上海市金山区2025-2026学年第二学期质量监控高三数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页上海市金山区2025-2026学年第二学期质量监控高三数学试卷一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。1.为了了解申辉中学所有学生的每天平均体育运动时间，随机调查了该校100名学生，发现他们每天平均体育运动时间为h．这里的总体是（

）A.该校所有学生

B.该校所有学生的每天平均体育运动时间

C.所调查的100名学生

D.所调查的100名学生的每天平均体育运动时间2.函数是（

）A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数

C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数3.已知椭圆，双曲线，其中（），点、为椭圆的两个焦点，点是双曲线上一动点．若双曲线的两条渐近线夹角的余弦值等于，则使得为直角三角形的点有（

）个A.3 B.4 C.6 D.84.已知全集是一个六元集合，任取的两个子集、（、可以相等），记事件；记事件．则（

）A. B. C. D.二、填空题：本题共12小题，共54分。5.不等式的解集为

．6.已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数

．7.将化成有理数指数幂的形式为

.8.设若是的充分条件,则实数的取值范围是

.9.已知角为第四象限角，且，则

．10.已知等差数列，，1，…，则该数列的第20项为_____

____．11.已知随机变量的分布为，则期望

．12.若甲乙丙丁四人组成接力队参加米接力赛，则甲不跑中间两棒的排法共有

种．13.已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为

．14.已知在中，．若点为外接圆的圆心，则

．15.已知是数列的前项和，且，且．若，则

．16.申辉中学某个数学建模小组发现：人走路时，启动或者停下的瞬间，手中水平拿着的杯子里的水可能会被晃动得溢出杯口.查询资料后发现：液面和水平面的夹角与人走路的加速度以及重力加速度有关，满足关系：，其中.若甲同学走路启动瞬间的加速度为，手中水平拿着一个底面边长为4cm和6cm，高为14cm的长方体形状的杯子，则杯中最多装

的水，存在甲同学走路启动的瞬间杯中水不溢出的可能.三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)绝对零度（）是一个只能逼近而不能达到的最低温度，那么这个数据是如何测得的？吕同学通过查询资料，知道：①气体温度和气体压强存在线性关系；②当气体压强为0（）时，气体温度达到绝对零度．以下是吕同学在一次模拟实验时，测得某种气体温度和气体压强的相关数据：数据123456温度（）4.0716.6929.4245.6757.0673.05压强（）103.095107.734112.461118.469122.706128.758(1)求该模拟实验中，该气体温度的平均值和方差；（精确到0.01）(2)若该次实验下气体压强关于气体温度的回归方程为，预估该次实验下绝对零度的数值；（精确到0.01）(3)为了验证实验的普适性，吕同学利用不同气体预估绝对零度，得到如下的一组数据．若任取其中的2个数据，求该两个数据与绝对零度（）的误差均小于1的概率．绝对零度（）275.13274.56274.28273.57272.45271.6718.(本小题14分)已知长方形中，，点、分别为边、的中点（如图1）．若将长方形沿着边翻折，得到二面角（如图2）．已知二面角的大小为．(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的大小．（结果用反三角表示）19.(本小题14分)已知函数，其中．(1)若，求实数的取值范围；(2)若，其中，若存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点，求实数的取值范围．20.(本小题18分)已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一动点，点为坐标原点．(1)若，求点的坐标；(2)若直线与抛物线只有一个交点，求直线的方程；(3)若，过点作圆的两条切线，交准线于、两点，求的取值范围．21.(本小题18分)若函数，其值域为．若，则称函数在区间上为封闭函数．(1)已知，判断函数是否在区间上为封闭函数，并说明理由；(2)已知，若函数在区间上不为单调函数，但在区间上为封闭函数，求的最大值；(3)已知函数在区间上连续且为封闭函数，且对于任意的、，都有成立．若数列满足，且，证明：存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有．

1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】

6.【答案】

7.【答案】

8.【答案】

9.【答案】

10.【答案】

11.【答案】2

12.【答案】12

13.【答案】16

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】

17.【答案】解：（1）（），.（2），将，即代入，解得，所以回归方程为，令，解得（），预估该次实验下绝对零度的数值为.（3）因为，，，，，，所以只有，两个数据与绝对零度（）的误差小于1，所以

18.【答案】解：（1）因为长方形中，，折叠过程中，，又平面，平面，故平面，同理可得平面，又，平面，所以平面平面；（2）因为长方形中，点、分别为边、的中点，故，二面角的平面角为，即，又，所以，为等边三角形，同理可得为等边三角形，取的中点，连接，则⊥，又⊥平面，平面，故⊥，因为，平面，故⊥平面，故直线与平面所成角为，，，故，由勾股定理得，则，直线与平面所成角的大小为.

19.【答案】解：（1）由可得，又为严格单调递增函数，且，所以，解得，所以实数的取值范围为.（2）因为，所以，，由可得，，当时，，在上单调递增，不合题意；当时，，故当或时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值，此时，不存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点；当时，，故当或时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值，故的极小值，又当时，，所以存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点.综上，实数的取值范围.

20.【答案】解：（1）由可知，因为，所以，即，解得，代入抛物线方程，，所以点的坐标为或.（2）联立方程，可得，即，因为只有一个交点，所以，即时，方程只有一解，满足题意，此时；当时，则需，解得，此时.综上，直线的方程为和.（3）设，由题意，切线与准线相交，故切线的斜率存在，设切线方程为，即，由圆知，圆心，半径，所以，即，设，代入切线方程可得，，所以，（其中分别是的斜率）所以，又，令，则，令，则，所以，因为，所以，所以，故求的取值范围为.

21.【答案】解：（1）由，由，得，从而有，即得，即，从而函数在区间上为封闭函数；（2）由，，函数的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线，根据题意在区间上不为单调函数，得，从而函数在区间单调递减，在区间单调递增，从而，，由函数在区间上为封闭函数，即有，从而，即，那么，即得，即的最大值为；（3）由函数在区间上连续且为封闭函数，令，从而函数在