北师大版初中数学八年级下册：图形两次平移的坐标变化教案

北师大版初中数学八年级下册：图形两次平移的坐标变化教案

一、教材与学情分析

（一）教材分析

本节课隶属于北师大版数学八年级下册第三章《图形的平移与旋转》中的核心内容。在此之前，学生已经系统学习了在平面直角坐标系中，图形沿单一方向（沿x轴或沿y轴）进行一次平移时，其对应点坐标的变化规律。本节课“图形两次平移的坐标变化”是在此基础上的深化与整合，旨在引导学生探究图形连续进行两次方向确定的平移（先沿x轴方向，再沿y轴方向，或反之）后，其整体位置变化与对应点坐标变化之间的内在统一规律。

从知识体系看，本节课起着承上启下的关键作用。“承上”在于它是一次数平移坐标规律的复合应用与自然推广；“启下”在于它为后续学习图形的旋转、中心对称乃至函数图象的平移变换奠定了坚实的认知基础。其核心价值在于引导学生从“离散”的单一平移认知，迈向“连续”的复合运动认知，体会图形整体运动与坐标点代数刻画之间的完美对应，是发展学生数形结合思想、几何直观和符号意识的重要载体。

（二）学情分析

八年级下学期的学生已具备以下认知基础：

1.知识基础：熟练掌握平面直角坐标系的相关概念；深刻理解图形沿x轴或y轴单一方向平移时，对应点坐标“上加下减、右加左减”的变化规律；具备基本的作图与识图能力。

2.能力基础：初步掌握了通过具体实例观察、归纳一般规律的数学方法；具备一定的小组合作探究与交流表达能力；对运用坐标描述图形位置变化有较强的兴趣。

3.思维特点：该年龄段学生的逻辑思维能力正在从经验型向理论型过渡，能够进行一定的抽象概括，但对于复杂的连续变换过程，其空间想象能力和从整体上把握变换本质的能力仍需借助具体操作和直观演示来强化。

4.潜在难点：学生可能存在的认知障碍包括：①对两次平移的“顺序性”及其对最终结果影响的忽略；②倾向于分别记忆两次平移的坐标变化，而未能整合为一次整体的坐标变化公式；③在逆向思维（已知平移后坐标求平移参数）和综合应用中可能出现混淆。

基于以上分析，本节课的教学设计将着力于通过层次分明的探究活动，搭建从具体到抽象、从操作到归纳的认知阶梯，引导学生自主构建两次平移的坐标变化模型。

二、教学目标

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》对“图形的变化”领域的要求，结合教材与学情，设定如下三维目标：

（一）知识与技能

1.理解图形依次沿x轴方向、y轴方向进行两次平移的过程与实质。

2.掌握图形经过两次平移后，其对应点的坐标变化规律，并能用简洁的符号语言（如(x，y)→(x+a，y+b)

）进行概括。

3.能够根据图形的两次平移规律，在坐标系中作出平移后的图形，或由平移前后的图形确定平移过程。

4.能运用两次平移的坐标变化规律解决简单的综合问题。

（二）过程与方法

1.经历“动手操作—观察猜想—验证归纳—抽象建模”的完整探究过程，积累数学活动经验。

2.在探究过程中，进一步发展数形结合思想，提升几何直观和空间观念。

3.通过对比单一平移与两次平移的联系与区别，学会用联系与发展的观点看待数学知识，提高分析归纳与概括能力。

（三）情感态度与价值观

1.在自主探究与合作交流中，体验数学发现的乐趣，增强学习数学的自信心。

2.感受图形运动与坐标变化之间的和谐统一之美，体会数学的简洁性与普适性。

3.通过将平移知识应用于实际情境（如动画制作、工程设计等），认识数学的实用价值，激发学习内驱力。

三、教学重点与难点

（一）教学重点

图形依次沿x轴、y轴方向平移两次后，对应点坐标变化规律的探究、归纳与应用。

（二）教学难点

1.对两次平移过程作为一个整体运动的理解与把握。

2.坐标变化规律的抽象概括与符号化表达。

3.逆向思维（由坐标变化反推平移过程）及在复杂图形中的应用。

四、教学准备

（一）教师准备

1.多媒体课件（内含动态演示两次平移过程的几何画板或类似软件制作的动画）。

2.预设的探究学习任务单。

3.课堂练习题与拓展应用素材（可链接生活、物理、信息技术等跨学科情境）。

（二）学生准备

1.复习图形沿单一方向平移的坐标变化规律。

2.坐标纸、直尺、铅笔。

3.预习教材相关内容，对“两次平移”形成初步感性认识。

五、教学过程

（一）创设情境，问题导学（预计用时：8分钟）

1.情境引入：

师：（播放一段简短的动画，展示一个卡通角色从屏幕左下角先向右移动一段距离，再向上移动一段距离到达指定位置）同学们，在刚才的动画中，卡通头像经历了怎样的位置变化？

生：先向右移动，再向上移动。

师：是的，这是一种常见的运动方式。如果我们把屏幕看作一个平面直角坐标系，这个头像的运动就可以看作图形在坐标系中先沿x轴方向平移，再沿y轴方向平移。今天，我们就来深入探究这种“两次平移”背后，点的坐标究竟发生了怎样系统性的变化。（板书核心课题关键词）

2.提出核心问题：

师：我们已经知道，一个点P(x,y)

，向右平移a

（a>0）个单位，坐标变为P'(x+a,y)

；向上平移b

（b>0）个单位，坐标变为P''(x,y+b)

。那么，如果点P先向右平移a

个单位得到P'

，再将P'

向上平移b

个单位得到P''

，点P''

的坐标与最初的P

点坐标有什么关系？如果改变平移的顺序，先向上再向右，结果又会如何？这两次平移的整体效果，能否用一次坐标变换来简洁地描述？

通过创设贴近学生兴趣的动画情境，快速聚焦“两次平移”这一主题，并用清晰的数学语言提出核心问题，激发学生的探究欲望。

（二）温故知新，奠定基础（预计用时：5分钟）

师：在探究新问题之前，我们先通过一个简单的活动回顾一下旧知。请同学们在任务单的坐标系中，描出点A(2，1)。

活动1：

1.将点A向右平移4个单位，得到点A1，写出A1的坐标：（，）。

2.将点A向上平移3个单位，得到点A2，写出A2的坐标：（，）。

3.思考：平移前后，点的横、纵坐标分别如何变化？

学生快速完成并口答。教师引导学生复述规律：“沿x轴平移，横坐标加减；沿y轴平移，纵坐标加减”，并强调平移距离的正负代表方向。

此环节旨在激活学生的已有认知，为复合平移的探究搭建稳固的起点。

（三）合作探究，构建新知（预计用时：20分钟）

这是本节课的核心环节，将分为两个层次展开。

第一层次：特殊到一般，探究“先左右后上下”的平移规律。

活动2：动手操作，初步感知

师：现在回到我们的核心问题。请同学们在坐标纸上完成以下操作：

1.在坐标系中描出三角形ABC，其中A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)。

2.将三角形ABC先向右平移4个单位，画出平移后的图形，记为三角形A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标。

3.再将三角形A1B1C1向上平移3个单位，画出最终图形，记为三角形A2B2C2，并写出A2，B2，C2的坐标。

学生动手操作，教师巡视指导。完成后，请一个小组代表上台展示作图结果并汇报坐标数据。

预设结果：

A(1，2)→A1(5，2)→A2(5，5)

B(3，1)→B1(7，1)→B2(7，4)

C(2，3)→C1(6，3)→C2(6，6)

活动3：观察对比，提出猜想

师：（将学生汇报的数据整理在表格或课件中）请同学们仔细观察最初的点A，B，C与最终的点A2，B2，C2的坐标。你能发现每一对对应点（如A与A2）的横坐标、纵坐标之间存在什么数量关系吗？与两次平移的距离（向右4，向上3）又有什么关系？

引导学生观察：横坐标：1+4=5，3+4=7，2+4=6；纵坐标：2+3=5，1+3=4，3+3=6。

生：最终的横坐标等于原来的横坐标加4，最终的纵坐标等于原来的纵坐标加3。

师：4和3分别是什么？

生：分别是向右平移和向上平移的距离。

师：那么，如果我们把向右平移的距离记为a

（a=4），向上平移的距离记为b

（b=3），这个关系可以怎样描述？

生猜想：一个点(x，y)

，先向右平移a

个单位，再向上平移b

个单位，得到的点的坐标是(x+a，y+b)

。

活动4：验证猜想，推广一般

师：这个猜想是否总是成立呢？我们来改变平移的距离和方向，甚至改变图形的形状，进行验证。

任务：请各小组任选一个四边形或自己设计一组点，进行“先向左平移2个单位，再向下平移5个单位”的操作。记录原始坐标和最终坐标，检验猜想(x，y)→(x-2，y-5)

是否成立。

学生小组活动。教师用几何画板动态演示一个任意图形进行“先左移2，再下移5”的过程，并在屏幕上实时显示一组对应点的坐标变化，提供更一般化的验证。

师：通过特殊实例和动态验证，我们可以确认猜想是正确的。谁能用更一般的语言总结这个规律？

生归纳：一个图形先沿x轴方向平移a

个单位（a>0向右，a<0向左），再沿y轴方向平移b

个单位（b>0向上，b<0向下），则图形上任意一点(x，y)

的对应点坐标为(x+a，y+b)

。

第二层次：变换顺序，探究“先上下后左右”的平移规律及本质。

活动5：变序探究，对比发现

师：如果我们改变平移的顺序，先将三角形ABC向上平移3个单位，再向右平移4个单位，最终的点坐标是多少？请同学们心算或快速作图验证。

学生计算后得出：A(1，2)→先向上3得(1，5)→再向右4得(5，5)，结果与之前相同。

师：其他点呢？结果是否一致？这说明了什么？

生：结果一样。说明对于这种沿坐标轴方向的两次平移，无论先进行x轴方向的平移还是先进行y轴方向的平移，最终效果是一样的，坐标都是(x+4，y+3)

。

师：（用几何画板动态演示两种顺序的平移过程，最终图形完全重合）非常棒的发现！这意味着，沿坐标轴方向的两次平移，其最终结果与顺序无关。其整体效果可以看作一次“斜向”的平移，这个“斜向”平移的水平和竖直分量就是我们两次平移的距离a

和b

。因此，我们得到了一条普适的规律：

新知建模：

在平面直角坐标系中，将一个图形依次沿x轴方向平移a

个单位、沿y轴方向平移b

个单位（或次序相反），则原图形上任意一点P(x，y)

的对应点P'

的坐标可统一表示为：

P'(x+a，y+b)

其中，a

，b

为实数。a

的符号控制左右平移（a>0右，a<0左），b

的符号控制上下平移（b>0上，b<0下）。

教师引导学生齐读此规律，并强调`(a，b)`可以看作是决定这次“复合平移”的“平移向量”，它完全确定了图形位置的整体改变。

（四）深化理解，突破难点（预计用时：12分钟）

本环节通过形式多样的练习，促进学生对规律的内化，并初步培养逆向思维和综合应用能力。

练习1：正向应用，巩固基础

1.点M(-2，5)先向左平移3个单位，再向下平移7个单位，得到点N，则点N的坐标为_______。

2.线段CD由线段AB经过平移得到。其中点A(-1，4)的对应点为C(4，7)。若已知平移过程是先沿x轴方向平移，再沿y轴方向平移，则具体的平移过程是：先向___平移___个单位，再向___平移___个单位。

（第2题旨在引导学生通过坐标差(4-(-1)=5，7-4=3)

直接得出平移向量(5，3)

，进而描述过程。）

练习2：逆向思维，灵活运用

3.已知点P(3，-1)经过两次平移后到达点Q(-2，4)。若规定平移顺序为先左右后上下，请写出一种可能的平移方式。

（此题为开放题，学生需解方程：3+a=-2，-1+b=4，得a=-5，b=5。故为先向左5个单位，再向上5个单位。教师可追问：“先上下后左右”的结果是否相同？加深对顺序无关的理解。）

练习3：图形操作，数形结合

4.在坐标系中，三角形DEF的顶点坐标为D(1，-2)，E(3，0)，F(2，-4)。将其进行平移，平移后顶点D的对应点D'的坐标为(-2，3)。请画出平移后的三角形。

（学生需先由D到D’的坐标变化(-2-1=-3，3-(-2)=5)

得出平移向量(-3，5)

，即整体向左3向上5，再应用于E、F点得到E'(0，5)，F'(-1，1)，最后连线作图。此练习综合考查了规律应用和作图技能。）

教师逐题讲解，重点关注学生的思维过程，尤其是如何从练习2中抽象出方程思想，以及练习3中从点的对应关系到图形整体平移的转换。

（五）应用拓展，联结跨域（预计用时：10分钟）

为体现跨学科视野和数学应用价值，设计以下拓展环节。

应用1：物理中的合运动

师：在物理中，如果一个物体同时参与水平方向和竖直方向的两个独立的匀速直线运动，它的合运动轨迹就是一条直线。这与我们今天学的两次平移有何关联？物体在t

时刻的位移坐标(sx，sy)

，若水平初位移x0

、速度vx

，竖直初位移y0

、速度vy

，则sx=x0+vx*t

，sy=y0+vy*t

。形式上，这与我们的坐标变化公式何其相似！(vx*t，vy*t)

就好比我们的平移向量(a，b)

。数学为物理运动提供了精确的描述工具。

应用2：信息技术中的图形变换

师：在计算机图形学、网页设计或游戏开发中，经常需要移动一个图标或角色。程序员只需要指定一个平移向量(dx，dy)

，图形引擎就会自动将图形上每一个像素点的坐标进行(x+dx，y+dy)

的计算，从而实现图形的整体移动。我们今天的知识，正是这些炫酷视觉效果的数学基础。

应用3：艺术与设计中的图案生成

师：（展示一幅由基本图案通过两次平移重复排列构成的装饰画或地板砖图案）许多复杂的艺术图案，其本质是基本单元在水平和垂直方向上的多次重复平移。掌握平移的坐标规律，我们甚至可以自己设计这样的图案。课后兴趣任务：设计一个简单的基本图形，编写其顶点坐标，然后给定一个平移向量(a，b)

，计算它平移若干次后所有顶点的坐标，看看能形成怎样规律的阵列。

通过跨学科联系，让学生体会到数学不是孤立的学科，而是理解世界、创造技术、表达艺术的基础语言，极大提升学习的高度与视野。

（六）总结升华，凝练思想（预计用时：4分钟）

师：同学们，今天我们这节课经历了完整的数学探究之旅。现在，请大家闭上眼睛，回顾一下，我们是如何一步步获得“两次平移坐标变化规律”这个知识的？其中蕴含了哪些重要的数学思想和方法？

引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结：

1.知识层面：掌握了图形依次沿x轴、y轴平移两次，对应点坐标变化规律为(x，y)→(x+a，y+b)

，其中(a，b)

为平移向量，决定平移的整体效果，且与平移顺序无关。

2.方法层面：我们运用了“从特殊到一般”、“观察-猜想-验证-归纳”的科学研究方法，以及数形结合、化归（将两次平移归为一次整体变换）的思想。

3.思想层面：深刻体会到代数（坐标）与几何（图形位置）之间的紧密联系与相互转化，感受了数学模型的简洁与力量。

教师以结构图（思维导图）形式在黑板上进行最终梳理，形成清晰的知识网络。

（七）分层作业，巩固延伸（预计用时：1分钟布置）

为满足不同层次学生的发展需求，布置分层作业：

A组（基础巩固，全体完成）：

1.教材对应章节的练习题。

2.在坐标纸上，完成至少两组不同平移向量的图形两次平移操作，并记录坐标变化。

B组（能力提升，学有余力者完成）：

1.思考：若一个图形先沿x轴平移a1

，再沿y轴平移b1

，然后又沿x轴平移a2

，沿y轴平移b2

，其最终效果相当于一次怎样的平移？坐标变化公式是什么？（引导得出(x，y)→(x+(a1+a2)，y+(b1+b2))

，体会平移向量的可加性）

2.尝试解决一个简单情境应用题：如描述棋盘上棋子从一点移动到另一点的平移过程，并用坐标变化表示。

C组（拓展探究，兴趣小组可选）：

结合“应用拓展”中的图案设计，使用几何画板或编程软件（如Python的turtle库、Scratch等），实现通过输入平移向量(a，b)

来生成平移图案阵列的效果。

六、板书设计

（左侧主板）（右侧副板）

课题：图形两次平移的坐标变化学生探究区：

核心规律：（用于贴示学生小组探究成果或

P(x,y)—平移向量(a,b)—→P'(x+a,y+b)

关键步骤的演算）

要点阐释：

1.a

：x轴方向平移量（右+，左-）例题精讲区：

2.b

：y轴方向平移量（上+，下-）（书写典型例题的解答过程，如

3.