2025-2026学年广东广州铁一中学九年级上学期开学考数学试题含答案

初中2025学年第一学期初三年级数学学科开学学情摸查问卷一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.的绝对值是（）A. B.2024 C. D.2.下列各式是最简二次根式的是（）A. B. C. D.3.某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是108分，方差分别是，，，，则这4名同学3次数学模拟考试成绩最稳定的是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁4.已知多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为（）A.4 B.8 C. D.5.中，、、的对边分别是、、，下列条件不能判定是直角三角形的（）A. B.C. D.6.下列命题，其中是真命题的是（）A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B.有一个角是直角的四边形是矩形C.对角线互相平分的四边形是菱形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形7.若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边为（）A. B. C.或 D.8.如图，的周长为，的周长为，则对角线的长为（）A. B. C. D.9.已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，所走路程y(米)与行驶时间x(分)之间的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（）A.甲每分钟走100米 B.两分钟后乙每分钟走50米C.当或6时，甲乙两人相距100米 D.甲比乙提前1.5分钟到达B地10.如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，，在内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…则第2024个等边三角形的边长等于（）A B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11.将59800000用科学记数法表示为__________．12.因式分解：______.13.一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是______边形．14.小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是分、分、分．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为______分．15.如图，分别是和的平分线，．若，则的周长为______．16.如图，已知四边形为正方形，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交的延长线于点F，连接，下列结论：①；②；③是等腰三角形；④．其中结论正确的序号有_______．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.解方程：18.已知：如图，菱形中，点，分别在边，上，且，连结，.求证：.19.先化简，再求值：，其中．20.随着AI技术的发展．越来越多的人借助软件协助办公，极大地提高了工作效率，某公司组织全体员工学习和使用AI软件，并抽取部分员工每天学习使用的累计时间t（分钟）（时间t为整数，且）进行统计调查．【数据收集与整理】将调查的数据进行整理，分成A，B，C，D四组：A组“”，B组“”，C组“”，D组“”．【数据描述与分析】根据抽查的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图．根据信息，解答下列问题：（1）这次抽样调查的人数是______人；（2）并补全频数分布直方图；（3）在扇形统计图中，C组所在扇形圆心角是______度；（4）该公司共有600人，估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是多少？21.如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点（1）求直线解析式；（2）若直线上的点C在第一象限，且求点C的坐标．22.如图，线段是矩形的对角线．（1）实践与操作，利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为，交于点，交于点，连接，（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，需标明字母）；（2）猜想与证明试猜想四边形的形状，并加以证明．23.某校积极践行阳光体育特色大课间活动，现需购买一批霸王鞭和小皮鼓．已知购进2套霸王鞭和1套小皮鼓共花费70元，购进3套霸王鞭和5套小皮鼓共花费245元．（1）求购进的霸王鞭和小皮鼓的单价；（2）现需购买这两类运动设备共120套，并且购买霸王鞭的数量要不超过小皮鼓数量的3倍，当购买这两类运动设备各多少套时学校花费最少？最少的费用是多少元？24.如图，在平面直角坐标系中，已知直线是一次函数的图象，直线是一次函数的图象，点是两直线的交点，点、、、分别是两条直线与坐标轴的交点．（1）用、分别表示点、的坐标；（2）若四边形的面积是，且，试求点的坐标；（3）在（2）条件下，是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．25.已知正方形的边长为4，为等边三角形，点E在边上，点F在边的左侧．（1）如图1，若D，E，F在同一直线上，求的长；（2）如图2，连接，并延长交于点H，若，求证：；（3）如图3，将沿翻折得到，点Q为的中点，连接，若点E在射线上运动时，请直接写出线段的最小值．

2025学年第一学期初三年级数学学科开学学情摸查问卷一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.的绝对值是（）A. B.2024 C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了绝对值的意义，熟练掌握一个负数的绝对值是它的相反数是解题的关键．根据绝对值的意义解答即可．【详解】解：的绝对值是．故选：B．2.下列各式是最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．【详解】解：A、是最简二次根式，故选项正确；B、=，不是最简二次根式，故选项错误；C、，不是最简二次根式，故选项错误；D、，不是最简二次根式，故选项错误；故选：A【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．3.某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是108分，方差分别是，，，，则这4名同学3次数学模拟考试成绩最稳定的是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】C【解析】【分析】本题考查了方差的意义，根据方差的意义求解即可．熟练掌握方差越小，表明数据波动越小越稳定是解题关键．【详解】解：∵，，，，∴，这4名同学3次数学模拟考试成绩最稳定的是丙，故选：C．4.已知多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为（）A.4 B.8 C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查因式分解，熟知完全平方公式是解答的关键．【详解】解：∵多项式可以用完全平方公式进行因式分解，∴由得，故选：D5.中，、、的对边分别是、、，下列条件不能判定是直角三角形的（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．【详解】解：A、，，，能判定为直角三角形，不符合题意；B、，，，，，不是直角三角形，符合题意；C、，，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合题意；D、设，则，，，是直角三角形，不符合题意；故选：B．6.下列命题，其中是真命题的是（）A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B.有一个角是直角的四边形是矩形C.对角线互相平分的四边形是菱形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形【答案】D【解析】【分析】分别根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理进行判断即可．【详解】对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误，不符合题意；有三个角是直角的四边形是矩形，故B错误，不符合题意；对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C错误，不符合题意；对角线互相垂直的矩形是正方形，故D正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键．7.若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边为（）A. B. C.或 D.【答案】B【解析】【分析】分4cm是底边和腰长两种情况讨论，再利用三角形的任意两边之和大于第三边判断是否能组成三角形．【详解】解：①4cm是底边时，腰长为×（16-4）=6，能组成三角形，②4cm是腰长时，底边为16-2×4=8，∵4+4=8，∴不能组成三角形，综上所述，该等腰三角形的底边长为6cm．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的任意两边之和大于第三边的性质，难点在于分情况讨论．8.如图，的周长为，的周长为，则对角线的长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】因为平行四边形对边相等，所以平行四边形的周长为相邻两边之和的倍，即，则，而的周长，即可求出的长．【详解】∵的周长是，∴∴，∵的周长是，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质，根据题意列出三角形周长的关系式，结合平行四边形周长的性质求解是本题的关键．9.已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，所走路程y(米)与行驶时间x(分)之间的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（）A.甲每分钟走100米 B.两分钟后乙每分钟走50米C.当或6时，甲乙两人相距100米 D.甲比乙提前1.5分钟到达B地【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合的思想解答．根据函数图象中的数据，可知甲6分钟走了600米，从而可以计算出甲每分钟走的路程，从而可以判断A选项；根据图象中的数据可知，乙2分钟到6分钟走的路程是米，从而可以计算出两分钟后乙每分钟走的路程，从而可以判断B选项；根据图象，可以分别计算出和时，甲乙两人的距离，从而可以判断C选项．根据乙2分钟后的速度，可以计算出乙从A地到B地用的总的时间，然后与6作差，即可判断D选项；【详解】解：由图象可得，甲每分钟走：（米），故A选项正确，不符合题意；两分钟后乙每分钟走：（米），故B选项正确，不符合题意；当时，甲乙相距（米），当时，甲乙相距米，故C选项正确，不符合题意；乙到达B地用的时间为：（分钟），则甲比乙提前分钟达到B地，故D选项错误，符合题意；故选：D．10.如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，，在内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…则第2024个等边三角形的边长等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标，等边三角形的性质，含有30度角的直角三角形的性质，勾股定理，理解一次函数图象上点的坐标的特征，等边三角形的性质，灵活运用含有30度角的直角三角形的性质，勾股定理进行计算是解决问题的关键，根据计算归纳总结出规律，第个等边三角形的边长为是解决问题的难点．先求出，，，则，，根据等边三角形性质得，则，在中，由勾股定理得，则第1个等边三角形的边长为，再分别计算出，，则，在中，得，则第2个等边三角形的边长为，同理第3个等边三角形的边长为，，依次类推，第个等边三角形的边长为，由此可得第2024个等边三角形的边长．【详解】解：对于，当时，，当时，，点，点，，，在中，由勾股定理得：，，则，是等边三角形，，，，，在中，，，，由勾股定理得：，即第1个等边三角形的边长为：，，是等边三角形，，，，在中，，在中，，，，即第2个等边三角形的边长为：，同理：第3个等边三角形的边长为：，，依次类推，第个等边三角形的边长为：，第2024个等边三角形的边长等于．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11.将59800000用科学记数法表示为__________．【答案】【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：．故答案为：．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．关键要确定a的值以及n的值．12.因式分解：______.【答案】【解析】分析】原式提取3a后，再运用平方差公式进行因式分解即可.【详解】.故答案为：.【点睛】本题主要考查了综合运用提公因式法和公式法的综合运用，熟练运用公式是解题的关键.13.一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是______边形．【答案】六【解析】【分析】本题考查多边形的内角和及外角和，结合已知条件列出方程是解题的关键．设这个多边形的边数为n，根据题意列得方程，解得n的值即可．【详解】解：设这个多边形的边数为则解得：，即这个多边形是六边形，故答案为：六．14.小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是分、分、分．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为______分．【答案】【解析】【分析】利用加权平均数的计算方法可求出结果．【详解】解：根据题意得：（分）．故小明的最终比赛成绩为分．故答案为：．【点睛】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式和“权重”的理解是解题的关键．15.如图，分别是和的平分线，．若，则的周长为______．【答案】30【解析】【分析】由分别是和的角平分线推出即和都是等腰三角形，根据三角形中位线定理可得，即可解题．此题考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质，属于基础题．【详解】解：∵是的角平分线，∴，，∵，∴，∴．同理：．又∵，∴E、D分别是和的中点，∴是的中位线，∴，则的周长为：，由，得的周长为30，故答案为：30．16.如图，已知四边形为正方形，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交的延长线于点F，连接，下列结论：①；②；③是等腰三角形；④．其中结论正确的序号有_______．【答案】①③④【解析】【分析】本题主要考查了正方形,全等三角形判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．证明即可证明，故①正确；过点E作于点M，作于点N，证明，推出是等腰三角形，故③正确；过点E作交于点H，由和都是等腰三角形，，利用等腰三角形的性质求解即可推出．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，∵，∴，∴，故①正确；过点E作于点M，作于点N，如图所示，则，∵四边形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴是等腰三角形，故③正确；∵点E为对角线上一动点，∴没办法说明，故②错误；过点E作交于点H，如图，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵和都是等腰三角形，，∴，，∴，∴，故④正确．综上可知①③④正确．故答案为：①③④，三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.解方程：【答案】，【解析】【分析】本题考查了一元二次方程求解的知识点，解题的关键是掌握利用因式分解法将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解的方法．观察方程，通过因式分解将方程左边化为两个一次因式的乘积，得到两个一元一次方程，分别求解这两个方程，即可得到原方程的解．【详解】解：，，或，，．18.已知：如图，在菱形中，点，分别在边，上，且，连结，.求证：.【答案】见解析.【解析】【分析】由菱形性质得，，，，根据全等三角形判定SAS可得，由全等三角形性质即可得证.【详解】∵四边形是菱形，∴，，∵∴．∴【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答．19先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，先化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．【详解】解：．当时，原式．20.随着AI技术的发展．越来越多的人借助软件协助办公，极大地提高了工作效率，某公司组织全体员工学习和使用AI软件，并抽取部分员工每天学习使用的累计时间t（分钟）（时间t为整数，且）进行统计调查．【数据收集与整理】将调查的数据进行整理，分成A，B，C，D四组：A组“”，B组“”，C组“”，D组“”．【数据描述与分析】根据抽查的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图．根据信息，解答下列问题：（1）这次抽样调查的人数是______人；（2）并补全频数分布直方图；（3）在扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角是______度；（4）该公司共有600人，估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是多少？【答案】（1）40（2）补全频数分布直方图见解析（3）108（4）255人【解析】【分析】本题考查了频数（率）分布直方图，用样本估计总体，扇形统计图，读懂统计图获取必要的信息是解题的关键．（1）利用A组人数除以A组人数占比得出抽样调查的人数；（2）用抽样调查的人数减去A，B，D组的人数得出C组人数，即可补全频数分布直方图；（3）用乘C组人数所占比例即可；（4）求出每天学习和使用不少于90分钟的人数占比，再乘以600即可求解．【小问1详解】解：这次抽样调查的人数：（人），故答案为：40；【小问2详解】解：C组的人数：（人），补全频数分布直方图如下：【小问3详解】解：在扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角是，故答案为：108；【小问4详解】解：（人），答：估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是255人．21.如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点（1）求直线的解析式；（2）若直线上的点C在第一象限，且求点C的坐标．【答案】（1）直线的解析式为：（2）【解析】【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像上点的坐标特征，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法求一次函数解析式．（1）设直线的解析式为，把点与点代入直线解析式进行求解即可；（2）设点的坐标，由，可得，再由，列出方程，由此求解即可．【小问1详解】解：设直线的解析式为：，因点A、B在直线上，依题意得：，解得：，所以直线解析式为：．【小问2详解】解：因点C在直线上，设，由题意得：，解得：，所以．22.如图，线段是矩形的对角线．（1）实践与操作，利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为，交于点，交于点，连接，（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，需标明字母）；（2）猜想与证明试猜想四边形的形状，并加以证明．【答案】（1）见解析（2）四边形是菱形，见解析【解析】【分析】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图的画法、矩形的性质、全等三角形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．（1）利用尺规作垂直平分线的方法求解即可；（2）首先证明出，得到，然后结合证明出四边形是平行四边形，然后利用即可证明出四边形是菱形．【小问1详解】解：根据垂直平分线的尺规作图的画法，分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，交于两点，过两点作直线即可得到线段的垂直平分线．然后连接和；如图：；【小问2详解】解：四边形是菱形．证明：∵四边形是矩形，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵线段的垂直平分线，∴，∴四边形是菱形．23.某校积极践行阳光体育特色大课间活动，现需购买一批霸王鞭和小皮鼓．已知购进2套霸王鞭和1套小皮鼓共花费70元，购进3套霸王鞭和5套小皮鼓共花费245元．（1）求购进的霸王鞭和小皮鼓的单价；（2）现需购买这两类运动设备共120套，并且购买霸王鞭的数量要不超过小皮鼓数量的3倍，当购买这两类运动设备各多少套时学校花费最少？最少的费用是多少元？【答案】（1）购进的霸王鞭单价是15元，小皮鼓单价是40元；（2）当购买霸王鞭90套，小皮鼓30套时，学校花费最少，最少的费用是2550元．【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组，一次函数，不等式的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键．（1）设购进的霸王鞭单价是x元，小皮鼓单价是y元，由此列二元一次方程组求解即可；（2）设购买霸王鞭a套，则购买小皮鼓套，购买两类运动设备的总费用为w元，可得，结合一次函数的增减性，不等式的取值方法求解即可．【小问1详解】解：设购进的霸王鞭单价是x元，小皮鼓单价是y元，根据题意，得，解得，答：购进的霸王鞭单价是15元，小皮鼓单价是40元；【小问2详解】解：设购买霸王鞭a套，则购买小皮鼓套，购买两类运动设备的总费用为w元，，∵，∴w随a的增大而减小，∵，解得，∴当时，w有最小值，，，答：当购买霸王鞭90套，小皮鼓30套时，学校花费最少，最少的费用是2550元．24.如图，在平面直角坐标系中，已知直线是一次函数的图象，直线是一次函数的图象，点是两直线的交点，点、、、分别是两条直线与坐标轴的交点．（1）用、分别表示点、的坐标；（2）若四边形的面积是，且，试求点的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1），（2）（3）或或【解析】【分析】（）把代入函数解析式求出的值可得点的坐标．（）联立函数解析式，求出方程组的解可求出点的坐标，再求出点坐标，进而由可得，再根据列出方程求出的值即可求解．（）过点作直线平行于轴，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，过点分别作的平行线交于点，分三种情况，利用平行四边形的性质解答即可求解．小问1详解】解：把代入，得，∴，∴，把代入，得，∴，∴．【小问2详解】解：把代入，得，∴，∵把代入，∴，∴，∵，∴，∵，∴，解得，∵，解得，∴，∴，，∵，∴，解得（舍去），∴，∴．【小问3详解】解：存在．理由如