五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(北京专用)18：圆综合（教师版）

专题18圆综合考情概览考点1圆综合考点1圆综合1．（2025·北京·中考真题）如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，连接，，，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接．(1)求证：；(2)延长交的延长线于点E．若，，求的长．【答案】(1)见解析；(2)长为44．【分析】（1）利用切线长定理得平分，利用圆周角定理得，等量代换即可证明；（2）延长交于点F，连接，利用条件求出线段长，再利用角度转换证明三角形相似，最后根据相似求得长．【详解】（1）证明：，分别切于A点，B点，平分，，又，，．（2）延长交于点F，连接，则，，分别切于A点，B点，C为的中点，，，又，，，，，，，，又，，，，，，，，．【点睛】本题主要考查切线长定理，圆周角定理及推论，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识点，熟记切线长定理，圆周角定理，并且能根据题意作出合适的辅助线是解题的关键．2．（2024·北京·中考真题）如图，是的直径，点，在上，平分.

(1)求证：；(2)延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长.【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据题意，得，结合，得到，继而得到，根据平分，得到，继而得到，可证；（2）不妨设，则，求得，证明，，求得，取的中点M，连接，则，求得，，结合切线性质，得到，解答即可.【详解】（1）根据题意，得，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴；（2）∵，，不妨设，则，∴，∵，∴，，∴，∴，解得，取的中点M，连接，则∵，∴，∴，∴，∵是的切线，∴，∴，解得，故半径的长为.

【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算，等量代换思想，熟练掌握三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算是解题的关键.3．（2023·北京·中考真题）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．

(1)求证平分，并求的大小；(2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长．【答案】(1)见解析，(2)【分析】（1）根据已知得出，则，即可证明平分，进而根据平分，得出，推出，得出是直径，进而可得；（2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解．【详解】（1）解：∵∴，∴，即平分．∵平分，∴，∴，∴，即，∴是直径，∴；（2）解：∵，，∴，则．∵，∴．∵，∴，∴是等边三角形，则．∵平分，∴．∵是直径，∴，则．∵四边形是圆内接四边形，∴，则，∴，∴，∴．∵，∴，∴．∵是直径，∴此圆半径的长为．【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键．4．（2022·北京·中考真题）如图，是的直径，是的一条弦，连接(1)求证：(2)连接,过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）设交于点，连接，证明，故可得，于是，即可得到；（2）连接AD，解出，根据为直径得到，进而得到，即可证明，故可证明直线为的切线．【详解】（1）证明：设交于点，连接，由题可知，，，，，，，，，；（2）证明：连接，，，同理可得：,，∵点H是CD的中点，点F是AC的中点，，，，，为的直径，

，，，，，，直线为的切线．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，直线平行的判定与性质，三角形的内角和公式，证明三角形全等以及证明平行线是解题的关键．5．（2021·北京·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，于点．（1）求证：；（2）连接并延长，交于点，交于点，连接．若的半径为5，，求和的长．【答案】（1）见详解；（2），【分析】（1）由题意易得，然后问题可求证；（2）由题意可先作图，由（1）可得点E为BC的中点，则有，进而可得，然后根据相似三角形的性质可进行求解．【详解】（1）证明：∵是的直径，，∴，∴；（2）解：由题意可得如图所示：由（1）可得点E为BC的中点，∵点O是BG的中点，∴，∴，∴，∵，∴，∵的半径为5，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定是解题的关键．1．（2025·北京大兴·一模）如图，内接于，，过点作的切线交延长线于点，是的直径．(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接并延长，交于点F，连接，利用切线的性质定理得到，利用圆周角定理得到，再利用平行线的判定定理解答即可；（2）连接，过点C作于点F，利用平行线的性质和直角三角形的边角关系定理求得，利用圆周角定理，圆的切线的性质定理和矩形的判定与性质，正方形的判定与性质得到，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理求得，则结论可求．【详解】（1）证明：连接并延长，交于点F，连接，如图，则为的直径，∵为的切线，∴，∴，∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：连接，过点C作于点F，如图，∵，∴，∴．∵是的直径，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴四边形为矩形，∵，∴四边形为正方形，∴，∵，，∴，设，则，∴，∴，∴．∴．【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，矩形与正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．2．（2025·北京丰台·一模）如图，，是的直径，点在上，连接交于点，连接交于点．(1)求证：；(2)过点作的切线交的延长线于点．若，求的长．【答案】(1)见解析(2)的长为．【分析】（1）证明，利用垂径定理即可证明；（2）设，则，，证明，推出，，求得，，得到，据此求解即可．【详解】（1）证明：连接，则，∵，∴，∴，∵，∴；（2）解：由（1）知，∴，∵，∴设，则，，∵是的切线，是的直径，∴，∴，∴，，∴，，即，，∴，，∴，整理得，解得，∴，，在中，由勾股定理得，即，整理得，∵，∴，∴，即的长为．【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．3．（2025·北京东城·一模）如图，在中，为直径，为弦，，垂足为，过点作的切线，与的延长线交于点．(1)求证：；(2)若的半径为2，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由于点，得，由切线的性质得，即可由，，且，证明；（2）由的半径为2，得，因为，所以，由，求得，则．【详解】（1）证明：，垂足为，，与相切于点，，，，，且，．（2）解：的半径为2，，，，，，，，，的长是．【点睛】此题重点考查切线的性质、等角的余角相等、勾股定理、垂径定理、解直角三角形等知识，推导出，进而证明是解题的关键．4．（2025·北京石景山·一模）如图，是的直径，点C在上，交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E．(1)求证：；(2)过点B作交于点M．若，，求半径的长．【答案】(1)见解析(2)20【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．（1）延长交于F，先证明，，则可证明四边形是矩形，得到，再证明，推出，即可证明；（2）先证明，得到，即，设，则，，解直角三角形得到；，则，由相似三角形的性质得到，由矩形的性质得到，据此建立方程求解即可．【详解】（1）证明：如图所示，延长交于F，∵是的切线，∴，∵，∴，∵是的直径，∴，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即；（2）解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，设，则，∴，∵，∴；∴，∴；∵，∴，∴，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，解得，∴，∴半径的长为20．5．（2025·北京顺义·一模）如图，是的直径，，交于点，过点作的切线交于点．(1)求证：；(2)过点作交的延长线于点．若，，求的长．【答案】(1)见解析；(2)．【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键．（1）连接，利用等腰三角形的性质得到，继而得到，根据切线的性质得到，得出，即可得到结论；（2）连接，得到，继而得到，求出，．得到．【详解】（1）证明：如图，连接，，．，．．．．是的切线，．．．．（2）解：如图，连接．是的直径，．∵，是的中点．∴．∵，∴．∵，，∴，，∴．6．（2025·北京朝阳·一模）如图，是的内接三角形，，点P在的延长线上，．(1)求证：是的切线；(2)若，，求半径的长．【答案】(1)是的切线(2)1【分析】（1）先利用圆周角定理证得，再根据平行线的性质，求得，然后利用切线的判定得出结论；（2）先证明，再根据相似三角形的性质，列出比例式，设，接着用表示出，然后利用勾股定理求得，代入比例式中，求得，再利用线段的和求得，得到关于的方程，求出，最后求出．【详解】（1）证明：如图，连接．，．，．∵是半径，是的切线．（2）设与相交于点D．，．∵，．，，．，．设，则．∴在中，．．．．，，．．【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用平行线的性质求角度，解题的关键是证明三角形相似，列出比例式求出待求线段的长．7．（2025·北京西城·一模）如图，是的直径，点C在上，连接，作直线，交直线于点E，交的角平分线于点D，连接．(1)求证：是的切线；(2)连接交于点F．若，，求的半径．【答案】(1)见解析；(2)．【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、圆的切线的判定、相似三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键．（1）由角平分线的定义以及已知条件可证明可得，进而得到即可证明结论；（2）如图：连接．易证可得、，进而得到，易证可得，则、、，根据特殊角的三角函数值可得，则，进而得到，然后求得即可解答．【详解】（1）证明：∵平分，．，．．，垂足是C，．．∴半径．∴是的切线．（2）解：如图：连接．．，．．，，，．．，．，．．∴，∴，∴，∴∴，即的半径为．8．（2025·北京平谷·一模）如图，为的直径，点为外一点，，连接交于点，连接，过作的切线交的延长线于点．(1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)见详解(2)【分析】（1）由，得，由，得，所以，则；（2）连接，作于点F，由为的直径，得，由，，且，得，，可求得，由，求得，则，可证明，则，所以．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴，∴．（2）解：连接，作于点F，则，∵为的直径，∴，∵，，且，∴，，∴∵∴，∴∵与相切于点B，∴于点B，∴，∵，∴则∴的长为．【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定、切线的性质、勾股定理、解直角三角形、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键．9．（2025·北京房山·一模）如图，是直径，点D是上一点，是切线，连接交于点E，．(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．（1）切线的性质，得到，进而得到，圆周角定理结合已知条件推出，进而得到，即可；（2）解，求出的长，进而求出的长，连接，圆周角定理得到，根据，求出的长即可．【详解】（1）证明：∵是切线，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，连接，则：，∴，∴．10．（2025·北京通州·一模）如图，是的外接圆，是的直径，点是的中点，连接，分别与交于点．

(1)求证：；(2)过点作的切线交的延长线于点．若，求半径的长．【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）证明和，得到，即可得到结论；（2）证明，得到，设，得到，则，由即可求出答案．【详解】（1）证明：∵点是的中点，，．∵，．，．（2）解：如图，

∵，，，设，∵是的直径，，∵，于点，，是的中位线，，，∵是的切线，，，∵，，∴半径的长为3．【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质、解直角三角形、三角形的中位线的性质等知识，熟练掌握圆的性质和相似三角形的判定和性质是解题的关键．11．（2025·北京海淀·一模）如图，在中，，以为直径作交于点D．点在线段上，．连接并延长交于．(1)求证：；(2)连接交于点．若，，求的半径．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，设，先证明，然后根据垂直平分线的性质定理证明，再逐步求得，即得答案；（2）连接，先证明，接着证明，即得和，从而可得，继续证明是等边三角形，最后利用直角三角形的性质，即可求得答案．【详解】（1）证明：如图，连接，设，是的直径，，，，，，，，，，；（2）解：如图，连接，由（1）可得，，，，，，是的直径，，，，，，，，，，，，，，，，是等边三角形，，，，，，，，即的半径为．【点睛】本题主要考查了圆与三角形的综合性问题，垂直平分线的性质定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理及相似三角形的判定与性质是解题的关键．12．（2025·北京·一模）如图，在△ABC中，，点D在AB上，以AD为直径作与BC相切于点E，连接DE并延长交AC的延长线于点F．(1)求证：；(2)若，，求的半径的长．【答案】(1)证明见详解(2)5【分析】本题主要考查了圆的切线的性质，平行线的判定和性质，三角函数比，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质，并准确构造辅助线．（1）利用圆的切线的性质得出，再结合条件得出，根据平行线的性质和等边对等角即可得出；（2）连接，则，利用三角函数比和勾股定依次求出的长即可求得半径．【详解】（1）证明:∵是的切线，，，，，，，，；（2）解：如图所示，连接，则，由（1）得，，，在中，由勾股定理得：，在中，，，在中，，，在中，由勾股定理得：，的半径长为5．13．（2025·北京房山·二模）如图，已知为的外接圆，为的直径，是的中点，弦于点，是上一点，连接．(1)求证：；(2)若，求．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，垂径定理，圆周角定理，以及解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键；（1）根据题意可得，根据垂径定理可得进而可得，则；（2）连接，证明得出，进而得出，根据，即可求解．【详解】（1）解：∵D是的中点，∴，∵且为的直径，∴，∴，∴；（2）解：连接，∵，∴，∵为的直径，∴，∵，∴，∴，∴，设的半径为，则，解得，∴，∴，∴，∵，∴．14．（2025·北京西城·二模）如图，为的外接圆，点为的中点，的切线交的延长线于点，交于点．连接，，且．(1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)详见解析(2)【分析】（1）本题要证明，通过设，利用同弧所对圆心角是圆周角的两倍，得到．再根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和求出．由切线性质得到，进而得出的度数．最后结合已知，得出的度数，从而证明两角相等．（2）求的长，先延长交于．根据点为的中点，利用垂径定理的推论得到，再通过证明得出．由得到，进而推出角相等关系．结合前面（1）中角的结论，得出，从而得到线段相等关系，最后根据，结合求出的长．【详解】（1）证明：设，则，∵，∴，∴，∵是的切线，∴半径，∴，∴，∵，∴，∴．（2）解：延长交于，则，∵点为的中点，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查圆的相关知识，包括同弧所对圆心角与圆周角的关系、切线的性质、垂径定理及其推论，以及等腰三角形的性质和全等三角形的判定．解题的关键在于利用圆的性质找出角之间的等量关系，通过角的关系推导线段的等量关系，进而求解问题．15．（2025·北京海淀·二模）如图，为的切线，为切点，与交于点P，交于点．(1)求证：；(2)连接交于点．若的半径为，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了切线的性质以及切线长定理，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键；（1）根据切线长定理得，根据平行线的性质即可得证；（2）连接．由（1）可得，则，由可得则，勾股定理求得证明得出，根据，即可求解．【详解】（1）证明：为的切线，．．．，．（2）解：如图，连接．由（1）可得，是的直径．是的切线，．．，．，．．．在中，，．在中，由（1）可得，，为的中点．为的中点，．，．．．．在中，，．16．（2025·北京大兴·二模）如图，是的直径，是上一点，过点作交于点D，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点．(1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据平行线的性质可得，再根据圆周角定理和等角对等边可证．（2）根据直径所对的圆周角为直角，切线的性质定理，可推出，，设，则，利用勾股定理可得，，，进而证明，即可得出．【详解】（1）证明：，，，，，．（2）解：连接，为切线，是直径，，，，，，，，设，则，是直径，，在中，，，负值舍去在中，，，解得：，负值舍去在中，，，，，，，，，，．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形，切线的性质定理，平行线的性质，等角对等边，勾股定理的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．17．（2025·北京石景山·二模）如图，四边形内接于，．(1)求证：；(2)作直径，交于点，连接，交于点．若，，．求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）结合圆内角四边形对角互补以及圆周角定理得，则，即可作答．（2）根据，得．则，结合，，得，运用．，．根据，得，，再证明是等边三角形．得，在中，，运用勾股定理算出，即可作答．【详解】（1）证明：∵四边形内接于，，∴，．∴．∴；（2）解：依题意，连接，，过点A作于点H．∵，∴．∴∵是直径，∴．∵，，∴，．∵，，∴，．∵在中，，∴，，∴，．∵，∴是等边三角形．∴，∵∴，在中，，∴，．∴．【点睛】本题考查了圆内接四边形，平行线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．18．（2025·北京朝阳·二模）如图，为的直径，点，在上，平分，连接．(1)求证：；(2)过点作的切线，分别交，的延长线于点，，连接，交于点．若，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（）利用圆周角定理和角平分线的定义可得，进而即可求证；（）由切线的性质可得，由得，，即得，利用三角函数得，即得，设的半径为，由解得，即得，，进而得，，即可得，最后代入计算即可求解．【详解】（1）证明：为上的点，，平分，，，∴；（2）解：如图，与相切于点，∴，，∵，，，，，∴在中，，，设的半径为，则，解得，∴，，∴，，，∵，∴，．【点睛】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义，平行线的判定，切线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，灵活运用以上知识点是解题的关键．19．（2025·北京顺义·二模）如图，是的直径，点在上，．(1)求证：；(2)为中点，直线交于点，（点在点上方），连接，过点作的切线交的延长线于点．若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查弦、弧、圆心角的关系，垂径定理，解直角三角形等知识，正确作辅助线是解答本题的关键．（1）由，且，得，由得，则，推出，从而可得结论；（2）连接，由是的直径，为的中点，根据垂径定理得出，则，可证明，由可求得，，则，，求得，，由可得结论．【详解】（1）证明：∵，且，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：连接，如图，∵是的直径，为的中点，∴，∴，，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴∴的长为．20．（2025·北京密云·二模）如图，是的直径，点E在上，连接交于点F，连接交于点G，．(1)