去年难的高考题目及答案

去年难的高考题目及答案姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

去年难的高考题目及答案

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为

A.3

B.-3

C.2

D.-2

2.若复数z满足|z|=2且arg(z)=π/3，则z的代数形式为

A.1+√3i

B.2cos(π/3)+2sin(π/3)i

C.2√3+2i

D.-1-√3i

3.设函数f(x)=log_a(x+1)在x=1处连续，则a的取值范围是

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,+∞)

D.(-∞,0)∪(0,+∞)

4.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2+b^2-c^2=ab，则角C的大小为

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

5.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_3=7，则S_5的值为

A.15

B.25

C.35

D.45

6.设函数f(x)=x^2-4x+3，则f(x)在区间[1,4]上的最小值为

A.-1

B.0

C.1

D.3

7.已知直线l:y=kx+b与圆C:x^2+y^2=1相交于两点，则k的取值范围是

A.(-∞,-1)∪(1,+∞)

B.(-1,1)

C.[-1,1]

D.(-∞,-1]∪[1,+∞)

8.设函数f(x)=sin(x)+cos(x)，则f(x)的最小正周期为

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

9.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为

A.-1/5

B.1/5

C.-4/5

D.4/5

10.在100件产品中，有10件次品，现从中随机抽取3件，则抽到至少1件次品的概率为

A.1/100

B.3/100

C.97/100

D.1-(91/100)^3

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.若函数f(x)=x^2+ax+1在x=1处取得极小值，则a的值为__________。

2.复数z=1+i的模长为__________。

3.设函数f(x)=log_2(x+1)在x=2处的导数为__________。

4.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C的大小为__________度。

5.已知等比数列{b_n}的首项b_1=2，公比q=3，则b_4的值为__________。

6.函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值为__________。

7.若直线l:y=kx+1与圆C:x^2+y^2=4相切，则k的值为__________。

8.函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)的最小正周期为__________。

9.已知向量c=(2,-1)，向量d=(-1,2)，则向量c与向量d的点积为__________。

10.在50件产品中，有5件次品，现从中随机抽取2件，则抽到至少1件次品的概率为__________。

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列函数中，在x=0处取得极值的是

A.f(x)=x^3

B.f(x)=x^4

C.f(x)=x^2

D.f(x)=x

2.下列复数中，模长为2的有

A.1+√3i

B.2cos(π/3)+2sin(π/3)i

C.2√3+2i

D.-1-√3i

3.下列函数中，在定义域内连续的有

A.f(x)=log_a(x+1)

B.f(x)=√x

C.f(x)=1/x

D.f(x)=tan(x)

4.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2+b^2=c^2，则下列说法正确的有

A.角C为锐角

B.角C为直角

C.角C为钝角

D.角C可以为任意角

5.下列数列中，是等差数列的有

A.{a_n}，a_n=n^2

B.{b_n}，b_n=2n+1

C.{c_n}，c_n=3n-2

D.{d_n}，d_n=2^n

6.下列函数中，在区间[1,4]上的最小值为0的有

A.f(x)=x^2-4x+3

B.f(x)=x^2-4x+4

C.f(x)=x^2-4x+5

D.f(x)=x^2-4x+2

7.下列直线与圆x^2+y^2=1相交于两点的有

A.y=x

B.y=-x

C.y=2x

D.y=-2x

8.下列函数中，最小正周期为π的有

A.f(x)=sin(2x)

B.f(x)=cos(3x)

C.f(x)=tan(x/2)

D.f(x)=sin(x)+cos(x)

9.下列向量中，点积为0的有

A.a=(1,2)，b=(2,-1)

B.c=(3,4)，d=(-4,3)

C.e=(1,0)，f=(0,1)

D.g=(2,3)，h=(3,2)

10.下列关于概率的命题正确的有

A.概率的总和为1

B.概率总为非负数

C.概率总为正数

D.概率总为0到1之间的数

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=x^3-3x+2在x=1处取得极值。

2.复数z=a+bi的模长为√(a^2+b^2)。

3.若函数f(x)在x=c处取得极值，则f'(c)=0。

4.在△ABC中，若a^2+b^2>c^2，则角C为锐角。

5.等差数列的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d。

6.函数f(x)=x^2-4x+4在区间[1,4]上的最大值为0。

7.若直线l与圆C相切，则直线l到圆心的距离等于圆的半径。

8.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期为2π。

9.向量a=(1,2)与向量b=(3,4)的夹角为90°。

10.在100件产品中，有10件次品，现从中随机抽取3件，则抽到至少1件次品的概率为1-(90/100)^3。

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.求函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的最大值和最小值。

2.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，d=3，求S_10的值。

3.求过点(1,2)且与直线y=3x-1平行的直线方程。

4.求函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)在区间[0,π/2]上的最大值和最小值。

5.已知向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，求向量a与向量b的夹角余弦值。

6.在100件产品中，有10件次品，现从中随机抽取3件，求抽到恰好1件次品的概率。

7.求圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心和半径。

8.求函数f(x)=log_2(x+1)在x=1处的导数。

9.已知等比数列{b_n}的首项b_1=2，公比q=3，求b_5的值。

10.求直线y=x与圆x^2+y^2=1的交点坐标。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.A

解析：f'(x)=3x^2-a，f'(1)=3-a=0，得a=3。

2.B

解析：|z|=2，arg(z)=π/3，z=2cos(π/3)+2sin(π/3)i=1+√3i。

3.B

解析：log_a(x+1)在x=1处连续，需a>0且a≠1，且lim(x→1)log_a(x+1)=log_a(2)存在，故a>1。

4.C

解析：a^2+b^2-c^2=ab，即(a-b/2)^2+3b^2/4=c^2，由余弦定理cos(C)=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=(ab)/(2ab)=1/2，得C=60°。

5.C

解析：a_3=a_1+2d=1+2d=7，得d=3，S_5=5a_1+10d=5×1+10×3=35。

6.D

解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-2)=11，f(-1)=5，f(1)=5，f(4)=11，故最小值为f(1)=0。

7.A

解析：圆心(0,0)，半径r=2，直线l到圆心距离d=|b|/√(1+k^2)=2，得|b|=2√(1+k^2)，k可取任意实数，故d=2时k可取任意值，但若k不存在（垂直x轴），则b=±2√5，此时k不存在，故k∈(-∞,-1)∪(1,+∞)。

8.A

解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，周期T=2π/|ω|=2π/2=π。

9.B

解析：cos(θ)=(a·b)/(|a||b|)=(1×3+2×(-4))/(√(1^2+2^2)√(3^2+(-4)^2))=(3-8)/(√5√25)=-5/5√5=-1/√5=-1/5。

10.D

解析：P(至少1件)=1-P(全为正品)=1-C(90,3)/C(100,3)=1-(90×89×88)/(100×99×98)=1-74160/970200=1-0.7677=0.2323。

二、填空题答案及解析

1.-2

解析：f'(x)=2x+a，f'(1)=2+a=0，得a=-2。

2.√2

解析：|z|=√(1^2+1^2)=√2。

3.1/3

解析：f'(x)=1/(x+1)·log_a(e)，f'(2)=1/(2+1)·log_a(e)=1/3·log_a(e)。

4.75°

解析：A+B+C=180°，C=180°-60°-45°=75°。

5.162

解析：b_4=b_1·q^3=2×3^3=2×27=54。

6.8

解析：f'(x)=2x-4，令f'(x)=0得x=2，f(2)=2^3-3×2^2+2×2=8-12+4=0，f(-2)=-8-12-4=-24，f(4)=64-48+8=24，故最大值为max{0,-24,24}=24。

7.±2√5

解析：圆心(2,-3)，半径r=√(2^2+(-3)^2)=√13，直线y=kx+1到圆心(0,-3)距离d=|0×k-(-3)×1+1|/√(k^2+1)=|3+1|/√(k^2+1)=4/√(k^2+1)=√13，得√(k^2+1)=4/√13，k^2+1=16/13，k^2=3/13，k=±√(3/13)，d=4/√(3/13)=4√13/√3=4√(13×13)/(√3×√13)=4√13/√3=±2√5。

8.π

解析：f(x)=√2sin(2x+π/4)，周期T=2π/|ω|=2π/2=π。

9.-6

解析：c·d=(2)(-1)+(-1)(2)=-2-2=-4。

10.19/245

解析：P(至少1件)=1-P(全为正品)=1-C(45,2)/C(50,2)=1-(45×44)/(50×49)=1-1980/2450=1-198/245=47/245。

三、多选题答案及解析

1.C,D

解析：f'(x)=3x^2，f'(0)=0，但f''(0)=6x|_{x=0}=0，非极值点。f'(x)=4x^3，f'(0)=0，f''(0)=12x^2|_{x=0}=0，非极值点。f'(x)=2x，f'(0)=0，f''(0)=2>0，x=0处取得极小值。f'(x)=1，f'(0)=1≠0，无极值点。

2.B,C

解析：|1+√3i|=√(1^2+(√3)^2)=√4=2。|2cos(π/3)+2sin(π/3)i|=|2×1/2+2×√3/2·i|=|1+√3i|=2。|2√3+2i|=√((2√3)^2+2^2)=√(12+4)=√16=4。|-1-√3i|=√((-1)^2+(-√3)^2)=√(1+3)=√4=2。

3.A,B

解析：f(x)=log_a(x+1)在x>-1时定义且连续（a>0,a≠1）。f(x)=√x在x≥0时定义且连续。f(x)=1/x在x≠0时定义，但在x=0处不连续。f(x)=tan(x)在x≠kπ+π/2(k为整数)时定义且连续，但在这些点处不连续。

4.B,C

解析：a^2+b^2=c^2，由余弦定理cos(C)=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=0，得角C为直角。直角三角形中，直角边平方和等于斜边平方，角C必为直角。锐角三角形中a^2+b^2>c^2，直角三角形中a^2+b^2=c^2，钝角三角形中a^2+b^2<c^2，故a^2+b^2>c^2时角C为锐角或直角。不能保证角C一定为锐角或钝角。

5.B,C

解析：a_n=n^2，a_{n+1}-a_n=(n+1)^2-n^2=2n+1-n^2=-n^2+2n+1≠(n-1)d，故不是等差数列。b_n=2n+1，a_{n+1}-a_n=[2(n+1)+1]-(2n+1)=2n+2+1-2n-1=2，是等差数列，公差d=2。c_n=3n-2，a_{n+1}-a_n=[3(n+1)-2]-(3n-2)=3n+3-2-3n+2=3，是等差数列，公差d=3。d_n=2^n，a_{n+1}-a_n=2^{n+1}-2^n=2^n(2-1)=2^n≠(n-1)d，故不是等差数列。

6.A,B

解析：f(x)=(x-2)^2，对称轴x=2。在[1,2]上单调递减，在[2,4]上单调递增。f(1)=1^2-4×1+4=1。f(2)=0。f(4)=16-16+4=4。故最小值为0。最大值为max{1,0,4}=4。A选项f(x)=x^2-4x+3=(x-2)^2-1，对称轴x=2，最小值为-1（在x=2处），最大值为max{f(1),f(4)}=max{0,4}=4。B选项f(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2，对称轴x=2，最小值为0（在x=2处），最大值为max{f(1),f(4)}=max{1,4}=4。C选项f(x)=x^2-4x+5=(x-2)^2+1，对称轴x=2，最小值为1（在x=2处），最大值为max{f(1),f(4)}=max{2,5}=5。D选项f(x)=x^2-4x+2=(x-2)^2-2，对称轴x=2，最小值为-2（在x=2处），最大值为max{f(1),f(4)}=max{0,6}=6。

7.A,B,C,D

解析：圆方程为(x-2)^2+(y+3)^2=13。圆心为(2,-3)，半径r=√13。直线y=x与圆心的距离d=|0×1-1×(-3)|/√(1^2+1^2)=|3|/√2=3√2/2。d>r(3√2/2>√13)，故直线与圆相离，无交点。直线y=-x与圆心的距离d=|0×(-1)-1×(-3)|/√(1^2+(-1)^2)=|3|/√2=3√2/2。d>r(3√2/2>√13)，故直线与圆相离，无交点。直线y=2x与圆心的距离d=|0×2-1×(-3)|/√(2^2+1^2)=|3|/√5=3√5/5。d<r(√13>3√5/5)，故直线与圆相交，有两个交点。直线y=-2x与圆心的距离d=|0×(-2)-1×(-3)|/√((-2)^2+1^2)=|3|/√5=3√5/5。d<r(√13>3√5/5)，故直线与圆相交，有两个交点。题目要求相交于两点，故选与圆相交的直线。

8.A,C

解析：f(x)=√2sin(2x)，周期T=2π/|ω|=2π/2=π。f(x)=cos(3x)，周期T=2π/|ω|=2π/3。f(x)=tan(x/2)，周期T=π/|ω|=π/(1/2)=2π。f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，周期T=2π/|ω|=2π/1=2π。故最小正周期为π的函数是A和C。

9.A,B,C

解析：a·b=(1)(3)+(2)(-4)=3-8=-5。|a|=√(1^2+2^2)=√5。|b|=√(3^2+(-4)^2)=√(9+16)=√25=5。cos(θ)=(a·b)/(|a||b|)=-5/(√5×5)=-5/5√5=-1/√5。向量a与向量b的点积a·b=-5≠0。向量c=(2,-1)，向量d=(-1,2)，c·d=(2)(-1)+(-1)(2)=-2-2=-4≠0。向量e=(1,0)，向量f=(0,1)，e·f=(1)(0)+(0)(1)=0。向量g=(2,3)，向量h=(3,2)，g·h=(2)(3)+(3)(2)=6+6=12≠0。故点积为0的向量对是(A)和(C)。

10.A,B,D

解析：概率是描述事件发生可能性大小的数值，其值域为[0,1]。任何事件的概率p≥0。必然事件的概率为1。不可能事件的概率为0。任何事件的概率p≤1。故A、B、D正确。C错误，因为概率可以等于0（不可能事件）或1（必然事件）。

四、判断题答案及解析

1.√

解析：f'(x)=3x^2-3，f'(1)=3(1)^2-3=3-3=0，f''(x)=6x，f''(1)=6(1)=6>0，故x=1处取得极小值。

2.√

解析：复数z=a+bi的模长|z|=√(a^2+b^2)。

3.√

解析：由极值必要条件知，可导函数在极值点处的导数为0。

4.×

解析：a^2+b^2>c^2，由余弦定理cos(C)=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)>0，得角C为锐角。

5.√

解析：这是等差数列的通项公式定义。

6.×

解析：f(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2，对称轴x=2。在[1,2]上单调递减，在[2,4]上单调递增。f(1)=1，f(2)=0，f(4)=4。故最小值为0。最大值为max{1,0,4}=4。题目问最大值为0，错误。

7.√

解析：直线l与圆C相切，意味着直线l到圆心O的距离等于圆的半径r。

8.√

解析：f(x)=√2sin(2x+π/4)，周期T=2π/|ω|=2π/2=π。

9.×

解析：向量a=(1,2)，向量b=(3,4)，a·b=1×3+2×4=3+8=11≠0。向量a与向量b的夹角θ满足cos(θ)=11/(√5×√25)=11/5√5≠0，故夹角不为90°。

10.√

解析：概率是度量事件发生可能性大小的数值，其值域为[0,1]。即对于任何事件E，其概率P(E)满足0≤P(E)≤1。

五、问答题答案及解析

1.解：f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0，得3x^2-6x+2=0，解得x=(6±√(36-24))/6=(6±√12)/6=(6±2√3)/6=1±√3/3。需要比较f(x)在端点和驻点的值。f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2(-1)=-1-3-2=-6。f(1-√3/3)=(1-√3/3)^3-3(1-√3/3)^2+2(1-√3/3)。f(1+√3/3)=(1+√3/3)^3-3(1+√3/3)^2+2(1+√3/3)。f(3)=3^3-3×3^2+2×3=27-27+6=6。f(-1)=-6，f(3)=6。f(1-√3/3)和f(1+√3/3)的值需要计算。f(1-√3/3)=(1-√3/3)^3-3(1-√3/3)^2+2(1-√3/3)=(1-√3/3)(1-√3/3)^2-3(1-√3/3)^2+2(1-√3/3)=(1-√3/3)((1-√3/3)(1-√3/3))-3(1-√3/3)^2+2(1-√3/3)=(1-√3/3)((1-2√3/3+3/9))-3(1-2√3/3+3/9)+2(1-√3/3)=(1-√3/3)((1-2√3/3+1/3))-3(1-2√3/3+1/3)+2(1-√3/3)=(1-√3/3)(4/3-2√3/3)-3(4/3-2√3/3+1/3)+2(1-√3/3)=(1-√3/3)(4-2√3)/3-(12-6√3+3)/3+2-2√3/3=(4-2√3-4√3+6)/9-9/3+6√3/3+2-2√3/3=(4-6√3+6)/9-3+4√3/3=(10-6√3)/9-3+4√3/3=10/9-6√3/9-27/9+12√3/9=-17/9+6√3/9=(-17+6√3)/9。f(1+√3/3)=(1+√3/3)^3-3(1+√3/3)^2+2(1+√3/3)=(1+√3/3)(1+√3/3)^2-3(1+√3/3)^2+2(1+√3/3)=(1+√3/3)((1+√3/3)(1+√3/3))-3(1+√3/3)^2+2(1+√3/3)=(1+√3/3)((1+2√3/3+3/9))-3(1+2√3/3+3/9)+2(1+√3/3)=(1+√3/3)(4/3+2√3/3)-3(4/3+2√3/3+1/3)+2(1+√3/3)=(1+√3/3)(4+2√3)/3-(12+6√3+3)/3+2+2√3/3=(4+2√3+4√3+6)/9-15/3+6√3/3+2+2√3/3=(10+6√3)/9-5+8√3/3=10/9+6√3/9-45/9+24√3/9=(-35+30√3)/9。比较f(-1)=-6，f(3)=6，f(1-√3/3)=(-17+6√3)/9，f(1+√3/3)=(-35+30√3)/9。f(1-√3/3)<f(1+√3/3)。比较f(1-√3/3)与0，(-17+6√3)/9<0，得-17+6√3<0，6√3<17，√3<17/6≈2.833，显然成立。比较f(1+√3/3)与0，(-35+30√3)/9>0，得-35+30√3>0，30√3>35，√3>35/30=7/6≈1.167，显然成立。故f(-1)=-6为最小值，f(3)=6为最大值。

2.解：S_n=n/2(a_1+a_n)。已知a_1=2，d=3。a_n=a_1+(n-1)d=2+(n-1)×3=2+3n-3=3n-1。S_10=10/2(a_1+a_10)=5(a_1+a_10)=5(2+a_10)=5(2+3×10-1)=5(2+30-1)=5(31)=155。

3.解：直线l:y=3x-1。所求直线与l平行，故斜率k=3。过点(1,2)，即x_1=1，y_1=2。直线方程为y