本章综合教学设计高中数学人教B版2019选择性必修第一册-人教B版2019

本章综合教学设计高中数学人教B版2019选择性必修第一册-人教B版2019设计思路本章综合教学设计以人教B版2019选择性必修第一册为基础，紧扣课程内容，注重学生数学思维能力的培养。通过创设实际情境，引导学生主动探究，激发学习兴趣，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。同时，结合课本实例，进行拓展延伸，提升学生的数学素养。核心素养目标培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算能力；提高学生分析问题和解决问题的能力；强化学生对数学知识应用的理解和运用。教学难点与重点1.教学重点

-理解并掌握本节课的核心概念，如函数的连续性和可导性。

-能运用导数计算函数在某一点的瞬时变化率。

-理解导数在解决几何问题中的应用，例如计算曲线在某一点的切线斜率。

2.教学难点

-掌握连续性和可导性的概念，并理解它们之间的关系。

-正确理解和运用导数的定义和几何意义，理解导数与函数变化率的关系。

-解决实际问题，如从实际问题中抽象出数学模型，并运用导数解决模型中的问题。例如，在物理学中，导数可以用来计算物体在某一时刻的速度。学生可能难以将抽象的数学概念与实际物理现象联系起来。教学资源-软硬件资源：计算机、投影仪、电子白板

-课程平台：学校内部教学平台、在线教育平台（如MOOC）

-信息化资源：数学教学软件、数学教育视频、在线数学题库

-教学手段：多媒体课件、实物教具、小组合作学习材料教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：展示一幅与课程主题相关的图片或视频，引导学生思考数学在现实生活中的应用。

-回顾旧知：简要回顾上一节课所学的相关知识点，如函数的基本概念和性质，为引入新内容做好铺垫。

2.新课呈现（约30分钟）

-讲解新知：

-详细讲解函数的连续性和可导性的概念，以及它们之间的关系。

-通过几何直观和极限的思想解释导数的定义和几何意义。

-举例说明：

-利用实例展示连续性和可导性的应用，如函数在某一点的切线斜率。

-通过具体的数学问题，如计算函数的导数，帮助学生理解导数的计算方法。

-互动探究：

-组织学生进行小组讨论，探讨如何将连续性和可导性的概念应用于实际问题。

-安排学生进行实验，观察函数在不同点的连续性和可导性，并记录结果。

3.巩固练习（约20分钟）

-学生活动：

-分发练习题，要求学生独立完成，包括计算导数、判断函数的连续性和可导性等。

-鼓励学生相互检查作业，互相学习，共同进步。

-教师指导：

-巡视教室，观察学生的解题过程，及时解答学生的疑问。

-针对共性问题，进行集体讲解，帮助学生巩固知识点。

4.拓展延伸（约10分钟）

-引导学生思考连续性和可导性在高等数学中的应用，如微分方程、泰勒展开等。

-提供一些拓展练习，鼓励学生探索更深层次的知识。

5.总结反思（约5分钟）

-学生总结：让学生回顾本节课所学内容，总结连续性和可导性的概念和应用。

-教师总结：强调本节课的重点和难点，指出学生在学习过程中可能遇到的问题，并提出改进建议。

6.布置作业（约5分钟）

-布置与连续性和可导性相关的课后作业，包括计算题、证明题和应用题。

-鼓励学生预习下一节课的内容，为后续学习做好准备。教师随笔Xx知识点梳理1.函数的基本概念

-函数的定义：两个非空数集之间的对应关系。

-函数的表示方法：列表法、解析法、图象法。

-函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、有界性。

2.函数的图像与性质

-函数图像的绘制：利用坐标系绘制函数图像。

-函数图像的变换：平移、伸缩、翻转等变换。

-函数图像的交点、极值、拐点等性质。

3.函数的极限

-极限的定义：当自变量趋近于某一值时，函数值趋近于某一确定的值。

-极限的性质：连续性、可导性、保号性等。

-无穷小与无穷大：无穷小与无穷大的定义及性质。

4.导数的概念与计算

-导数的定义：函数在某一点的导数表示该点处函数图像的切线斜率。

-导数的性质：可导性的充分必要条件、导数的四则运算法则等。

-导数的计算方法：导数的定义法、导数的求导法则（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等）。

5.导数的应用

-函数的极值：利用导数求函数的极大值、极小值。

-函数的凹凸性：利用导数判断函数的凹凸性。

-函数的拐点：利用导数求函数的拐点。

-切线与法线：求函数在某一点的切线方程和法线方程。

6.微分中值定理与导数的应用

-罗尔定理：若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且两端点函数值相等，则至少存在一点，使得该点处的导数为零。

-拉格朗日中值定理：若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则至少存在一点，使得该点处的导数等于函数在区间两端点函数值的差与区间的比。

-柯西中值定理：若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且存在非零常数k，使得函数与常数k的乘积在闭区间上满足拉格朗日中值定理的条件，则至少存在一点，使得该点处的导数等于函数与常数k的乘积在区间两端点函数值的差与区间的比。

7.泰勒公式与函数的展开

-泰勒公式：函数在某一点的泰勒公式表示该点附近函数的近似表达式。

-函数的展开：利用泰勒公式将函数展开为幂级数。

8.函数的极值问题

-极值问题的定义：在函数的定义域内，函数取得最大值或最小值的点。

-极值问题的求解方法：利用导数求函数的极值，结合函数的性质进行判断。

9.微分方程的基本概念与解法

-微分方程的定义：含有导数的方程。

-微分方程的解：满足微分方程的函数。

-微分方程的解法：分离变量法、积分法、变量替换法等。

10.数学建模与应用

-数学建模的定义：将实际问题转化为数学问题，求解并得到实际应用的数学模型。

-数学建模的方法：收集数据、建立模型、求解模型、验证模型、应用模型。教师随笔Xx典型例题讲解1.例题：求函数f(x)=x^3-3x在x=1处的导数。

解答：根据导数的定义，我们有

f'(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h

将f(x)=x^3-3x代入，得

f'(x)=lim(h→0)[(x+h)^3-3(x+h)-(x^3-3x)]/h

=lim(h→0)[x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-3x-3h-x^3+3x]/h

=lim(h→0)[3x^2h+3xh^2+h^3-3h]/h

=lim(h→0)[3x^2+3xh+h^2-3]

由于h→0，所以h^2和3xh都将趋近于0，因此

f'(x)=3x^2-3

代入x=1，得

f'(1)=3(1)^2-3=0

2.例题：证明函数f(x)=x^2在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理。

解答：首先，f(x)=x^2在[0,1]上连续，在(0,1)内可导。

根据拉格朗日中值定理，存在c∈(0,1)，使得

f'(c)=[f(1)-f(0)]/(1-0)

f'(c)=(1-0)/1

f'(c)=1

由于f'(x)=2x，所以c=1/2满足条件。

3.例题：求函数f(x)=e^x-x的极值。

解答：首先求导数f'(x)=e^x-1。

令f'(x)=0，得e^x-1=0，解得x=0。

求二阶导数f''(x)=e^x，f''(0)=1>0。

因此，x=0是函数的极小值点，极小值为f(0)=e^0-0=1。

4.例题：求曲线y=x^2在x=2处的切线方程。

解答：首先求导数y'=2x，y'(2)=2*2=4。

切线斜率为4，切点为(2,4)。

切线方程为y-4=4(x-2)，即y=4x-4。

5.例题：利用泰勒公式将函数f(x)=sin(x)在x=0处的展开式写出来。

解答：泰勒公式为

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...

对于f(x)=sin(x)，我们有

f(0)=0,f'(0)=cos(0)=1,f''(0)=-sin(0)=0,...

因此，f(x)在x=0处的泰勒展开式为

f(x)=0+1*x+0*(x^2)/2!+0*(x^3)/3!+...=x-x^3/3!+x^5/5!-...作业布置与反馈作业布置：

为了巩固本节课所学关于函数连续性和可导性的知识，布置以下作业：

1.完成课本中相关的练习题，包括判断函数的连续性和可导性、计算导数、应用导数解决实际问题。

2.选择两个与连续性和可导性相关的实际问题，尝试用数学建模的方法进行解决，并撰写简要的解题报告。

3.回顾本节课所学的导数计算方法，自行设计两个不同类型的导数计算题目，并尝试解答。

作业反馈：

1.及时批改学生的作业，确保每位学生都能得到反馈。

2.对学生的作业进行整体评估，关注学生是否掌握了连续性和可导性的基本概念和计算方法。

3.对于作业中出现的普遍性问题，进行集体讲解，帮助学生共同克服困难。

4.对个别学生的错误进行个别指导，针对学生的具体问题给出改进建议。

5.鼓励学生相互学习和讨论，通过同伴之间的反馈提高学习效果。

6.在下一节课的开始，检查学生的作业完成情况，对表现优秀的学生给予表扬，对存在的问题进行再次强调和指导。

7.定期与家长沟通，了解学生在家的学习情况，共同促进学生的数学学习进步。板书设计1.函数的连续性

①连续性的定义