二次根式（章节复习）（知识+20个题型讲练+中考题演练+难度分层练）原卷版-2024人教版八年级数学下册

专题19.3二次根式（章节复习）

（知识荟萃+20个题型讲练+中考真题演练+难度分层练共55题）

【原卷版】

。目录导航

知识荟萃................................................................................2

知识点梳理01:二次根式的相关概念和性质..............................................2

知识点梳理02：二次根式的运算........................................................4

题型讲练.................................................................................5

题型1：二次根式的识别...............................................................5

题型2：求二次根式的值...............................................................5

一型3：求二次根式中的参数...........................................................5

题型4：二次根式有意义的条件.........................................................6

题型5：利用二次根式的性质化简.......................................................6

题型6：二次根式的乘法...............................................................6

题型7：二次根式的除法...............................................................6

题型8：二次根式的乘除混合运算.......................................................7

题型9：最简二次根式的判断...........................................................7

题型10：化为最简二次根式............................................................7

题型11：已知最简二次根式求参数......................................................7

题型12：同类二次展式................................................................8

题型13：二次根式的加减运算..........................................................8

题型14：二次根式的混合运算..........................................................8

题型15：分母有理化..................................................................9

题型16：已知字母的值，化简求值......................................................9

题型17：已知条件式，化简求值.......................................................10

题型18：比较二次极式的大小.........................................................10

题型19：二次根式的应用.............................................................10

题型20：复合二次根式的化简.........................................................11

中考真题................................................................................12

分层训练................................................................................13

基础夯实............................................................................13

培优拔高............................................................................13

♦知识莒萃

知识点梳理01：二次根式的相关概念和性质

1.二次根式

形如g的式子叫做二次根式，如0・£♦并瓦,加等式子,都叫做二次根

式.

【易错点拨】

二次根式皿有意义的条件是H,即只有被开方数匹回时，式子盅才是二次根

式，京才有意义.

2.二次根式的性质

(1)>0(^>0)；

(2)(疝)=(2((2>0);

a(a>0)

(3)=\a\=<

-a(°<0)

【易错点拨】

■二（石）’|（丘0卜.

（1）一个非负数回可以写成它的算术平方根的平方的形式，即

2=(0)、；=

如

（2）IS中囱的取值范围可以是任意实数，即不论回取何值，回一定有意义

（3）化简函时，先将它化成EL再根据绝对值的意义来进行化简.

(4)底

的异同

不同点：13中国可以取任何实数，而巫中的画必须取非负数;

=回,|（笈）2团Jg>0|）

相同点：被开方数都是非负数，当回取非负数时，应

3.最简二次根式

（1）被开方数是整数或整式；

（2）被开方数中不含能开方的因数或因式.

满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如应，疯，34.、/?+必等都是

最简二次根式.

【易错点拨】

最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指

数都小于根指数2.

4.同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根

式.

【易错点拨】

判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再

判断.如迤与Uh由于圆函，迈］与［3显然是同类二次根式.

知识点梳理02：二次根式的运算

1.乘除法

(1)乘除法法则：

类型法则逆用法则

积的算术平方根化简公式：

二次根式的乘法=^A(a>0.6>0)

-Jab=>/ax^(a>0,i>0)

商的算术平方根化简公式:

二次根式的除法20Q。）

（。20,八0）

【易错点拨】

(1)当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘(或相除)的法则,

如a枢c石=acy/^[

(2)被开方数a、b一定是非负数(在分母上时只能为正数).如

J(-4)X(-9)BQXQ

2.加减法

将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数

不变，即合并同类二次根式.

【易错点拨】

二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，

最后合并同类二次根式.如是十姆-5我=Q+3-5)戊=-戊.

♦题型拼练

题型1:二次根式的识别

【典例精讲】（23-24八年级下•贵州遵义•月考）下列各式中，一定是二次根式的是（）

.V=T2..VZ4「V21

A.o.Cr.\）.

【变式训练】（24-25八年级下•广西南宁•期中）下列根式是二次根式的是（）

V22V32一2

A.VB.2C.VI）.

题型2：求二次根式的值

ts

【典例精讲】（2024八年级F・全国・专题练习）一滴雨滴下落到地面所用的时间与下落

k卜

的高度满m足关系式

（1）用含“，。的式子表示‘；

⑵当"=4%9=9.8时，求£的值.

【变式训练】（24-25八年级下•山东德州•开学考试）当”二-6时，"—3、的值是

题型3：求二次根式中的参数

【典例精讲】（24-25八年级E•江苏扬州-期末）若匹是一个整数，则正整数加的最小

值是.

【变式训练】（24-25八年级下•河南许昌•期末）若河是整数，则正整数〃的最小值是

()

A.3B.4C.5D.6

题型4：二次根式有意义的条件

【典例精讲】（2025•浙江杭州・二模）若代数式,有意义，则x的取值范围

是.

【变式训练】（24-25八年级下-黑龙江牡丹江-期末）要使式子一有意义，则”的取值范

围是______

题型5：利用二次根式的性质化简

【典例精讲】（23-24八年级下•四川内江•月考）实数制〃在数轴上的位置如图所示，化

简|九-m］一而的结果为（）

-I01

n—2m—n—2mn—n

A.B.C.D.

【变式训练】（24-25八年级下-广东江门-月考）'（-5,=.

题型6：二次根式的乘法

【典例精讲】（24-25八年级下•四川南充・期末）估算乃”"―5的值在（）之间.

A.1和2B.2和3C.3和4D.4和5

【变式训练】（23-24八年级卜•山西吕梁・期末）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一

名成员希帕索斯发现了无理数衣，导致了第一次数学危机.人们发现两个无理数的和，积，

6—2>/5

商不一定是无理数.已知一个无理数与的商是有理数.这个数可以是.

题型7：二次根式的除法

【典例精讲】（23-24八年级F・山东-期末）下列等式成立的是（）

.日+日=外口VIS=2V3日・百=百

A.15.C.

x/6-rV3=V2

・

【变式训练】（23-24八年级下•河南濮阳・期中）回*a=.

题型8：二次根式的乘除混合运算

/人—=of）0

【典例精讲】（24-25八年级下•四川泸州•期中）如图，四边形ABCD中，-XC—‘U

4DC=135°AB=10AD=6ABCD.

,,则四边形的面积为

【变式训练】（24-25八年级下・上海宝山•期末）计算:

题型9：最简二次根式的判断

【典例精讲】（23-24八年级下-贵州黔东南•期末）下列式子中，属于最简二次根式的是

（）

V32V40「痴nV3

A-i3■Lz•U•

【变式训练】（23-24八年级下•山东•期末）下列二次根式中是最简二次根式的是（）

Vb2+ab276a2VSxJl8y

13•L/•U•

题型10：化为最简二次根式

【典例精讲】（24-25八年级下-广西南宁-期末）下列是最简二次根式的是（）

A.旧B.&C."D.”

【变式训练】（24-25八年级下•四川自贡•月考）化简旧的结果是.

题型11:已知最简二次根式求参数

【典例精讲】（24-25八年级下-安徽安庆-期中）如果最简二次根式后二1与豆是同类二

a—

次根式，则

【变式训练】（23-24八年级下金国•单元测试）若匹是最简二次根式，则自然数“二

题型12：同类二次根式

【典例精讲】（23-24八年级下-福建泉州-期末）最简二次根式行“与C-3,是同类二

次根式，则.

【变式训练】（24-25八年级下-吉林长春-期末）最简二次根式8口与产3）是同类二

次根式，则.

题型13：二次根式的加减运算

［典例精讲］（24-25八年级下-四川泸州♦期中）下列运算正确的是（）

V5-V3=V2V10-rx/5=2

A.B.

「同-加=&口J（2-V5）：=2-V5

【变式训练】（23-24八年级下-贵州黔东南-期末）计算：

..V4-V8+I-V3I

（20+6）―2（3⑹

题型14：二次根式的混合运算

【典例精讲】（24-25八年级下-广西河池・期末）计算:

”一mg

⑵（逐+2『-（6-2乂百+2）

卜51-34+闻）+273

【变式训练】（23-24八年级下-吉林・期末）计算:

题型15：分母有理化

x+3x-1+1

【典例精讲】（2024•湖南长沙•模拟预测）先化简，再求值：L不♦其中

x=l+V2024

【变式训练】（24-25八年级下-贵州遵义•期中）阅读材料并解决问题：

1__V3-V2_V3-V2r?_

⑶左四%（依"帚荷，像上述解题过程中，8+我与逐一e相乘

的枳不含二次根式，我们称这两个式子互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化.

请仿照上面的方法，解决下列问题：

（I）应+1的有理仲禺式日盛二

（1）的有理化因式是

⑸江管岛+募+…+而&）x（原+1）

口舁：

题型16：已知字母的值，化简求值

【典例精讲】（23-24八年级下•陕西西安•月考）已知"="+&,）'=百一迎，求

（Ei的值.

1

MM*,2

【变式训练】（2024八年级下•湖南长沙•竞赛）己知g+',那么好+2”-3的值

是

题型17：已知条件式，化简求值

【典例精讲】（23-24八年级下•山东•期末）计算：

⑴（国子收）+75-V15+V24

⑵先化简，再求值：（"佝（"佝一喈"1）,其中a=

a+-=V10a--

【变式训练】（24-25八年级下-全国・单元测试）已知。，求“的值.

题型18：比较二次根式的大小

【典例精讲】（24-25八年级下•四川南充•期末）为了比较必与本+3的大小，可以构造

如图所示的图形进行推算.其中/8=90°,"=1,BC=2,3D=5通过计算可得逐

V\医+3.（填“>"或“<"或…=）

bcD

【变式训练】（24-25八年级下•江苏南京•月考・）比较大小：内1+」（填“>”、

“V”或“二”）.

题型19：二次根式的应用

【典例精讲】（24-25八年级下-黑龙江牡丹江-月考）如图所示，有一张边长为60cm的

正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是

面积相等的小正方形，此小正方形的边长为""cm请解答下列问题：

(D求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积;

(2)求长方体盒子的体积：

(3)求长方体盒子的侧面积.

【变式训练】(23-24八年级下•陕西西安•月考)如果一个长方形的长为宽为丫要曲,

求长方形的面积.

题型20：复合二次根式的化简

【典例精讲】(24-25八年级下•湖南岳阳・开学考试)化简:

-110+2云+、4+”0+2百

(厮+何

【变式训练】(2025•福建宁德•二模)定义：若二次根式。a+十'2V"，可以表式成的

形式(其中"，"，7"都是整数)，则称"十为完整根式，标+近是。十的完整平

5+2V6=(V3+V2)25+2V5V3+V25+2V5

方根.例如：因为'，所以V是一个完整根式，3w是V

的完整平方根.

8+2V15

(1)判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由；

⑵若完整根式0+2"的完整平力根是而+”,请用含?九的代数式分别表示"，b；

a+2Q2—4匕

⑶若是完整根式.证明：一定是完全平方数.

・中音直题

X2P

1.（2024•湖南长沙•中考真题）化去式子力根号内的分母，结果为（）

Ax历Br晒c-y[=xy[）国内

2.（2024•江苏南京•中考真题）若代数式J（2020.°户+,9-2023）二的值为则，

的取值范围是（）

a>2023a<2020a=2020a=2023

A.B.C.或

2020<a<2023

D.

3.(2024•甘肃甘南•中考真题)观察下列等式，并解答下列问题.

等式1：层j=需，等式2：等式工^3x4x5=7

请写出等式6：

4.（2024•全国•中考真题）计算：皿+5xg=

(3>/12-4>/27)4-2^3=

2x/T2—66+V3(x/3—3)—(2—V5)2

5.（2024•四川南充・中考真题）计算:

♦分层训练

基础夯实

（22十加百

1.（23-24八年级下