2024-2025学年广东广州六十五中高一下学期期中数学试题含答案

高中广州市第65中学2023-2024学年第二学期期中考试高一数学说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分；第Ⅰ卷客观题58分，第Ⅱ卷主观题92分，共150分；第Ⅰ卷需用2B铅笔填涂到答卷上，第Ⅱ卷用黑色的签字笔或钢笔于答卷上作答；考试时间120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，则复数的虚部为（）A. B. C.1 D.2.如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（）A. B.C. D.3.已知外接圆圆心为O，且则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.4.中国南北朝时期数学家､天文学家祖冲之､祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.如图，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（）A.24 B. C. D.5.已知m，n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）A.，， B.，，C.，， D.，6.在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，且，则（）A B. C. D.7.已知的内角所对的边分别为下列说法正确的是（）A.若，则是等腰三角形B.若，则是直角三角形C.若，则是直角三角形D.“”是“是等边三角形”的充分不必要条件8.在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（）A.若P为的重心，则 B.若P为的外心，则C.若P为的垂心，则 D.若P为的内心，则二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设复数的共轭复数为，i为虚数单位，则下列命题错误的是（）A.B.若，则在复平面内对应的点位于第二象限C.是纯虚数D.若，则的最大值是610.已知向量，，则（）A.若，则 B.若，则C.最大值为 D.若，则11.如图，为正圆锥底面圆的直径，点是圆上异于的动点，，则下列结论正确的是（）A.圆锥侧面积为B.三棱锥体积的最大值为C.的取值范围是D.三棱锥体积最大时，其内切球半径为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.如图，已知某平面图形的斜二测画法直观图是边长为2的正方形，则该平面图形的周长为__________.13.已知向量，，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围________．14.如图所示，在棱长为1正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，是侧面内一点，若平面AEF.则线段长度的最大值与最小值之和为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．15.已知，且与的夹角为，求：（1）求；（2）求；（3）若向量与平行，求实数的值.16.某中学数学兴趣小组，为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的，，三点，其中，点为中点，兴趣小组组长小王在，，三点上方5m处的，，观察已建建筑物最高点的仰角分别为，，，其中，，，点为点在地面上的正投影，点为上与，，位于同一高度的点.（1）求建造中的建筑物已经到达的高度；（2）求的值.17.已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为，向量，，且.（1）求角C的值；（2）若，求的取值范围.18.如图，已知平面ABC，，，，，，点为的中点（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的大小；（3）若点为的中点，求点到平面的距离．19.如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点.（1）求证：平面MAC；（2）求二面角的余弦值；（3）在棱PC上是否存在点Q使平面平面MAC成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.

广州市第65中学2023-2024学年第二学期期中考试高一数学说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分；第Ⅰ卷客观题58分，第Ⅱ卷主观题92分，共150分；第Ⅰ卷需用2B铅笔填涂到答卷上，第Ⅱ卷用黑色的签字笔或钢笔于答卷上作答；考试时间120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，则复数的虚部为（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】首先化简复数，再求复数的虚部.【详解】由条件可知，，所以的虚部为1.故选：C2.如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用几何关系，确定，再利用向量的线性运算，即可求解.【详解】因为，且，所以，即.故选：D3.已知的外接圆圆心为O，且则向量在向量上的投影向量为（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量概念求解即可.【详解】因为，所以外接圆圆心O为BC的中点，即BC为外接圆的直径，如图，又，所以为等边三角形，则，故，所以向量在向量上的投影向量为：．故选：C．4.中国南北朝时期数学家､天文学家祖冲之､祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.如图，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（）A.24 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由祖暅原理知不规则几何体的体积与正六棱台体积相等即可求解.【详解】由祖暅原理，该不规则几何体体积与正六棱台体积相等，设该正六棱台的上下底面积分别为，高为，则，，，故.故选：D5.已知m，n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）A.，， B.，，C.，， D.，【答案】C【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系可判断每个选项的正误．【详解】对于A：，，或与相交或与异面，故A错误；对于B：由，，，可能，可能，还可能异面不垂直，也可能相交不垂直，故B错误；对于C：由，，则，又，则，故C正确；对于D：，或，故D错误.故选：C.6.在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理化简已知条件，求得，利用平方的方法化简，求得，进而求得.【详解】，∴，，∴；又知，平方可得，∴，∴.故选：C7.已知的内角所对的边分别为下列说法正确的是（）A.若，则是等腰三角形B.若，则是直角三角形C.若，则是直角三角形D.“”是“是等边三角形”的充分不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理，将已知式边角互化，根据正弦函数，余弦函数的图象，借助于二倍角公式、降幂公式化简.即可一一判断正误.【详解】对于A项，由和正弦定理，，即，故得或，即或，即是等腰三角形或直角三角形，故A项错误；对于B项，因，由余弦定理，，代入化简得，，即得，故是等边三角形，故B项错误；对于C项，由和正弦定理，,化简得，(*)，因,则,代入(*),得，因，，则，故,即C项正确；对于D项，若是等边三角形，则,即必成立，故“”是“是等边三角形”的必要条件，故D项错误.故选：C.【点睛】方法点睛：本题主要考查三角形中正弦定理、余弦定理的应用，属于较难题.解决此类题的方法主要有：（1）边的齐次型问题，一般考虑运用正弦定理化边为角；（2）内角正弦的齐次型，一般考虑运用正弦定理化角为边；（3）边或正弦的二次型，一般考虑直接运用余弦定理或化角为边后再用余弦定理；（4）正余弦混合的二次型，一般考虑运用降幂公式降次.8.在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（）A.若P为的重心，则 B.若P为的外心，则C.若P为的垂心，则 D.若P为的内心，则【答案】C【解析】【分析】对于ACD：先求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求解；对于B：利用展开计算即可.【详解】如图建立平面直角坐标系，，对于A：若为的重心，则，所以若，则，解得，所以，A不正确；对于B：若为的外心，其必在直线上，所以，B错误；对于C：若为垂心，其必在上，设，则，解得，此时，若，则，解得，所以，C正确；对于D：若为的内心，设内切圆半径为，则，得，则，此时，若，则，解得，所以，D不正确；故选：C.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设复数的共轭复数为，i为虚数单位，则下列命题错误的是（）A.B.若，则在复平面内对应的点位于第二象限C.是纯虚数D.若，则的最大值是6【答案】AB【解析】【分析】A选项，举出反例；B选项，先求出共轭复数，由三角函数性质得到，确定所在象限；C选项，利用复数除法法则化简，得到C正确；D选项，由复数模长的几何意义确定其轨迹，从而确定的最大值.【详解】A选项，设，则，故，A错误；B选项，，因为，所以，则在复平面内对应的点位于第三象限，B错误；C选项，，为纯虚数，C正确：D选项，若，则的几何意义为到点的距离为1的圆上的点，此圆上的点到原点的距离最大值为圆心到原点的距离加上半径1，故的最大值为，D正确.故选：AB10.已知向量，，则（）A.若，则 B.若，则C.的最大值为 D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项；利用平面向量垂直的坐标表示与同角三角函数的基本关系可判断B选项；利用平面向量模的三角不等式可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.【详解】对A：若，则，解得，A正确；对B：若，则，所以，所以，B错误；对C：因为，，而，当且仅当、反向时等号成立，此时，解得，即当时，取最大值，C对；对D：若，即，故，所以，D正确．故选：ACD.11.如图，为正圆锥底面圆的直径，点是圆上异于的动点，，则下列结论正确的是（）A.圆锥的侧面积为B.三棱锥体积的最大值为C.的取值范围是D.三棱锥体积最大时，其内切球半径为【答案】ABD【解析】【分析】先求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式判断A；当时，的面积最大，计算体积最大值判断B；先用取极限的思想求出的范围，再利用求范围判断C；.先由基本不等式确定B点位置，再结合等体积法即可求得三棱锥的内切球半径，则D可求.【详解】在中，，则圆锥的母线长，半径，对于A，圆锥的侧面积为：，A正确；对于B，，当且仅当时等号成立，即时三棱锥的体积取最大值，对于C，是等腰三角形，，又因为，则，依题意，，而，因此，C错误；对于D，结合B选项的解析可知，当且仅当时等号成立，即时三棱锥的体积取最大值，此时三棱锥的表面积为：，设三棱锥的内切球半径为，由等体积法可得，故D对.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.如图，已知某平面图形的斜二测画法直观图是边长为2的正方形，则该平面图形的周长为__________.【答案】16【解析】【分析】根据直观图画出原图形，结合勾股定理求出各边长，得到周长【详解】画出原图形如下：四边形为平行四边形，其中，故，，由勾股定理得，故该平面图形周长为.故答案为：1613.已知向量，，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围________．【答案】【解析】【分析】利用向量数量积及共线的定理的坐标表示即可求解.【详解】向量，，且与的夹角为钝角，则（且排除反向共线情况）.当时，则，解得.当当反向共线时，，解得.综上所得，求实数的取值范围为.故答案为：.14.如图所示，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，是侧面内一点，若平面AEF.则线段长度的最大值与最小值之和为_________.【答案】【解析】【分析】根据面面平行的性质证明出点的轨迹为线段，在根据平面几何知识计算出的最值。【详解】下图所示：分别取棱、的中点、，连接，连接，、、、为所在棱的中点，，，，又平面，平面，平面；，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面，又，平面，平面平面，是侧面内一点，且平面，则必在线段上，在中，，同理，在中，求得，为等腰三角形，当在中点时，此时最短，位于、处时最长，，，所以线段长度的是大值与最小值之和为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．15.已知，且与的夹角为，求：（1）求；（2）求；（3）若向量与平行，求实数的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用数量积的定义计算；（2）利用向量求模公式即可；（3）利用向量共线定理计算.【小问1详解】由题意可得.【小问2详解】.【小问3详解】因与不共线，则，由向量与平行可知，存在实数使得，即，则，得.16.某中学数学兴趣小组，为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的，，三点，其中，点为中点，兴趣小组组长小王在，，三点上方5m处的，，观察已建建筑物最高点的仰角分别为，，，其中，，，点为点在地面上的正投影，点为上与，，位于同一高度的点.（1）求建造中的建筑物已经到达的高度；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，根据条件得到，在和，利用余弦定理得到，即可求解；（2）利用正弦定理得到，由（1）知，即可求解.【小问1详解】如图，设，因为在，，处观察已建建筑物最高点的仰角分别为，，，且，，，所以，又，是的中点，在中，由余弦定理得到，在中，由余弦定理得到，又，所以，整理得到，解得，所以.【小问2详解】在中，由正弦定理知①，在中，由正弦定理知②，由（1）知，由②①得到.17.已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为，向量，，且.（1）求角C的值；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根据数量积的坐标表示，方法一：利用正弦定理和余弦定理角化边可得；方法二：利用和差公式化简即可得解.（2）方法一：利用正弦定理将表示为关于角的函数，根据二倍角公式化简，由正切函数的性质可得；方法二：利用正弦定理将b表示为关于角的函数，利用正切函数性质求出b的范围，由余弦定理用b表示c，然后表示出，根据函数单调性可解.【小问1详解】因为，所以，方法一：利用正弦定理角化边得，又，，则，又为锐角三角形，故.方法二：由和差公式可得，又因为，所以，又为锐角三角形，故.【小问2详解】由正弦定理得，，由于为锐角三角形，则，又，解得，方法一：所以，而，即，，故的取值范围为.方法二：所以，所以，又，所以，由余弦定理得，记，易知在上单调递增，所以，即，所以的取值范围为.18.如图，已知平面ABC，，，，，，点为的中点（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的大小；（3）若点为的中点，求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由条件可知，平面平面，再利用面面垂直的性质定理，即可证明线面垂直；（2）首先取中点，将转化为，再根据（1）的结果，利用线面角的定义，即可求解线面角；（3）利用等体积转化，，求点到平面的距离.【小问