQ的边长为1,点M、N分别为。RWC边的中点，，是侧面

月。上动点，若直线8M与面CP邦的交点位于JCJN内（包括边界），则所有满足要求的点P构成的图形面枳

为.

NR

答案笫4页，共15页

15.（2022•湖南永州•统考一模）在四棱锥尸-ABC。中，平面幺D_1_平面488,四边形A8co为等腰梯形，APAD

为等边三角形，AD//BC/BAD=120。,PA=AB=2s/3,则四棱锥P—ABCD的外接球球心G到平面PCD的距离是

16.（2023春•北京•高三北京市陈经纶中学校考开学考试）如图，在棱长为2的正方体ABC。-46/。。/中，点£

为梭CD的中点，点F为底面A8CO内一点，给出下列三个论断：

②A/F=3；

③S屈DF=2SJBF.

以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题：

四、解答题

17.（2023•全国•高三专题练习）如图，在四棱锥P-A8C。中，PD1AB,且PD=PB,底面4BCO是边长为2的菱

形，NBA。..

⑴证明：平面以CL平面/WCQ；

（2）若PAJ.PC,求平面物B与平面PBC夹角的余弦值.

18.（2023•山东泰安•统考一模）在如图所示的几何体中，底面ABCD是边长为6的正方形，AE1AB,

EG//AD,EG=^ADfEF“AB,EF=gAB,AE=6,点P,Q分别在棱GQ,8c上，且GP=P。，BQ=3QCfAO±PQ.

（I）证明：AE_L平面ABC。；

（2）设H为线段GC上一点，且三棱锥A-C。”的体枳为18,求平面AC”与平面A。”夹角的余弦值.

【提能力】

一、单选题

19.（2023・全国•高三专题练习）如图，在三棱锥M-A5C中，加4，平面48&ABC是边长为2的正三角形,

MA=2。E,b分别为MA,MC的中点，则异面直线班;与4〃所成角的余弦值为（）

A麻口出「Mn4>/70

A.------D.C.------L）.--------

77535

20.（2022.陕西咸阳.武功县普集高级中学校考一模）如图，在直二面角□一/-〃中，B、C是直线/上两点，点Aea,

点。《万，且48_L/,CO_U,AB=2,8c=3,8=4,那么直线A。与直线BC所成角的余弦值为（）

答案第6页，共15页

2>/294朝5x/29

292929

21.（2023・湖南衡阳•校考模拟预测）如图所示，正方体ABC。-A8G。中，点。为底面A8C。的中心，点，在侧

面3CC4的边界及其内部移动，若DQ工OP,则异面直线。产与A8所成角的余弦值的最大值为（）

22.（2023・全国•高三专题）如图正方体ABCO-ABCB,中，点E、尸分别是A8、4万的中点，。为正方形AaCQ

的中心，则（）

A.直线E厂与AO是异面直线B.直线E/与8与是科交直线

D.直线E/与AA所成角的余弦值为更

C.直线£尸与4C互相垂直

23.（2021・山西吕梁・统考一模）如图正三棱柱A8C-A4G的各棱长相等，。为人人的中点，则异面直线与G。

所成的角为（）

c

不

D.

c?2

24.（2022•浙江•高三专题）已知正方体ABC。-AMGA的棱长为2,点E,尸在平面入用0。内，若|AE|:石,

AC1DF,则下列选项中错误的是（）

B.点尸的轨迹是一条线段

D.AK与平面八/。所成角的正弦值的最大值为避/叵

C.IEFI的最小值为0-1

25.（2023・全国•高三专题练习）如图，四边形A8CD中,AB=BD=DA=2、BC=CD=母.现将沿8。折

起，当二面角A-8力-C处于过程中，直线AO与8c所成角的余弦值取值范围是（）

OO

答案第8页，共15页

A

4卜平用[f4]C.[O,fl邛叫

26.（2022・全国•高三专题练习）已知长方体A8CO—ASGA中，AB=BC=拳，点E在线段CC上，

EC

蓝=2（OW/lKl）平面。过线段的中点以及点片、E,现有如下说法：

（1）使得BE_LdE；

12'

（2）若/le，则平面。截长方体ABC。-A瓦G〃所得截面为平行四边形；

（3）若4=。，A8=2,则平面a截长方体AHCD-AMGR所得截面的面积为3a

以上说法正确的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

二、多选题

27.（2022.全国.模拟预测）已知正方体ABCO-ASGA中，八8=2,E,尸分别为棱AB,BC的中点，过点E,

作正方体的截面，则下列说法正确的是（）

A.若截面过点。1,则截面周长为2屈+正

B.若点，是线段A8上的动点（不含端点），则+的最小值为收二万

C.若截面是正六边形，则直线用力与截面垂直

2

D.若截面是正六边形，S,T是截面上两个不同的动点，设直线RB与直线57所成角的最小值为。，则sin9=：

28.（2022秋・吉林长春•高三长春巾.第二实验中学校考期末）如图，在平行四边形ABC。中，A8=l,A"=2,ZA=60%

改产分别为",从。的中点，沿律将△人所折起到的位置（H不在平面A8CD上），在折起过程中，下列

说法不正确的是（）

A.若M是A。的中点，则3M//平面AEF

B.存在某位置，使8D_L4'C

C.当二面角/V-E尸-笈为直二面角时，三棱锥用-/比坦外接球的表面积为g/r

D.直线AC和平面ABC。所成的角的最大值为「

6

29.（2023•云南曲靖・曲靖一中校考模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，下列结论成立的是（）

A.若点厂是平面的中心，则点尸到直线AC的距离为亚

4

B.二面角A-8（-8的正切值为々

C.直线斗坊与平面A8CQ1所成的角为45

D.若E是平面AG的中心，点产是立面的中心，则即〃面48c

30.（2023・全国•高三专题练习）在直三棱柱ABC-A&G中，AB1BC,BBl=AB=BC=2,。为的中点，点

产是线段8G上的点，则下列说法正确的是（）

答案第10页，共15页

A.4PJ•。卅

B.存在点P,使得直线AP与AB所成的角是30。

C.当点P是线段8G的中点时，三楂锥ABC外接球的表面积是127c

D.当点。是线段BG的中点时，直线AP与平面A4G所成角的正切值为恪.

三、填空题

31.（2022・全国•高三专题练习）己知三楂柱ABC-A4G的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2,。为8c的

中点，若==则异面直线4。与8cl所成角的余弦值为

AiG

Af

B

32.（2023♦全国•高三专题练习）在棱长为1的正方体ABC。-A4CA中，点尸是对角线4G的动点（点P与AC不

重合），则下列结论正确的有.

①存在点P，使得平面4。尸〃平面4c%；

②存在点P,使得AR1平面AOP；

③，,S：分别是△A。。在平面A8CQ，平面88CC上的正投影图形的面积，对任意的点P都有，工邑：

④对任急的点p,△AOP的面积都不等于立.

6

33.（2023・全国•高三专题练习）如图所示，ABC。-A4CQ是棱长为〃的正方体，例、N分别是下底面的棱入用、

BC的中点，尸是上底面的棱AO上的一点，42二］，过尸、M、N的平面交上底面于PQ,。在。。上，则异面

直线用。与4G所成角的余弦值为

34.（2。22.河南鹤壁.鹤壁高中校考模拟预测）如图，在棱长为1的正方体/WCD-44GR中，〃为棱片用的中点,

Q为正方形84CC内一动点（含边界），则下列说法中正确的是______.

答案第12页，共15页

①若。◎〃平面AP。，则动点Q的轨迹是一条线段

②存在。点，使得AQ_L平面AP。

③当且仅当。点落在棱CG上某点处时，三棱锥Q-AP。的体积最大

④若。◎二包，那么。点的轨迹长度为也乃

24

四、解答题

35.（2023