问题解决策略：反思

一、几何背景下的多结论问题问题解决策略：反思掌握证明两条线段相等的常用．能够针对解决过的问题进行回顾反思．课标要求第一章三角形的证明随堂测策略应用课堂讲练策略迁移课堂讲练返回目录问题

等腰三角形中的相等线段例1

（新BS八下P42改编）证明：等腰三角形两腰上的中线相等．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD和CE分别是边AC，AB上的中线．求证：BD＝CE.【问题分析】（1）证明两条线段相等有哪些常用的？分别适用于什么情况？解：①全等：已知“边的关系（含公共边）”或“边角关系”，要证明的两条线段在两个三角形中；②等角对等边：已知角度关系，要证的两条线段在同一个三角形中；③角平分线或垂直平分线的性质：已知角平分线、垂线、垂直平分线．（2）以BD为边的三角形有_________________，以CE为边的三角形有_________________，其中哪些三角形可能全等？△ABD和△BCD△ACE和△BCE解：△ABD和△ACE、△BCD和△CBE可能全等．（3）找出两个有可能全等的三角形，要证这两个三角形全等，已知哪些边或角相等，还需证明哪些边或角相等？解：在△ABD和△ACE中，已知AB＝AC，∠A＝∠A，需证明AD＝AE.在△BCD和△CBE中，已知BC＝CB，需证明CD＝BE，∠BCD＝∠CBE.【问题解决】（4）下面有两种思路，请任选一种完成证明．思路一：通过△ABD≌△ACE，证明BD＝CE.思路二：通过△BCD≌△CBE，证明BD＝CE.解：选择思路一．证明如下：∵BD，CE分别是边AC，AB上的中线，又∵AB＝AC，∴AD＝AE.∴△ABD≌△ACE（SAS）.∴BD＝CE.（或选择思路二．证明如下：∵AB＝AC，∴∠BCD＝∠CBE.∵BD，CE分别是边AC，AB上的中线，∴△BCD≌△CBE（SAS）.∴BD＝CE.）【回顾反思】（5）比较两种证明，你更喜欢哪种？说说你的理由．解：更喜欢思路一．因为已知条件更多，思路更简单．（答案不唯一）（6）根据题目的条件，你还能得到哪些结论？请任写出一个，并给出证明．解：如答图1，设BD与CE相交于点O，则BO＝CO.答图1证明：由（4）可得△BCD≌△CBE.∴∠CBD＝∠BCE.∴BO＝CO.（答案不唯一）（7）适当改变题目的条件，你还能得到哪些结论？解：将“BD和CE分别是边AC，AB上的中线”改为“BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线”，其余条件不变，求证：BD＝CE.证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠ABD＝∠ACE.∴△ABD≌△ACE（ASA）.∴BD＝CE.（答案不唯一）（8）将题干中的条件与结论互换，并改变部分条件，该命题是否成立？如本题证明了等腰三角形两腰上的中线相等．反过来，如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形吗？你能证明上述命题的正确性吗？（提示：重心到三角形某一顶点的距离∶重心到该顶点所对的边的距离＝2∶1）解：已知：如答图2，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD＝CE.答图2求证：△ABC是等腰三角形．证明：如答图2，取BC的中点F，连接AF，AF，BD，CE相交于

点G，则点G是△ABC的重心．

又∵BD＝CE，∴BG＝CG.∵F是BC的中点，∴GF⊥BC，即AF⊥BC.∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．答图2解决问题之后，还可以继续进行思考与尝试：①条件不变，尝试寻找更多可能成立的结论；②适当改变条件（如将条件改成更一般的条件、更特殊的条件或者类似的条件），探究结论是否仍然成立；③探究是否可以将一些条件和结论互换．策略应用返回目录1.求证：全等三角形对应边上的中线相等．已知：如图，__________________，线段AD，A′D′分别是边BC，B′C′上的________．求证：____________．证明：△ABC≌△A′B′C′中线AD＝A′D′∵△ABC≌△A′B′C′，∴AB＝A′B′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′.∵AD，A′D′分别是边BC，B′C′上的中线，∴△ABD≌△A′B′D′（SAS）.∴AD＝A′D′.2.根据上述思考方向，小丽提出一个左边题目的变式，即“求证：全等三角形对应角的平分线相等”．请你完成填空并进行解答．已知：如图，__________________，线段AD，A′D′分别是∠BAC和∠B′A′C′的____________．求证：______________．

证明：△ABC≌△A′B′C′平分线AD＝A′D′∵△ABC≌△A′B′C′，∴AB＝A′B′，∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′.∵AD，A′D′分别是∠BAC和∠B′A′C′的平分线，∴∠BAD＝∠B′A′D′.∴△BAD≌△B′A′D′（ASA）.∴AD＝A′D′.策略迁移返回目录3.将0～9这10个数字填写到图中10个圆圈内，使得相邻两数差的绝对值的和最大．解：填数如答图3所示．（答案不唯一）答图3

参考上述问题提出几个新的问题，并说明它们与原来问题的联系与区别．随堂测返回目录1．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE＝DF，求证：AB＝AC.证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°.∴△BDE≌△CDF（HL）.∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．证明：∵DE⊥