五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(北京专用)16：二次函数（教师版）

专题16二次函数考情概览考点1二次函数综合考点1二次函数综合1．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点．(1)求c的值，并用含a的式子表示b；(2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N．①若，，求的长；②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围．【答案】(1)0，(2)①4；②且【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．（1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案；（2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先确定，再分和两种情况分析求解即可．【详解】（1）解：将点代入，抛物线，可得，∴该抛物线解析式为，将点代入，抛物线，可得，解得；（2）①若，则该抛物线及直线解析分别为，，当时，可有点，如下图，∵轴，∴，将代入，可得，即，将代入，可得，即，∴；②当点P从点O运动到点的过程中，∵轴，，∴，将代入，可得，即，将代入，可得，即，∴，令，即，解得或，若，可有，即点在轴右侧，如下图，当时，可有，其图像开口向下，对称轴为，若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大，则，解得，当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意；若，可有，即点在轴左侧，如下图，当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大，则，解得，∴．综上所述，a的取值范围为且．2．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线.(1)当时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围.【答案】(1)；(2)或【分析】（）把代入，转化成顶点式即可求解；（）分和两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解；本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键．【详解】（1）解：把代入得，，∴抛物线的顶点坐标为；（2）解：分两种情况：抛物线的对称轴是直线；当时，和都在对称轴右侧，此时y随x的增大而增大，∵，∴如图，此时，∴，又∵，∴；当时，在对称轴左侧，在对称轴右侧，∴点关于对称轴的对称点在对称轴右侧，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，∵，∴，如图，此时，解得，又∵，∴；综上，当或，都有．3．（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为．(1)若对于，有，求的值；(2)若对于，，都有，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；（2）根据题意可得离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得，进而根据，即可求解．【详解】（1）解：∵对于，有，∴抛物线的对称轴为直线，∵抛物线的对称轴为．∴；（2）解：∵当，，∴，，∵，，∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，∴，即．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．4．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为(1)当时，求抛物线与y轴交点的坐标及的值；(2)点在抛物线上，若求的取值范围及的取值范围．【答案】(1)（0，2）；2(2)的取值范围为，的取值范围为【分析】（1）当x=0时，y=2，可得抛物线与y轴交点的坐标；再根据题意可得点关于对称轴为对称，可得t的值，即可求解；（2）抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），根据抛物线的图象和性质可得当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点，点，点（2t，c）均在对称轴的右侧时；当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，即可求解．【详解】（1）解：当时，，∴当x=0时，y=2，∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）；∵，∴点关于对称轴对称，∴；（2）解：当x=0时，y=c，∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c），∴抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），∵，∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当点，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，，∵1＜3，∴2t＞3，即（不合题意，舍去），当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，，此时点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，∴，解得：，∵1＜3，∴2t＞3，即，∴，∵，，对称轴为，∴，∴，解得：，∴的取值范围为，的取值范围为．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．5．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上．（1）若，求该抛物线的对称轴；（2）已知点在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由．【答案】（1）；（2），理由见解析【分析】（1）由题意易得点和点，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可；（2）由题意可分当时和当时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可．【详解】解：（1）当时，则有点和点，代入二次函数得：，解得：，∴抛物线解析式为，∴抛物线的对称轴为；（2）由题意得：抛物线始终过定点，则由可得：①当时，由抛物线始终过定点可得此时的抛物线开口向下，即，与矛盾；②当时，∵抛物线始终过定点，∴此时抛物线的对称轴的范围为，∵点在该抛物线上，∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为，∵，开口向上，∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，∴．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．1．（2025·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点．(1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；(2)若对于，，都有，求m的取值范围．【答案】(1)(2)m的取值范围是【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）利用对称轴公式即可求得；（2）分两种情况讨论，根据二次函数的性质对称关于m的不等式，解不等式即可解决问题．【详解】（1）解：∵，∴抛物线的对称轴为直线；（2）解：当时，抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∵对于，，都有，∴，解得，∵，，∴，∴；当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，∵对于，，都有，∴，解得，∵，∴这种情况不存在．综上，m的取值范围是．2．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数，）．(1)当，时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知点，和都在抛物线上，如果对于，，都有，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）先将将，代入抛物线中，再将抛物线的解析式化为顶点式，求出顶点坐标；（2）先由，得到，再将，，三点坐标代入表达式中，然后根据，转化为不等式求解，求出的取值范围．【详解】（1）解：将，代入抛物线中，得，∴，∴顶点坐标为．（2）∵，∴，将点，和分别代入表达式得，，，，又∵，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，当时，，，，又∵，∴，∴，∴或解不等式组①得：解不等式组②得：无解．∴同法可求，当时，，∴．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的综合应用，把化成顶点式，利用二次函数的性质求不等式的解集等知识，解题的关键是通过将点的坐标代入表达式，把问题转化为不等式求解．3．（2025·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）；(2)和是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围．【答案】(1)(2)或【分析】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、解不等式等知识点是解题关键．（1）将二次函数一般式化为顶点式即可求出抛物线的顶点坐标；（2）由题意可分为当时及当时，两种情况分类讨论，求出实数的取值范围．【详解】（1）解：，∴抛物线的顶点坐标为．（2）解：抛物线对称轴为，①若，则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，，，设点M关于对称轴的对称点为，则，，，（i）当时，有，，，符合题意；（ii）当时，令，，，，不符合题意；（iii）当时，令，，，不符合题意；②若，则当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，（i）当时，令，，，，不符合题意；（ii）当时，令，，，，不符合题意；（iii）当时，有，，，符合题意，综上所述，a的取值范围是或．4．（2025·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)当时，求抛物线的顶点坐标；(2)点，，在抛物线上．若对于，都有，求t的取值范围．【答案】(1)(2)或【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）把解析式化成顶点式即可求解；（2）利用二次函数的对称性和增减性列出关于的不等式组，求解即可．【详解】（1）解：当时，抛物线为，，顶点为；（2）解：抛物线，点，，在抛物线上，，，，，，即，解可得或，或，，或，解，，，，，，，则，，，综上所述，或．5．（2025·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（）．(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；(2)已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围．【答案】(1)；(2)或．【分析】（1）将抛物线的对称轴为求解即可；（2）分为两种情况，，根据，结合抛物线的增减性建立不等式解答即可．本题主要考查了二次函数的图象与性质，轴对称的性质，不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用分类讨论思想是解题的关键．【详解】（1）解：抛物线的对称轴为（2）∵，所以分为两种情况，①当时，对称轴为，开口向上，∵,,∴此时、都在对称轴的右侧，又∵当时，y随x的增大而增大，结合图象，若对于，，都有则：，∴②当时，对称轴为，开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，∵,,∴此时在对称轴的右侧，在对称轴的左侧,又∵抛物线的对称轴为，∴关于对称轴的对称点为，结合图象，若对于，，都有．∴

∴

∴综上，a的取值范围是或．6．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）；(2)若点，抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围；(3)是抛物线上两点，若，直接写出取值范围．【答案】(1)对称轴为(2)或或(3)【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练利用数形结合思想是解题的关键．（1）利用二次函数的性质即可解答；（2）求得二次函数与轴的交点，使交点与比较即可；（3）表示出，再表示出，最后解不等式即可．【详解】（1）解：对称轴为；（2）解：令，，解得，二次函数与轴的交点为，当在点左边时，抛物线与线段只有一个交点，此时，解得；当与时，抛物线与线段只有一个交点，此时；当在点右边时，抛物线与线段只有一个交点，此时，解得；综上所述，或或；（3）解：对称轴为，为顶点，二次函数开口向上，，，可得，，，，可得，解得．7．（2025·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，设该抛物线的对称轴为．(1)当时，求的值；(2)点是该抛物线上两个点，当时，对于的每一个值，总存在，使得，，且成立，求的取值范围．【答案】(1)；(2)的取值范围是或．【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握分类讨论思想成为解题的关键．（1）当时，抛物线，然后根据二次函数的性质即可解答；（2）由二次函数的性质可得抛物线的对称轴为，且．然后分和两种情况，分别根据二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：当时，抛物线．所以该抛物线的对称轴为，即．（2）解：∵抛物线，∴抛物线的对称轴为，且．当时，对于的每一个值，总存在，使得，，且成立；①若，此时，则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．（ⅰ）当时，，成立．（ⅱ）当时，点关于对称轴的对称点为．．．当时，成立．（ⅲ）当时，不合题意，舍去．②若，此时，则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．满足题意．综上所述，的取值范围是或．8．（2025·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，点是抛物线上的两个不同点．(1)当时，有，求的值；(2)当时，都有，求的取值范围．【答案】(1)(2)或【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．（1）由题意，根据，得出点关于直线对称，再由中点坐标公式可得解．（2）根据题意得到即在时恒成立，分两种情况当时，当时分别进行解答即可．【详解】（1）解：当时，，对称轴为直线∵，∴点关于直线对称.∴，∵；（2）∵点是抛物线上的两个不同点．∴，，∵当时，都有∴即在时恒成立，当时，不等式化简为，则，解得，∴，解得，当时，不等式化简为，解得或，∴，解得，∴，综上可知，的取值范围是或．9．（2025·北京房山·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)当时，求抛物线的对称轴；(2)已知，是抛物线上的两点．若对于，都有，求a的取值范围．【答案】(1)(2)或．【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：（1）根据对称轴公式进行计算即可；（2）分和两种情况，根据二次函数的性质进行求解即可．【详解】（1）解：当时，则：，∴对称轴为直线；（2）∵，∴抛物线的对称轴为：，当时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，∵，是抛物线上的两点，且对于，都有，∴；当时，抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，∵抛物线的对称轴为直线，∴关于的对称点为：，∵，是抛物线上的两点，且对于，都有，∴，∴，综上：或．10．（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线上有两点．(1)对于，有，求该抛物线的顶点坐标；(2)对于任意实数，若，都有，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查二次函数的图象和性质，抛物线的对称性，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：（1）根据对称性，求出的值，根据顶点式的性质，求出顶点坐标即可；（2）设点关于对称轴的对称点为，根据二次函数的对称性求出，进而得到，增减性得到时，，待定系数法求出的值即可．【详解】（1）解：，抛物线的顶点坐标为，，有该抛物线的顶点坐标为．（2）抛物线的对称轴是直线，点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，设点关于对称轴的对称点为，抛物线的对称轴是直线，．点在对称轴右侧，且，当时，根据二次函数的性质，时，随的增大而增大，．，．当时，．把代入函数表达式中，，．11．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)求该抛物线的对称轴；(2)已知点，在抛物线上．对于，，都有，求a的取值范围．【答案】(1)直线(2)或【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质成为解题的关键．（1）根据函数解析式确定对称轴即可；（2）根据题意得出，再分两种情况，分别求解即可．【详解】（1）解：根据抛物线的解析式可得抛物线对称轴为直线．（2）解：∵点，是抛物线上的两点，，，又∵，，当时，又∵，，，，又∵，，；当时，又∵，，，，又∵，∴；综上所述，a的取值范围是或．12．（2025·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为．(1)当，时，求的值；(2)当时，若对于，都有，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了抛物线的图象和性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．（1）当时，点的坐标为，根据抛物线上点的坐标特征得出，，根据题意求得，根据抛物线的性质即可求出；（2）分为抛物线的对称轴在点的左侧和右侧两种情况进行分析，当抛物线的对称轴在点的左侧时，即时，根据抛物线的对称性求出点关于对称的点为，结合抛物线的性质得出点在的左侧，即，结合题意列出不等式，即可求出的取值范围是；当抛物线的对称轴在点的右侧时，即时，结合抛物线的性质得出点在的左侧，点在的左侧，结合题意列出不等式，即可求出的取值范围是；即可求解．【详解】（1）解：当时，点的坐标为，∵点，在抛物线上，∴，．又∵，∴．即，∵抛物线的对称轴为，故．（2）解：分两种情况：情况1：当抛物线的对称轴在点的左侧时，即时，点关于对称的点为，根据抛物线的对称性可得点也在抛物线上，则；∵，∴抛物线开口向上，故当时，随的增大而减小．∵，∴点在的左侧，即，∵时，都有成立，∴，解得；又∵，故的取值范围是；情况2：当抛物线的对称轴在点的右侧时，即时，，∴抛物线开口向上，故当时，随的增大而减小，∵，∴点在的左侧，即，∵时，都有成立，∴，解得，又∵，故的取值范围是．综上，的取值范围是．13．（2025·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)当时，求该抛物线与轴交点坐标；(2)已知，为该抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围．【答案】(1)(2)或【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）令，求得，则该抛物线与轴交点坐标为；（2）根据题意得出且，求解即可．【详解】（1）解：当时，则抛物线为．令，则，∴该抛物线与轴交点坐标为；（2）解：∵抛物线，对于，，都有，∴且，则，即，，解得：或；，即，，解得：或；综上，或．14．（2025·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点．(1)若对于，有，求抛物线的对称轴；(2)若对于，都有，求的取值范围．【答案】(1)对称轴为直线；(2)或【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数的性质等等．（1）利用轴对称的性质求解即可；（2）直接代入得到整理得，推出或，再分别求解即可．【详解】（1）解：∵，有，∴这两点关于轴对称，抛物线的对称轴为直线；（2）解：∵，，又，∴，整理得，∴或，①若，即，∵，∴且，∴且，∴；②若，同理且，∴且，∴；综上，或．15．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点．(1)求该抛物线的对称轴；(2)点，在抛物线上．若，求a的取值范围【答案】(1)(2)或．【分析】此题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．（1）把代入解析式，则有，利用对称轴即可求解；（2）根据，中横坐标与对称轴的距离，结合和分别讨论即可求解；【详解】（1）解：∵经过点，∴，整理得：，∴抛物线的对称轴为直线；（2）当时，抛物线开口向上．点到对称轴的距离．点到对称轴的距离．∵，且抛物线开口向上时，离对称轴越远函数值越大，∴，同时解不等式组解得；当时，抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，点到对称轴的距离．点到对称轴的距离．若，；∵，∴．解得．若，．∴．解得：，∵，∴不等式无解．∴当时，的取值范围是；综上，a的取值范围是或．16．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且）．(1)若，，求抛物线的顶点坐标；(2)已知，和是抛物线上的两点．对于，都有，求的取值范围．【答案】(1)(2)或【分析】（1）将，，代入化成顶点式即可直接得解；（2）由进而得到抛物线的对称轴为，分类讨论，和，再根据增减性和对称性求解即可；本题主要考查了二次函数的顶点坐标、二次函数的增减性、二次函数的对称性以及二次函数与直线的交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．【详解】（1）解：将，，代入，得，顶点的横坐标为，代入纵坐标为∴顶点坐标为；（2）∵，∴抛物线的对称轴为，①当时，，则在对称轴右侧，其关于对称轴对称点为，∵开口向上，在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，∴当有，可得，解得；②当时，，则在对称轴左侧，其关于对称轴对称点为，∵开口向下，在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，∴当有，可得或，，解得；综上，或；17．（2025·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)求抛物线的对称轴；(2)当时，对于任意的正数，若是抛物线上的两点，则_____（填“”“”“”）；(3)已知直线：上两点，其中点的横坐标为1，点的纵坐标为，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．【答案】(1)直线(2)(3)或【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数与抛物线图象的交点问题，数形结合是解题的关键；（1）根据二次函数的性质，利用对称轴公式，即可求解；（2）根据抛物线的对称轴为直线，当，抛物线开口向下，进而求得关于对称轴的对称点为，根据当时，随的增大而减小，即可求解；（3）分和两种情况讨论，分别画出图形，结合函数图象，列出不等式，即可求解．【详解】（1）解：∵∴抛物线对称轴为直线，（2）解：∵抛物线的对称轴为直线，关于对称轴的对称点为∵，抛物线开口向下，当时，随的增大而减小，又∵∴故答案为：．（3）①当时，抛物线过点，关于的对称点为直线：上两点，其中点的横坐标为1，点的纵坐标为，如图∵B，∴当时，由图象可知，抛物线与线段恒有一个公共点.∴当时，抛物线与线段恒有一个公共点.②当时，∵点的横坐标为1，则，即把代入得∵抛物线与线段恰有一个公共点，∴解得：综上所述，或时，抛物线与线段恰有一个公共点，18．（2025·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)求抛物线的对称轴；(2)是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围．【答案】(1)对称轴为直线(2)或【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解一元一次不等式组，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．（1）先配方成顶点式，即可求解对称轴；（2）分两种情况讨论，①；②，分别根据二次函数的图象与性质求解即可．【详解】（1）解：该抛物线的对称轴为直线；（2）解：由题意，得．．，．①当时，可得，．又，．点总在点的右侧，且点都在对称轴右侧．时，随增大而增大．又，．当时，恒成立②当时，可得．点在对称轴左侧．设点关于对称轴的对称点为，．．,．，．．综上，或．19．（2025·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点．(1)当时，求的值；(2)若对于，都有，求的取值范围．【答案】(1)(2)的取值范围是或【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上的点等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键．（1）由题意可得点为，然后代入抛物线解析式得到关于a的方程求解即可；（2）由二函数的性质可得当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．然后根据题意分情况讨论即可解答．【详解】（1）解：当时，点为．点在抛物线上，．解得．（2）解：∵抛物线，∴该抛物线的对称轴为，∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．对于：①若，，．（i）当时，有．．，不符合题意．（ii）当时，取．．，不符合题意．（iii）当时，有．取，则．设点关于对称轴的对称点为，则．．，．．，不符合题意．（iv）当时，有．设点关于对称轴的对称点为，则．．，．．，符合题意．②若，则，必有，不符合题意．③若，，．，符合题意．综上所述，的取值范围是或．20．（2025·北京密云·一模）在平面直角坐标系中，已知，是抛物线上两点，且抛物线经过．(1)求抛物线的对称轴；(2)若对于，，都有，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据抛物线经过，得到且，求抛物线的对称轴即可．（2）根据，，都有，分和，解答即可．【详解】（1）解：根据抛物线经过，得到且，故即，故抛物线的对称轴为：直线．（2）解：根据题意，得，，∴解得，∴，∵，是抛物线上两点，且对称轴为直线，∴，，∴，∵，∴，当，且时，，即，根据抛物线的性质，与对称轴的距离越大，函数值越大，∵，∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离，∴中点在对称轴的右侧，则即，解得，无解；当，且时，，即，根据抛物线的性质，与对称轴的距离越大，函数值越大，∵，∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离，∴中点在对称轴的左侧，则即，解得；当，且时，，即，则即，无解；当，且时，，即，则，无解，综上所述，符合题意的范围是．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性和增减性，解一元一次不等式组，熟练掌握性质是解题的关键．21．（2025·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，已知，，，是抛物线上的四个点，且任意两点都不重合．(1)直接写出抛物线与轴的交点坐标（可用含的代数式表示）；(2)将抛物线在点，之间的部分（含，）所有点的纵坐标的最小值记为，并将抛物线在，之间的部分（含，）所有点的纵坐标的最小值记为，若，求的取值范围．【答案】(1)，(2)且且且【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质，二次函数与x轴交点，对称轴的概念，以及代入求值等知识点，解决此题的关键是要分类讨论．（1）令，解方程即可得解；（2）由题意，点在点的左侧，点与关于对称轴对称，，再根据，，，四点中，任意两点不重合，得到且且且，分时，时，两种情况，结合二次函数的性质即可解答．【详解】（1）解：令，即，解得：，∴抛物线与轴的交点坐标为，；（2）解：抛物线的对称轴为直线．由题意，点在点的左侧，点与关于对称轴对称，．∵，，，四点中，任意两点不重合，∴且且且．∵，∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．①当时，∵，∴．∴．由知，不符合题意．②当时，点在对称轴的左侧．点关于直线的对称点为．∵，∴．∴且．∴．综上所述，的取值范围是且且且．22．（2025·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．(1)求抛物线的顶点坐标；(2)已知和是抛物线上的两个点，且总成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)或【分析】本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键．（1）将点A代入解析式即可求出a的值，进而得到解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标；（2）先求出，令，则，求出的值，根据，求出或，分，两种情况，结合二次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线过点，∴，∴，∴抛物线为，∵，∴抛物线的顶点坐标为；（2）解：∵在抛物线上，∴，∵在抛物线上，∴，令，则，∴或，∴当时，结合函数的图象可得或，当时，结合函数的图象可得，当时，结合函数的图象可得或，∵，∴，综上所述，的取值范围是或．23．（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)当时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知，，是抛物线上的三个点．若对于，，，都有，求的取值范围．【答案】(1)(2)或【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．（1）将抛物线解析数化为顶点式，即可求解；（2）根据抛物线解析式得到抛物线的对称轴为．根据抛物线的开口方向分两种情况讨论：①若，则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．②若，则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．再分别分三种情况讨论三个点的函数值大小，即可求解．【详解】（1）解：当时，抛物线．∴．∴抛物线的顶点坐标为；（2）解：∵，∴抛物线的对称轴为．对于，，；①若，则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．∵，，∴，．设点关于对称轴的对称点为，则，．∴．∴．（Ⅰ）当时，有．∵，∴，∴，不符合题意．（Ⅱ）当时，有．∵，，∴．∴，符合题意；（Ⅲ）当时，令，则．∴，不符合题意．②若，则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．∵，，∴．设点关于对称轴的对称点为，则，．∴．（Ⅰ）当时，有，．令，则，即．∴，不符合题意．（Ⅱ）当时，有，则．若，有，则，符合题意；若，设点关于对称轴的对称点为，则，．∴．∴，∴．∴，符合题意．（Ⅲ）当时，有．∴，不符合题意．综上所述，的取值范围是或．24．（2025·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上．(1)当时，求抛物线与轴交点的坐标；(2)若对于任意的，总有，求的取值范围．【答案】(1)抛物线与轴交点的坐标为(2)【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、抛物线与坐标轴的交点、二次函数与不等式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键．（1）当时，抛物线为．令，解方程即可求出答案；（2）