沪教版七年级数学下册《三角形》全章复习教案

沪教版七年级数学下册《三角形》全章复习教案

一、教学设计总览：理念、目标与整体构想

（一）设计理念与指导思想

本复习教案的构建，立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心精神，超越传统的、碎片化的知识点罗列，致力于实现从“知识本位”到“素养本位”的深层转型。我们秉持以下核心理念：

1.系统建构，整体关联：将“三角形”全章知识视为一个有机的整体，而非孤立定理的集合。复习的核心任务是引导学生自主构建知识网络，理解概念之间的逻辑脉络（如从三角形的边到角，从一般三角形到特殊三角形，从性质到判定），形成结构化的认知体系。

2.思想渗透，能力进阶：数学复习的本质是数学思想的再领悟与再深化。本设计将系统渗透分类讨论思想（如等腰三角形腰与底的不确定性）、转化与化归思想（将复杂图形分解为基本三角形）、数形结合思想（用代数方法研究几何问题，如三边关系、角度计算）以及几何建模思想。着重发展学生的逻辑推理能力、直观想象能力、数学运算能力和数学语言表达能力。

3.问题导向，深度思维：通过精心设计的、具有层次性和挑战性的问题链、经典题组和真实情境（或拟真实情境），驱动学生进行高阶思维活动。鼓励质疑、探究、说理、证明，在解决问题的过程中实现知识的整合、迁移与创新应用。

4.评价嵌入，以评促学：将形成性评价贯穿复习全过程。通过课堂观察、思维导图展示、板演说理、合作讨论等多种方式，即时诊断学情，动态调整教学节奏与深度。评估不仅关注结论的正确性，更关注思维过程的严谨性、方法的优化性和表达的规范性。

（二）学情分析与教学起点

学习对象：初中七年级下学期学生。

已有基础：学生已经完成了“三角形”章节的新课学习，掌握了三角形的基本概念（边、角、顶点）、三角形的分类（按边、按角）、三角形的基本性质（内角和定理、外角性质、三边关系）以及全等三角形的判定与性质。具备初步的几何直观和简单的逻辑推理能力。

潜在困难：

1.知识碎片化：学生对单个定理、公式可能熟悉，但缺乏对知识内在逻辑联系的整体把握，难以在复杂图形中快速识别和调用相关知识模块。

2.思想方法模糊：对隐藏在知识背后的数学思想方法感悟不深，特别是分类讨论的完备性、辅助线添加的合理性与目的性存在较大障碍。

3.语言表述欠规范：几何证明题的书写逻辑链条不完整，因果关联表述不清，符号语言、图形语言、文字语言三者转换不熟练。

4.综合应用乏力：面对稍复杂的综合题（如与等腰三角形性质、全等三角形、角平分线、中线等结合的题目），常常无从下手，缺乏有效的解题策略。

因此，本次复习的起点在于整合与关联，关键在深化与贯通，目标是迁移与创造。

（三）教学目标

基于以上分析，确立如下三维教学目标：

1.知识与技能

1.系统梳理：能自主绘制或完善“三角形”全章的知识结构图（思维导图），清晰阐述各核心概念（如高、中线、角平分线、全等三角形等）的定义、性质及相互关系。

2.准确再现：熟练记忆并准确应用三角形内角和定理、外角性质、三边关系定理；熟练掌握全等三角形的四种基本判定方法（SSS,SAS,ASA,AAS），并能区分HL定理的适用情境；掌握等腰三角形、等边三角形的性质与判定定理。

3.熟练操作：能规范地进行三角形中角度、边长的计算；能依据已知条件，选择恰当的判定方法完成三角形全等的证明；能利用全等三角形的性质证明线段相等、角相等或其它几何关系。

2.过程与方法

1.经历知识结构化过程：通过个人思考、小组交流、全班共建，体验从零散到系统、从浅表到深度的知识建构过程，掌握构建章节知识网络的方法。

2.发展问题解决策略：通过典型例题的剖析和变式训练，学习并掌握几何证明的常用分析法和综合法，体会辅助线添加的常见思路（如截长补短、倍长中线、构造平行线或全等三角形等）。

3.强化数学思想运用：在具体问题的解决中，有意识地运用分类讨论、转化化归、数形结合等数学思想，并能清晰表述思想方法的应用点。

3.情感、态度与价值观

1.感受逻辑之美：在严谨的几何推理中，体会数学的确定性、逻辑性和严谨性，获得逻辑思维发展的成就感。

2.养成反思习惯：在解题后养成回顾反思的习惯，思考“我是怎么想的？”、“有没有其他方法？”、“这类问题的通法是什么？”，提升元认知能力。

3.增强合作意识：在小组讨论与交流中，学会倾听、表达、质疑与补充，体验集体智慧的力量，培养团队协作精神。

（四）教学重难点

1.教学重点：

1.2.三角形全等判定方法的灵活选择与综合应用。

2.3.等腰三角形性质与判定的综合运用。

3.4.本章知识网络的构建与内在逻辑的理解。

5.教学难点：

1.6.在复杂图形中识别或构造全等三角形，特别是需要添加辅助线的情形。

2.7.涉及等腰三角形的多解问题（分类讨论）的周全考虑。

3.8.几何证明思路的分析与形成，规范严谨的演绎推理表述。

（五）教学准备

1.教师准备：多媒体课件（包含知识结构框架图、动态几何演示、经典例题与变式）、实物投影仪、三角板、学案（预复习提纲、课堂探究单、分层练习题）。

2.学生准备：课本、笔记本、作图工具（直尺、圆规、量角器）、已完成的知识点预复习。

（六）课时安排

本全章复习建议安排3课时。

1.第1课时：知识体系建构与基础定理深度辨析。

2.第2课时：核心专题突破（一）——全等三角形的判定与性质综合应用。

3.第3课时：核心专题突破（二）——特殊三角形（等腰、等边）及几何综合问题，并进行总结性评估与反思。

二、教学实施过程详案

第1课时：体系重构·追本溯源——三角形的概念、性质与关系网络

（一）情境启思，导入课题（预计时间：8分钟）

【教师活动】

1.问题情境：展示一组图片：埃及金字塔侧面、自行车三角支架、桥梁的三角形结构。提问：“这些现实物体中蕴含了怎样的共同几何图形？为什么这些结构广泛采用三角形？”

2.引导聚焦：在学生回答“三角形”和“稳定性”后，追问：“数学上是如何定义‘三角形’的？三角形的‘稳定性’在数学中对应的核心定理是什么？（三边关系定理）从这些最基本的元素出发，我们围绕‘三角形’研究了哪些丰富的内容？”

3.揭示目标：“今天，我们将像一位建筑师回顾蓝图一样，系统地梳理《三角形》这一章的完整知识体系，不仅要回顾每一个‘零件’，更要理解它们是如何精密连接，构成一个强大而美妙的几何系统的。”

【学生活动】

观察图片，联系生活实际，回忆三角形的“稳定性”。思考教师提出的问题，明确本节课的复习任务是从整体上把握章节知识。

【设计意图】

从现实世界中的三角形应用切入，快速激发学生兴趣，建立数学与生活的联系。通过追问，将生活概念“稳定性”引向数学核心定理“三边关系”，并自然过渡到对整个章节知识体系的回顾，明确复习的系统性目标。

（二）自主构建，网络初现（预计时间：15分钟）

【教师活动】

1.布置核心任务：请学生独立默想5分钟，尝试以“三角形”为中心词，绘制本章的知识思维导图或结构图。可以提示主干分支：三角形的定义与要素、三角形的分类、三角形的性质（边、角、线）、三角形全等、特殊三角形。

2.巡视与个别指导：巡视课堂，观察学生的绘制情况。对思路受阻的学生进行点拨，如“想一想，我们研究任何图形，是不是都从定义、组成要素开始？然后研究它的类别？再深入研究它的各种性质？三角形之间有哪些特殊关系？”鼓励用关键词和连线表示关系。

【学生活动】

独立进行头脑风暴，回顾本章所有知识点，并尝试用图形化的方式建立它们之间的联系，绘制在笔记本上。

【设计意图】

强制学生脱离课本，依靠自己的记忆和理解进行知识提取与重组。这是一个内化的过程，能有效暴露学生认知结构的薄弱点和模糊点，为后续的精准复习提供依据。图形化的方式有助于发展学生的结构化思维。

（三）合作交流，完善体系（预计时间：20分钟）

【教师活动】

1.小组讨论：将学生分成4人小组，交换观看彼此绘制的知识图。要求：①互相补充遗漏的关键知识点；②讨论知识之间的连接是否合理，有无新的联系；③准备小组代表向全班展示最优或最具特色的知识网络。

2.组织全班共建：邀请2-3个小组代表上台，利用实物投影展示并讲解本组的知识结构图。其他小组进行补充、质疑或提出不同构图方式。

3.提炼与精讲：结合学生的展示，教师利用多媒体课件，动态呈现一个更为精炼、逻辑性更强的标准知识结构图（如下述示例），并进行讲解，强调知识发展的逻辑主线。

【示例知识结构图讲解要点】：

三角形

|

|-----------------------|-----------------------|

定义与要素分类关系

(边、角、顶点、表示法)(按边：不等边、等腰、等边)(全等、相似*)

||（本章重点：全等）

|(按角：锐角、直角、钝角)|

|||

|----------------------|--------------------------|

|

三角形的性质

|

|--------------|-------------|-------------|--------------|

边的性质角的性质重要线段特殊三角形的性质

(三边关系)(内角和定理、(高、中线、(等腰三角形：等边对等角、

外角性质)角平分线)三线合一；等边三角形)

|

|（应用）

|

全等三角形

|

|----------------------------|----------------------------|

定义与性质判定方法应用

(对应边、角相等，周长、面积相等)(SSS,SAS,ASA,AAS,HL)(证明线段/角相等，计算，测量等)

讲解重点：

1.逻辑起点：一切始于三角形的定义与基本要素。

2.研究路径：定义→分类（从不同角度认识对象）→性质（深入研究对象的特征）。

3.关系深化：“全等”是三角形之间一种特殊而重要的关系，是证明几何命题的强有力工具。

4.特殊与一般：等腰、等边三角形作为特殊的三角形，其性质是一般三角形性质的特例和深化（如“三线合一”）。

5.“线”的地位：高、中线、角平分线是三角形内部的特殊线段，它们本身的性质以及与三角形其他性质的结合（如等腰三角形三线合一）是重要考点。

【学生活动】

在小组内积极交流，对照他人作品查漏补缺，争论知识间的联系。聆听全班展示和教师精讲，对比自己的构图，修正和完善个人知识体系图，理解章节知识的内在逻辑。

【设计意图】

通过“独立思考—小组协作—全班共享—教师升华”的流程，使知识网络的构建成为一个社会化的、深加工的过程。学生不仅记住了点，更理解了线和面。教师的精讲图起到“定锚”和“标准化”的作用，确保核心逻辑的清晰。

（四）辨析深化，巩固基础（预计时间：35分钟）

本环节针对知识网络中的关键节点和易混淆点，设计辨析性问题组，进行深度追问和巩固。

【专题辨析一：三角形的“三线”与稳定性】

1.问题：画出△ABC中BC边上的高AD、中线AE、角平分线AF。

1.追问1：这三条线都一定会落在三角形内部吗？什么情况下会落在外部或边上？（高在钝角三角形中的情况，强调高的本质是垂线段。）

2.追问2：三角形的“稳定性”是指什么意思？与这三条线有关吗？“稳定性”对应的是三边长度确定后，三角形的形状和大小唯一确定，这与全等判定SSS有内在联系。

3.追问3：为什么说“三角形的三条高（中线、角平分线）交于一点”体现了三角形的和谐与美？这是一种确定性规律的体现。

【专题辨析二：角的关系定理的灵活应用】

2.问题：如图，∠ACD是△ABC的外角。请写出你能得到的所有角的关系式。

1.引导：①∠ACD=∠A+∠B（外角性质）。②∠ACD+∠ACB=180°（邻补角）。③∠A+∠B+∠ACB=180°（内角和）。引导学生发现这三个等式可以相互推导，本质相同。

2.变式：在一个三角形中，已知两个角的度数比为2:3，第三个角比最小的角大20°，求各角度数。（强调方程思想在几何计算中的应用）

【专题辨析三：全等判定方法的准确选择】

3.“SSA”能否判定全等？通过几何画板动态演示，固定两边及其中一边的对角，可以画出两个不全等的三角形（锐角三角形情况），直观否定SSA。引出HL定理是SSA在直角三角形中的特例，且角为直角，具有唯一性。

4.判定方法选择策略：呈现多个条件组合（如：已知两角及一边；已知两边及一角），让学生快速判断应选用哪种判定方法，并说明理由。强调“找夹角”对SAS，“找夹边”对ASA的重要性。

【专题辨析四：等腰三角形中的分类讨论】

5.经典问题：已知等腰三角形一边长为5，另一边长为10，求其周长。

1.引导：第一步做什么？（判断谁是腰，谁是底）为什么需要判断？（三角形三边关系定理约束）最终答案是什么？（10+10+5=25，5+5+10不满足三边关系）。

2.升华：遇到等腰三角形边、角、高相关的问题，若条件未明确指向，首先要建立“分类讨论”的警觉性。讨论的标准是什么？（边：哪条是腰；角：哪个是顶角；高：在内部还是外部）。

【学生活动】

跟随教师的辨析问题积极思考、回答。动手作图，参与动态演示的观察。对易错点进行重点笔记。通过例题变式，体会思想方法的应用。

【设计意图】

将复习从“是什么”推进到“为什么”和“怎么用”。通过深度追问，揭示知识的本质和易错点。动态演示破解认知难点（如SSA）。通过策略总结（如全等判定选择、分类讨论标准），提升学生的元认知策略，使复习更具思维深度。

（五）课时小结与作业布置（预计时间：2分钟）

【小结】：引导学生回顾本课时过程：我们从生活实例出发，自主构建并共同完善了三角形的全景知识网络，并对几个核心、易混淆的知识点进行了深度辨析。关键在于理解知识间的逻辑，而不仅仅是记忆。

【作业布置】：

1.基础巩固：整理并最终完成个人版的《三角形》全章知识结构图（可作为笔记本常备资料）。

2.概念辨析：完成学案上的“概念辨析判断题”，例如：“所有的等边三角形都是等腰三角形。”“有两条边相等的三角形是等腰三角形。”“SSA可以判定两个直角三角形全等。”

3.预习思考：结合知识图，思考“全等三角形”在整个体系中扮演什么角色？它在解决哪些类型的问题中最常用？为下节课的专题突破做准备。

第2课时：枢纽突破·思维锤炼——全等三角形的判定、构造与应用

（一）承上启下，聚焦枢纽（预计时间：5分钟）

【教师活动】

1.快速回顾：通过提问，回顾上节课构建的知识网络，并特别点出“全等三角形”是连接已知与未知、证明线段角相等的核心枢纽和关键工具。

2.提出本课核心问题：“工欲善其事，必先利其器。我们已经掌握了全等三角形的五种判定‘工具’（SSS,SAS,ASA,AAS,HL）。本节课，我们将重点演练：第一，如何在复杂‘战场’（图形）中快速识别并使用合适的‘工具’；第二，当‘工具’不在手边时，如何通过‘建造’（添加辅助线）来创造使用‘工具’的条件。”

3.揭示课题：板书课题“全等三角形的判定、构造与应用——从识别到创造”。

【学生活动】

回忆知识网络，明确全等三角形在几何证明中的核心地位。理解本课的学习重点在于灵活应用和主动构造。

【设计意图】

开门见山，直击本章的难点和中考热点——全等三角形。将全等三角形比作“工具”和“枢纽”，形象地说明其作用，并预告本课的两个能力层级（识别与创造），使学生目标明确。

（二）基础回顾，判定再认（预计时间：10分钟）

【教师活动】

开展“快速匹配”活动。用PPT连续展示5-8组图形条件（仅文字描述或极简图），要求学生抢答或集体回答判定方法。

示例：

1.两三角形，已知AB=DE,∠A=∠D,AC=DF。(SAS)

2.两直角三角形，已知斜边相等，一对锐角相等。(AAS或ASA，强调HL不适用)

3.两三角形，已知∠B=∠E,∠C=∠F,BC=EF。(ASA)

4.两三角形，已知∠A=∠D,∠B=∠E,AC=DF。(AAS，注意对应边)

...

【学生活动】

快速反应，说出判定方法，并简要说明对应元素如何排列。对易错题（如条件与判定方法不匹配）进行讨论。

【设计意图】

进行高强度、快节奏的判定方法识别训练，达到“条件反射”般的熟练度，为后续复杂问题解决打下坚实的自动化基础。澄清易混淆点（如AAS和ASA的区别，HL的适用条件）。

（三）典例精析，领悟策略（预计时间：25分钟）

选取经典母题，通过层层剖析，揭示证明全等三角形的一般思维路径和策略。

【例题1】（直接应用型）

已知：如图，点B、F、C、E在同一直线上，AB=DE，AB∥DE，AC∥DF。

求证：△ABC≌△DEF。

1.学生尝试：先独立分析，寻找已知条件。

2.师生共析：

1.3.分析法（执果索因）：要证△ABC≌△DEF，需要三组条件。现有AB=DE（边），由AB∥DE可得∠B=∠E（角），由AC∥DF可得∠ACB=∠DFE（角）。故可用ASA或AAS。

2.4.综合法（由因导果）：从平行条件推出角等，结合已知边等，自然得到全等。

5.教师点拨：本题是“双平行线”出等角的典型模型。图形简洁，关键在于将已知的“平行”条件有效转化为全等所需的“角相等”条件。这是最基本的“识别”能力。

【例题2】（间接条件型）

已知：如图，AB=AC，AD=AE。求证：∠B=∠C。

1.学生尝试：可能会直接看△ABD和△ACE，发现条件不够（只有AB=AC，AD=AE，∠A公共角，但SSA不能判定）。

2.思维障碍：目标角∠B和∠C所在的△ABD与△ACE并不全等。怎么办？

3.引导探索：

1.4.转化目标：能否证明∠B和∠C所在的另一对三角形全等？观察图形，还有哪些三角形？（△ABE和△ACD）

2.5.分析条件：在△ABE和△ACD中，AB=AC（已知），AD=AE（已知），∠A是公共角。满足SAS！∴△ABE≌△ACD。

3.6.达成目标：由全等得对应角∠AEB=∠ADC。再利用等角的补角相等，可得∠BEC=∠CDB吗？这似乎绕远了。再思考，由△ABE≌△ACD直接可得对应角∠ABE=∠ACD吗？不对应。思路受阻，及时调整。

4.7.另辟蹊径：既然直接证∠B=∠C困难，能否证明它们所在的△ABD与△ACE全等？缺一个条件。由AB=AC，AD=AE，若能证明夹角∠BAD=∠CAE，则可用SAS。而∠BAD和∠CAE正是公共角∠A！所以，在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE（同一个角），满足SAS。

8.策略提炼：当目标角（或边）所在三角形直接全等条件不足时，需转换视角，寻找包含这些元素的另一对三角形，或通过证明第三对角（边）相等来为原三角形补充条件。注意公共边、公共角是重要的“桥梁”。

【例题3】（结论探究型）

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上任意一点。求证：AD²+BD·CD=AB²。

1.教师引导：本题结论涉及线段的平方和积，显然不能直接由全等得到。如何将问题转化为线段相等问题？

2.思路启发：联想到勾股定理（但未学），或构造全等三角形进行等量代换。一个经典方法：作AE⊥BC于E。

3.师生共析：

1.4.构造辅助线：作高AE，则BE=EC（等腰三角形三线合一）。

2.5.代数推导：

1.3.6.在Rt△ADE中，AD²=AE²+DE²。

2.4.7.BD·CD=(BE-DE)(EC+DE)=(BE-DE)(BE+DE)=BE²-DE²。（∵BE=EC）

3.5.8.∴AD²+BD·CD=(AE²+DE²)+(BE²-DE²)=AE²+BE²。

6.9.几何解释：在Rt△ABE中，由勾股定理，AE²+BE²=AB²。

7.10.最终得证：∴AD²+BD·CD=AB²。

11.策略提炼：对于线段平方、乘积类问题，常通过作高（或垂线）构造直角三角形，利用勾股定理和等腰三角形的性质进行代数变形。辅助线的目的是创造可用定理的条件（这里创造了直角三角形和相等的线段BE=EC）。

【学生活动】

跟随例题深入思考，经历“尝试-受阻-引导-突破”的完整思维过程。积极参与思路的探讨，学习分析法与综合法。在例题3中，重点体会辅助线添加的动机（为使用勾股定理和等腰三角形性质铺路）和代数与几何的巧妙结合。

【设计意图】

通过三个递进的例题，展示全等三角形应用的三个层次：直接识别、转换视角间接证明、通过辅助线构造后综合应用。每个例题后都进行策略提炼，旨在教会学生“如何思考”，而不仅仅是“如何做这道题”。

（四）变式训练，举一反三（预计时间：20分钟）

基于例题进行变式，促进学生迁移能力。

【变式1（基于例题2）】：已知条件不变，求证：BE=CD。（巩固“转换三角形”证明线段相等的思路）

【变式2（基于例题3）】：若点D在BC的延长线上，结论AD²+BD·CD=AB²是否仍然成立？请画出图形，并证明你的结论。（训练分类讨论和图形变化下的结论探究能力）

【学生活动】

独立或小组合作完成变式训练。板演证明过程，并讲解思路。对比原题与变式题的异同，总结通法。

【设计意图】

变式训练是巩固和迁移的关键。变式1强化例题2的模型；变式2则将问题推向更一般化，考验学生的思维完备性和对新情境的适应能力。

（五）课时小结与作业布置（预计时间：5分钟）

【小结】：引导学生总结本课收获：全等三角形的应用，核心是“找条件”或“造条件”。思维策略上，要灵活运用分析法和综合法；当直接条件不足时，要善于转换目标或构造辅助线。辅助线的添加不是任意的，其根本目的是为了建立已知与未知之间的联系，或创造使用某个定理、性质的条件。

【作业布置】：

1.基础应用：完成学案上针对不同判定方法的证明题组。

2.能力提升：完成一道需要添加辅助线（如倍长中线、截长补短模型之一）的经典几何证明题，并写出详细的思路分析。

3.预习思考：等腰三角形除了具有一般三角形的性质外，其特殊性（等边对等角、三线合一）在解决问题时往往能起到“奇兵”作用。思考等腰三角形的性质和判定，在哪些问题场景中会频繁使用？

第3课时：融会贯通·综合挑战——特殊三角形与几何问题解决

（一）专题导入，聚焦特殊（预计时间：7分钟）

【教师活动】

1.知识回顾：提问：“等腰三角形、等边三角形‘特殊’在何处？请用最简洁的语言概括它们的核心性质与判定。”

（预期：等腰：等边对等角，三线合一。判定：等角对等边。等边：三边相等，三角都是60°，具有等腰所有性质且更特殊。判定：定义；三角相等；有一个角是60°的等腰三角形。）

2.情境引入：展示一个复杂的几何图形（例如，包含角平分线、垂线、多个等腰三角形的组合图）。提问：“在这个‘迷宫’中，你能识别出哪些特殊三角形？它们的特殊性质可能成为我们破解整个问题的哪些‘钥匙’？”

3.揭示目标：“今天，我们将进行一场高水平的思维挑战赛。目标是：灵活运用等腰、等边三角形的特性，并整合前两课时的全等工具，解决更具综合性的几何问题。重点训练：复杂图形中的信息提取、模型识别与综合推理能力。”

【学生活动】

快速回顾等腰、等边三角形的核心知识。观察复杂图形，尝试寻找特殊三角形和潜在的全等关系，感受综合性问题的挑战性。

【设计意图】

从回顾核心知识开始，快速激活相关图式。通过复杂图形情境，制造认知冲突，激发学生挑战欲望。明确本课的高阶思维训练定位。

（二）模型探究，策略内化（预计时间：30分钟）

围绕等腰三角形和等边三角形，探究常见几何模型及其解题策略。

【模型探究一：等腰三角形与“三线合一”的逆用】

问题：已知：在△ABC中，AD是BC边上的高，且BD=CD。求证：AB=AC。

1.学生活动：几乎能瞬间反应出用“HL”证Rt△ADB≌Rt△ADC。

2.教师追问：还有其他证法吗？如果已知条件改为“AD是BC边上的中线，且AD⊥BC”呢？如果改为“AD是∠BAC的角平分线，且AD是BC边上的中线”呢？

3.模型提炼：“三线合一”的逆命题也是成立的。即，在三角形中，如果有“两线合一”的情况（高与中线重合、高与角平分线重合、中线与角平分线重合），可以推出这个三角形是等腰三角形，且第三条线也重合。这是判定等腰三角形的一个非常高效的方法。

【模型探究二：等边三角形与“手拉手”模型初步】

问题：如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、E在同一直线上。

(1)求证：AD=BE。

(2)求∠AOE的度数。

1.引导分析：

1.2.识别模型：两个共顶角顶点（C）的等边三角形，形状像两个手拉手的小人。这是经典的“手拉手”模型的简单情形。

2.3.寻找全等：观察△ACD和△BCE。条件：AC=BC（等边△ABC），CD=CE（等边△CDE），∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+∠BCD，∠BCE=∠DCE+∠BCD=60°+∠BCD。∴∠ACD=∠BCE。由SAS证得△ACD≌△BCE。

3.4.解决问题：(1)由全等直接得AD=BE。(2)∠AOE是△AOB的外角？观察不便。利用全等，∠CAD=∠CBE。则∠AOB=∠CBE+∠BDA=∠CAD+∠BDA=∠BCA=60°（利用三角形内角和或外角性质推导）。故∠AOE=180°-∠AOB=120°。

5.策略提炼：遇到共顶点的两个等边（或等腰）三角形，常考虑连接它们的“手”（如AD和BE），证明由这两条“手臂”和公共顶点组成的两个三角形全等（如△ACD≌△BCE），进而得到边等、角等，解决后续问题。

【模型探究三：角平分线+平行线→等腰三角形】

问题：已知：在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于点E。求证：BE=ED。

1.引导：由角平分线得∠1=∠2，由平行线得∠2=∠3（内错角），等量代换得∠1=∠3。根据“等角对等边”，在△EBD中，EB=ED。

2.模型推广：这是一个非常简洁而实用的模型。角平分线、平行线、等腰三角形，这三个条件中，任意知道两个，可以推出第三个。它是转化角、证明线段相等的利器。

【学生活动】

在教师引导下，深入探究每个模型。完成证明过程，理解模型的结构特征、成立条件和应用价值。尝试用自己的语言描述模型。

【设计意图】

将常见的解题“套路”提炼为可识别的“模型”，赋予其名称（如“手拉手”），能极大地提高学生在复杂图形中识别模式、快速定位解题方向的能力。模型是策略的载体，内化这些模型，就是内化高级的解题策略。

（三）综合应用，实战演练（预计时间：30分钟）

呈现1-2道融合多个知识点和模型的综合题，进行完整的解题教学。

【综合例题】

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC。点D是BC边上一点（不与B、C重合），连接AD。以AD为边在AD的右侧作等边△ADE，连接CE。

(1)求证：BD=CE；

(2)探究∠DCE的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由。

(3)当点D在BC的延长线上时，(1)中的结论是否成立？请画出图形并说明理由。

1.【第(1)问解析】：

1.2.分析：要证BD=CE，BD在△ABD中，CE在△ACE中。观察△ABD和△ACE，已知AB=AC，AD=AE（等边△ADE）。夹角∠BAD和∠CAE是否相等？

2.3.推导：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∠B=∠ACB=45°。

∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE=60°。

∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=90°-∠DAC。

∠CAE=∠DAE-∠DAC=60°-∠DAC。

两角并不相等！此路不通。

3.4.转换思路：寻找包含BD和CE的其他三角形。BD在△ABD中，似乎没有其他明显三角形。考虑是否可以通过全等得到等线段再转化？观察图形，△ABD和△ACE不全等，但△ABD和△ACE有公共顶点A，且AB=AC，AD=AE，夹角...能否让AB和AC、AD和AE“动起来”？联想到“手拉手”模型！

4.5.识别模型：△ABC（等腰直角）和△ADE（等边）具有公共顶点A！可以看作是两个共顶点的等腰三角形（一个是等腰直角，一个是等边）。尝试证△ABD≌△ACE？夹角是∠BAD和∠CAE，刚才计算不相等。等等，手拉手模型是证△ABD≌△ACE吗？标准“手拉手”是连接公共顶点对面的点（B和D，C和E）形成的新三角形全等，即证△ABD≌△ACE？这要求AB对应AC，AD对应AE，∠BAD对应∠CAE。而我们已发现∠BAD≠∠CAE。

5.6.再次观察：“手拉手”中，全等的两个三角形是由公共顶点和两个“拉手点”构成。本题中，公共顶点是A，两个等腰三角形的底边顶点分别是B、C和D、E。那么“拉手点”应该是B和D、C和E吗？连接的是BD和CE，我们要证的正是BD=CE。这说明BD和CE可能是由一对全等三角形的对应边得到的。这对三角形可能是△ABD和△ACE吗？不，夹角不对。那会不会是△ABE和△ACD？让我们连接BE和CD看看？图形变得更复杂。

6.7.关键突破：回到原点，我们的条件有AB=AC，AD=AE，以及它们的夹角。∠BAC=90°，∠DAE=60°。那么∠BAD=90°-∠DAC，∠CAE=60°-∠DAC。如果能让90°和60°发生联系呢？注意到90°+60°=150°。∠BAE=∠BAD+∠DAE=(90°-∠DAC)+60°=150°-∠DAC。

∠CAD=∠CAE+∠DAE=(60°-∠DAC)+60°=120°-∠DAC。也不相等。

7.8.教师揭示：本题的巧妙之处在于，需要旋转地看待图形。将△ABD视为一个整体，绕点A逆时针旋转90°，AB会与AC重合。那么AD旋转90°后落在什么位置？由于∠DAE=60°，旋转90°后，AD与AE的夹角可能是150°或30°，不容易直接判断。我们换一种更严谨的几何方法：利用角度的和差计算证明∠BAD=∠CAE？已证不等。证明∠BAD=∠EAC？即证明∠BAD=∠EAC。

实际上，∠BAD=∠BAC-∠DAC=90°-∠DAC。

∠CAE=∠DAE-∠DAC=60°-∠DAC。

所以，除非∠DAC=15°，否则不相等。但D是动点，∠DAC不固定。

8.9.正解思路：既然直接证△ABD≌△ACE困难，考虑证明它们所在的其他三角形全等，或者通过等量代换。一个有效的方法是：证明△ABD≌△ACE需要夹角相等，而我们的夹角差一个常数30°。那么，如果以AC为边，构造一个与△ABD全等的三角形呢？

更直接的思路：连接CD似乎无用。观察结论BD=CE，BD和CE位置分散。一个经典策略是：将△ABD绕点A逆时针旋转90°，使AB与AC重合，点D旋转到点D'的位置。由于旋转90°，且AB=AC，所以此变换可行。那么，BD就旋转到了CD'的位置。此时，只需证明CE=CD'即可。而连接ED'，由于旋转角为90°，AD=AD'，且∠DAD'=90°。又因为△ADE是等边三角形，AD=AE，所以AE=AD'，且∠EAD'=∠EAD+∠DAD'=60°+90°=150°。在△ACE和△ACD'中，AC=AC，AE=AD'，∠CAE与∠CAD'的关系？计算复杂。此方法对七年级学生超纲。

9.10.适用于七年级的解法：在△ABC中，过点C作CF⊥BC，并在CF上截取CF=BD，连接AF、EF。试图证明△CEF是等腰三角形或通过全等证明CE=CF。此辅助线方法也需要较多步骤。

10.11.鉴于时间与学情，教师可以在此处进行思路点拨后，给出一种简明的证明方法，或适当降低难度，修改题目条件（如将等边△ADE改为正方形），使其更贴合“手拉手”模型。

11.12.调整后思路（若坚持原题）：实际上，经过复杂的角度计算，可以证明∠ABD=∠ACE=45°，以及∠BAD与∠CAE互补等关系，但需多次利用三角形内角和。最简洁的证法之一是：在△ABD和△ACE中，AB=AC,AD=AE。虽然∠BAD≠∠CAE，但我们可以证明：∠ABD=∠ACE=45°。∵∠ABC=∠ACB=45°。要证∠ACE=45°，需看∠ACB+∠BCE？不好证。转而证明△ABD和△ACE的面积？不行。

12.13.鉴于这是一道竞赛难度的题，课堂上可侧重前两问的引导，第三问作为课后思考。给出一种参考证法核心步骤：

由AB=AC,AD=AE，虽夹角不等，但可考虑用“旋转相似”或“托勒密”定理，这些超纲。因此，建议将此题作为“思维体操”，重点展示探索过程，包括尝试、失败、转换思路的完整经历，即使未在课内完成严格证明，其思维价值也已达到。

可给出提示性证明：计算∠BAD和∠CAE，发现∠BAD-∠CAE=30°。构造一个角等于∠CAE+30°，即∠BAD。或者，在CE上截取CF=BD，连接AF，证明△ACF≌△ABD，从而推出F与E重合。

14.【第(2)问解析】：若能证明(1)中BD=CE，且证明过程中得到一些角度关系，可求∠DCE。通常，在“等腰直角+等边”的旋转模型中，∠DCE是定值，常为90°。可通过四点共圆或角度计算得出。例如，若已证△ABD≌△ACE，则∠ACE=∠ABD=45°，所以∠DCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°。但前提是(1)的证法能得出∠ACE=∠ABD。

15.【第(3)问解析】：属于动态几何问题。画出图形（D在BC延长线上，等边△ADE仍在AD右侧）。结论通常仍然成立，但图形位置变化，证明方法类似，需要进行分类讨论，并注意角度计算的变化。

【学生活动】

在教师引领下，经历对一道高难度综合题的“剥洋葱”式分析。即使不能完全独立解决，也全程参与思考、质疑、提出猜想、验证猜想的过程。感受几何综合题的复杂性和思维魅力。学习如何处理难题：从审题、分析条件与结论、尝试各种联想（模型、旋转、构造）、到调整策略。

【设计意图】

选择一道具有挑战性的综合题，目的不是让所有学生都能轻松解答，而是为了展示真实的、高水平的数学思维过程。让学生看到，即使对于专家，解决难题也常需要不断的尝试、调整甚至暂时失败。重点在于培养学生坚韧的探究精神、系统的分析方法和面对复杂问题的信心。

（四）总结反思，评价提升（预计时间：8分钟）

【教师活动】

1.引领总结：与学生共同回顾三课时的复习之旅。

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