深度精谈高考数学考试中如何审题及对策讲义-2026届高三数学二轮专题

深度精谈高考数学考试中如何审题及对策讲义考生要想在高考数学考试中考出优异的成绩,不仅需要必备扎实的基础知识、掌握大量的数学解题思想与方法,以及较强的数学解题能力作为前提,另外还需要兼备良好的应试状态和临场考试的正常发挥,而考试的正常发挥是取得优异成绩的关键因素,它需要靠高效率的审题来作保证.可以毫不夸张地说,审题质量的高低直接决定了高考成绩的好坏；因此,从这个意义上讲,高考要考好数学,必须在审题上下功夫.笔者到目前为止,已教过二十二届高三了,每届高考之后,都会向当年参加过高考的学生了解一些考试情况,在与学生交流和探讨这方面的问题中发现一个不争的事实：数学高考取得满意成绩的考生都是因为重视审题环节,且审题把握准确到位,题意理解成功；而没有取得满意成绩的考生那是因为不够专注审题过程,且在审题环节中出现这样或那样的漏洞与错误,从而导致考试不尽人意甚至失败.由此可以坚信,高考数学“谋试在人,成试在审”是一个颠灭不破的真谛,完全可以把数学考试成功与否归结为考试审题是否准确无误,两者具有同步的因果关系.审题就是弄清楚题意的过程:就是要知道已知条件是什么?未知结论又是什么?由每个已知条件能够推导出什么结果出来?要得到未知结论应需具备什么条件?如何建立条件与结论之间的关系?事实上审题是解题的基础,更是正确、迅速解题的前提,是审理找到已知与未知之间建立脉络联系,并实现由已知条件出发通过利用所学知识和方法逐渐向未知结论靠拢的思维转化过程.美国著名数学教育家波利亚说最糟糕的情况是学生没有弄清问题就进行演算和作图,这显然是学习数学所发生的最荒唐事情.要想有效解决数学问题,一定要过审题关；而往往审题能力的培养并未引起学生足够的重视,他们中的很多人仅热衷于题型的总结与解题方法和技巧的训练,把数学学习等同于解题训练,一味地模仿,导致应变能力不强,遇到陌生的问题往往束手无策,致使解题失误或陷入误区而前功尽弃.下面从实际问题出发,就高考数学解题中审题应该关注的一些精髓要素阐述如下，希望对即将高考的学生有所帮助,同时能起到抛砖引玉之效.一、对试卷中概念题的审题要清晰准确,理解达意数学概念是数学学科的基础,数学中的命题,都是围绕概念构成的,数学中的推理和证明,又均是由命题构成的.因此,对试题中涉及概念的考题应引起足够重视,只有对概念理解准确者才能在审题中稳操胜券.许多考生在审题时,由于概念模糊,对概念的认识不足,误判、错判而导致失分者不在少数.例如:集合,,和,.在这四个集合中,每个集合所表示的含义均互不相同,尽管集合中竖线后的函数解析式是完全一样的,但集合中竖线前的代表元素决定了每个集合的性质是不一样；其中集合都是表示数集,其中表示函数的定义域,表示该函数的值域,而表示一个新函数的值域,但集合却表示一个平面直角坐标系内由抛物线上的所有点构成的点集.再如,关于字母的二项式的展开式中,其第三项的二项式系数为,第三项的系数为,第三项为；中间项为第三项和第四项,中间的项为第二、三、四、五项共有项,因此要理解“中间项”是指正中间的项,而“中间的项”是指除首末两项之外的其它所有项；二项式系数最大的项为第三项和第四项,由于在所有的二项式系数中是正中间项的二项式系数最大,但当时系数最大的项应为第四项,这是根据设其通项的系数是最大的,由且,可解出,得而确定系数最大的项应为第四项.从上面所列举的两个问题中可以看到,只有对每一个概念了如指掌,理解准确才能正确作答.二、对某些概念中的特殊情形,在审题时不要掉以轻心数学中有很多概念具有特殊情形或硬性规定,某些公式也有它的适用范围和限制条件；在高考中遇到有关这方面的问题时,审题要条理清楚、层次分明,考虑问题要做到分类全面彻底,不重复也不遗漏,千万别掉以轻心,否则会酿成大错.比如在涉及两个集合的包含关系时,不要遗漏了空集这个特殊集合.例1.集合,，求满足的实数取值的集合.分析:，；因，故有两种情形：(1)当时，由，此时，显然成立；(2)当时,则，则有,且,且,且；可解得,此时也成立；综合(1)、(2)得实数取值的集合为.在遇到有关向量问题时,要注意零向量的两个硬性规定:零向量与任意向量平行(共线),零向量与任意向量垂直；既然是规定就必须遵守与服从,否则就会乱套和出错.例2.下列四个命题:=1\*GB3①有三个非零向量,若,则；=2\*GB3②有三个任意向量,若,则；=3\*GB3③平面内有三个非零向量,若,则；=4\*GB3④平面内有三个任意向量,若,则；则其中正确的命题为=1\*GB3①=3\*GB3③,这是因为非零向量的平行具有传递性,而任意向量不满足平行的传递性,显然当时=2\*GB3②=4\*GB3④是错误的,这是由于的特殊属性而造成的,只有遵守的这两个硬性规定才能得到正确解答,否则极易出错.另外对于有些具有适用范围和限制条件的公式也要足够关注和重视,这样可避免在高考紧张的压力下犯低级错误.比如:(1)求过两点的直线斜率时要分两种情况讨论；若,由公式得直线斜率；若,此时直线斜率不存在表明斜率公式不适用.(2)在利用两角和与差的正切公式(分子与分母中“”号相反)求值时,要注意公式中角的限制条件为(),否则公式不适用,需通过两角和与差的正余弦公式求解.三、对考题中一些关键词要仔细斟酌，必须弄清弄透其含义在高考数学解题中,常常会出现一些难于理解又容易看错的或易被忽视的、易误解的数学术语和文字材料,在审题时对这些关键字词的意思要逐字逐句地看清楚、审明白,不要粗心大意,否则会导致严重失误.数学题目中的条件本身就是破解该题的信息源,只有经过仔细斟酌与反复推敲才能弄清弄透题目的真正含义,从中获得尽可能多的信息与数据,为正确解题创造有利条件.例3.已知曲线,求曲线的过点的切线方程.分析:要注意“过点的切线”与“在点处的切线”之间的区别,前者包括点是切点和点不是切点两种情况,而后者仅表示点是切点这一种情况；本题解答:设曲线与过点的切线相切于点,则,因,得切线斜率,于是切线方程为,将点坐标代入并化简得,即,得或,故所求切线方程或.四、要善于抓住考题中的问题关键点,寻找解题突破口每一道题目都有该题意的中心思想或问题的关键点,若善于抓住它们就容易把握事物的本质属性,从而找到解决问题的突破口；由此可知在审题时,不仅要熟悉问题的整体背景,读懂搞清楚题意,明确各部分之间的内在联系与区别,还要细心关注问题的中心思想或关键点，对它们开动思维机器进行深入分析与研究,可使问题快速获得解决途径.例4.已知函数，若存在常数使得方程有两个不等的实数根(且),求乘积的取值范围.分析:这是一个求自变量和函数值乘积取值范围的设计很新颖的考题,初看不知从何下手,但仔细研究“存在常数使得方程有两个不等的实数根”这句关键话后,发现有成立,而问题的中心思想是求乘积的取值范围,并注意从而不难发现这就找到解题的突破口,于是可将转化为关于的二次函数来解决；本题解答:当时,在上递增,,当时,在上也递增,;依题意存在,使成立的,因可得,令,则,从而在上递增,得,故知的取值范围为.五、要善于对条件或结论进行简化，以简驭繁优化解题不少高考数学题中,给出的题设条件或结论形式会比较复杂和繁琐,在审题时只要善于对已知条件或题中结论进行简化,就会以简驭繁找到有效解决问题的方法和途径,从而大大优化解题过程,提高解题质量和效率.例5.在锐角中,角的对边分别为若,求的值.分析:在三角求值、化简和证明等问题中,一般将“切割化弦”处理,而题目条件和结论的关系看似不明显,但若考虑将结论由切化弦,就能再通过正余弦定理找到条件与结论之间的内在联系,从而实现以简驭繁、快速解题之目的；本题解答:将化为,由余弦定理得;将结论化弦及正余弦定理得,,于是原式.六、对考题要深入分析,善于挖掘题目隐含条件在高考解题过程中,会遇到有些题目里某个条件给出的信息不很明显,需要对该条件进行再加工和重新认识;也有某些条件即使题目已经给出,但考生却没有把它作为条件来使用，从而使得解题受阻,需要对这些条件进行挖掘发现和重新整理,从而能够寻找到题中隐藏的信息,并能抓住问题特征挖掘出隐含条件,准确把握住事物的本质属性和规律性联系.例6.若钝角三角形的三个内角成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为,求的取值范围.分析:由于钝角三角形的三内角成等差数列,可得中间角为,而另两个角之和为,则最大角范围为,最小角范围为,且大边对大角，小边对小角,反之亦然,再根据正弦定理建立边角关系,这些就是题中需要挖掘出的隐含条件,只有寻找和发现这些条件才能快速顺利解题；本题解答:设的三内角成等差数列,得不妨设则有且,于是有；由正弦定理,即的取值范围为.七、对原问题进行合理转化，化陌生为熟悉在高考审题过程中,不要把思维定势只停留于原问题上,而应积极主动地将一些陌生的或难以理解的问题通过转化的思想,变成熟悉的、容易理解的、已经掌握了方法和思路的问题上来,这样能打破僵局出现转机;转化的方式与手段有:未知向已知转化,复杂问题向简单问题转化,新知识向旧知识转化,数与形之间转化,空间向平面转化,多元向一元转化，高次向低次转化,函数与方程之间转化等.例7.已知函数且有两个零点,其中有一个零点在区间内,求的取值范围.分析:结合二次函数图像确定函数在指定区间内存在零点的条件,可得到一个关于的二元一次不等式组,该不等式组可确定一个平面区域,再将目标函数转化为平面区域内的动点与定点连线的斜率,然后根据图形得出其取值范围,本题是一个涉及函数的零点与线性规划的综合问题,在作图时要注意不等式组中每个不等式是否带有等号,否则会因忽视边界值而导致错解；解答:因则二次函数的图像开口向上,且,要使有一个零点在区间内,则有,即,作出满足不等式组的约束条件的可行域,如图1中阴影部分,分式表示可行域内的动点与定点连线的斜率;而直线的斜率,直线的斜率为,因不等式组所表示的可行域不包含边界,故,即的取值范围为.八、要善于利用图形,借助数形结合求解“数形结合”就是利用数与形之间的对应关系及相互转化来达到解决数学问题的一种重要思想方法；一旦题目与数轴、单位圆、图像、几何图形等存在联系,就可通过画出图形利用其直观性和几何性来帮助分析和思考问题,经过观察、联想,从几何的角度寻找解题的新途径,甚至有时根据图形可直接找出问题的答案.例8.已知函数的定义域为,满足,且当时,求不等式成立的的取值范围.分析:由条件可求出的对称轴,进而写出和的解析式,画出它们的图像,解出的取值范围；解答:由条件得图像的对称轴方程为,从而得,则,如图2所示,由不等式,得,解之得,故的取值范围为.九、要瞄准终极目标，从命题的结论中寻找解题突破口命题的结论是解题的终极目标,当一个目标被锁定后人的思维就更具有针对性,思维方向明确了其效果也必然提高，解题思维很多情况下都是在目标意识下被激发出来,并随之定向启动和发展；审视命题的结论要探索已知条件和结论之间的联系与转化规律,善于从结论中捕捉解题信息,确定解题目标和明确思维方向.例9.已知函数,求的值.分析:当观察到结论中各数据特征后,凭直观感觉意识到,式子应该是一个定值,从而把求解目标锁定好,思维方向明确之后就要付诸行动实现解题目标；解答:因,则,且,故得原式.十、以特殊代替一般，大胆展开思维推测在高考选择题和填空题的解题中,常常会困惑于找不到突破口,此时可考虑从特殊的值(代数问题)、特殊的点(位置)或特殊的图形(几何问题)等出发进行尝试与大胆猜测,根据已有的事实、结论或实践的结果,以个人的经验和直觉等推测某些结果,在取得部分成果后,从中发现规律,并最终获得解题方法和途径.例10.如图3所示,在平行四边形ABCD中,于,且求的值.分析:因题中平行四边形ABCD的边长未知,但由结论的值是定值,故可考虑把该平行四边形ABCD设为正方形求解；解答:当平行四边形ABCD为正方形时,此时垂足与对角线的交点重合,则有,故为所求值；若作为一个客观题,在不知一般解法的情况下取一个特殊的平行四边形即正方形去解,这是无可厚非的；其实本题的一般解为:设平行四边形ABCD的两对角线交点为,因,则,从而,或.十一、对待难题与压轴题要沉着冷静,争取多得分在高考解题中,难免会遇到难题或压轴题一时半会解不出,也想不到更好的方法与思路,不妨先放一放,记下题号,等后面的题解答完了再回头来看看,因你把会做的都做好了,心里面踏实多了,这时重新来考虑难题该换一种方法、换一种思路来思考可能会有新收获.最后假设仍然没有想出来的也不能放弃，是选择题与填空题就要用特殊方法来处理,如筛选排除法,特殊值与点、特殊位置与图形等特殊法,甚至猜测答案也不能空着.在这里再说一说解答题中的难题如何处理,下面有两种常用方法.(1)缺步解答:可以将疑难问题划分成若干个子问题,然后先做出会解决的部分,即能解决到什么程度就解决到什么程度,能演算几步就写几步；特别是那些解题层次明显的题目,或者是已经程序化了的方法