22.1 函数的表示 教学课件 2025-2026学年数学人教版八年级下册

22.1函数的表示第1课时第二十二章函数生活中有很多关系难以通过列解析式或列表格的方法表示，通常用图来直观地反映，帮助人们快速获取想要的信息，如心电图测试结果、股票走势、天气的变化等.1.掌握描点法画函数图象的步骤（列表、描点、连线），能运用该方法画出简单函数的图象；2.能通过函数图象，直观观察函数随自变量变化的趋势.(1)列表:x00.511.522.533.54…S…(2)描点：表示与其对应的点有无数个,但是实际上我们只能描出其中有限个点,同时想象出其他点的位置．如何在坐标系中表示S=x2？10.2549162.256.2512.250(3)连线：用平滑的曲线去连接画出的点．问题1：请写出正方形的面积S与边长x的函数解析式.S=x2.问题2：自变量x的取值范围是多少？根据问题的实际意义，该自变量x的取值范围是x>0.问题3：如果也能画图表示，那么会使函数关系更直观，怎样确定图象的点？选取合适的值，确定点的坐标.第一步，列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值.S=x2.x...0.511.522.533.54...S...0.251...2.2546.25912.2516第二步，描点——在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点.(0.5,0.25)(1,1)(1.5,2.25)(2,4)(2.5,6.25)(3,9)(3.5,12.25)(4,16)第三步，连线——按照横坐标从小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来.(0.5,0.25)(1,1)(1.5,2.25)(2,4)(2.5,6.25)(3,9)(3.5,12.25)(4,16)用空心圆圈表示不在曲线的点用实心圆点表示在曲线的点所得曲线上每一个点都代表x的值与S的值的一种对应.用平滑曲线连接画出的点第三步，连线——按照横坐标从小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来.(0.5,0.25)(1,1)(1.5,2.25)(2,4)(2.5,6.25)(3,9)(3.5,12.25)(4,16)图中的曲线即函数S=x²（x>0）的图象.思考函数S=x2表示的所有的点都要在曲线上描出来吗？表示x与S的对应关系的点有无数个.但是实际上我们只能描出其中有限个点，同时想象出其他点的位置.函数的图象：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.🔍敲黑板函数图象上的任意一点的坐标(x,y)中的x，y

均满足函数解析式；满足函数解析式的任意一对x，y的值，所对应的点一定在这个函数的图象上.

解：(1)从式子y=x+0.5可以看出，x取任意实数时这个式子都有意义，所以x的取值范围是全体实数.从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值，列表.x…-2-1012…y…-1.5-0.50.51.52.5…根据表中数值描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点.从函数y=x+0.5的图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时，y随之增大.y=x+0.5x…-2-1012…y…-1.5-0.50.51.52.5…

x…0.5123456…y…631.510.750.60.5…x…0.5123456…y…631.510.750.60.5…

归纳用描点法画函数图象的一般步骤如下：第一步，列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值;第二步，描点——在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点;第三步，连线——按照横坐标从小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来.跟踪训练

(1)画出函数y=-2x-1的图象；(2)判断点(5,9)，(7，-15)是否在此函数的图象上.解：(1)列表：x…-3-2-10123…y…531-1-3-5-7…因为x的取值范围是全体实数，所以表的左右两端不要忘记用省略号表示对应的数值根据表中数值描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点，如图.跟踪训练(1)画出函数y=-2x-1的图象；(2)判断点(5,9)，(7，-15)是否在此函数的图象上.判断点是否在函数图象上的方法要判断点P(x,y)是否在某一函数的图象上，只需把x的值代入该函数的解析式，如果所求得的函数值与y的值相等，那么这个点就在该函数的图象上，否则就不在该函数的图象上.跟踪训练(1)画出函数y=-2x-1的图象；(2)判断点(5,9)，(7，-15)是否在此函数的图象上.解：(2)当x=5时，y=-2×5-1=-11，所以点(5，9)不在此函数的图象上.当x=7时，y=-2×7-1=-15，所以点(7，-15)在此函数的图象上.函数图象定义画法如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.①列表；②描点；③连线.1.(1)画出函数y=2x

-1的图象；(2)判断点A(-2.5,-4)，B(1,3)，C(2.5,4)是否在函数y=2x-1的图象上.解：(1)列表：描点、连线，所画图象如图所示.1.(1)画出函数y=2x

-1的图象；(2)判断点A(-2.5,-4)，B(1,3)，C(2.5,4)是否在函数y=2x-1的图象上.解：(2)将x=-2.5代入y=2x

-1，得

y=-6≠-4，∴点

A不在该函数图象上.将x=1代入y=2x

-1，得

y=1≠3，∴点B

不在该函数图象上.将x=2.5代入

y=2x

-1，得

y=4，∴点C

在该函数图象上.2.(1)画出函数y=x²+1的图象.(2)观察函数y=x²+1的图象，当x<0时，y随x的增大而增大还是y随x的增大而减小？当x>0时呢？解：(1)列表：描点、连线，所画图象如图所示.2.(1)画出函数y=x²+1的图象.(2)观察函数y=x²+1的图象，当x<0时，y随x的增大而增大还是y随x的增大而减小？当x>0时呢？解：(2)从图象中观察可知：当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大.3.下列各点在函数y=3x-1的图象上的是（）A.(0,1)

B.(2,5)

C.(-3,7)

D.(1,1)解析：判断点是否在函数图象上，只需将横坐标代入函数解析式，计算出函数值，如果函数值与纵坐标相等，则点在函数图象上，否则不在函数图象上.当x=0时，y=3×0-1=-1≠1，故A选项错误：当x=2时，y=3×2-1=5，故B选项正确；当x=-3时，y=3×(-3)-1=-10≠7，故C选项错误；当x=1时，y=3×1-1=2≠1，故D选项错误.B4.已知点P(a，5)在函数y=3x-4的图象上，则a的值为_______.解析：因为点P(a，5)在函数y=3x-4的图象上，所以5=3a-4，解得a=3.322.1函数的表示第2课时第二十二章函数1.函数的图象

一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.2.函数图象的画法步骤列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值.描点：在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相对应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点.连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来.1.能根据函数图象分析出实际问题中变量的信息，发现变量间的变化规律；2.掌握分析实际问题中函数图象的方法，能结合图象解决对应情境下的具体问题.思考下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化.你从图象中得到了哪些信息？由图可以看出，气温T随时间t的变化而变化，对于时间t的每一个确定的值，气温T都有唯一确定的值与其对应.因此，气温T是时间t的函数，下图是这个函数的图象.问题1气温T与时间t是函数关系吗？这一天中凌晨4时气温最低（-3℃），14时气温最高(8℃).问题2这一天，何时气温最低，何时最高？问题3你可以大致描述这一天的气温变化情况吗？从0时至4时气温呈下降状态（即温度随时间的增长而下降），从4时到14时气温呈上升状态，从14时至24时气温又呈下降状态.我们可以从图象看出这一天中任一时刻的气温大约是多少.例如：24时气温大约是2℃.问题4你还能得到哪些信息？分析函数图象，读取相关信息应抓住以下关键点.(1)两轴：弄清楚横、纵坐标轴表示的变量的实际意义，一般地，横轴是自变量，纵轴是自变量的函数.(2)特殊点：①最高点和最低点：函数值的最大值、最小值;②起点和终点：自变量取最小值和最大值时对应的点;③拐点：函数图象上的拐点既是前一段函数的终点，又是后一段函数的起点，反映了函数图象在这一时刻开始发生变化.(3)水平线：表示函数值不随自变量的变化而变化.(4)线段（曲线）的陡缓：线段（曲线）相对较陡表示函数值随自变量的变化而变化得快，线段（曲线）相对较缓表示函数值随自变量的变化而变化得慢.例1如图1，李明家、食堂、图书馆在同一条直线上.李明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆查资料，然后回家.

图2反映了这个过程中，李明离家的距离y与时间x之间的对应关系.李明家食堂图书馆图1图2根据图象回答下列问题：(1)食堂离李明家多远？李明从家到食堂用了多长时间？分析：李明离家的距离y是时间x的函数，由图象中有两段平行于x轴的线段可知，李明离家后有两段时间先后停留在食堂与图书馆里.解：(1)由纵坐标看出，食堂离李明家0.6km；由横坐标看出，李明从家到食堂用了8min.根据图象回答下列问题：(2)李明吃早餐用了多长时间？解：(2)由横坐标看出，25－8=17，李明吃早餐用了17mim.根据图象回答下列问题：(3)食堂离图书馆多远？李明从食堂到图书馆用了多长时间？解：(3)由纵坐标看出，0.8－0.6=0.2，食堂离图书馆0.2km；由横坐标看出，28－25=3，李明从食堂到图书馆用了3min.根据图象回答下列问题：(4)李明查资料用了多长时间？解：(4)由横坐标看出，58－28=30，李明查资料用了30min.根据图象回答下列问题：(5)图书馆离李明家多远？李明从图书馆回家的平均速度是多少？解：(5)由纵坐标看出，图书馆离李明家0.8km；由横坐标看出，68－58=10，李明从图书馆回家用了10min，由此算出李明从图书馆回家的平均速度是0.08km/min.跟踪训练小明同学骑自行车去郊外春游，骑行1h后，自行车出现故障，维修好后继续骑行，他离家的距离y(km)与所用的时间x(h)之间关系的图象如图所示.根据图象回答下列问题：(1)小明到达离家最远的地方用了多长时间？此时离家多远？解：(1)由图象可知，小明到达离家最远的地方用了3h，此时离家30km.跟踪训练小明同学骑自行车去郊外春游，骑行1h后，自行车出现故障，维修好后继续骑行，他离家的距离y(km)与所用的时间x(h)之间关系的图象如图所示.根据图象回答下列问题：(2)小明出发2.5h后离家多远？

跟踪训练根据图象回答下列问题：(3)小明出发多长时间后离家12km？

跟踪训练根据图象回答下列问题：(3)小明出发多长时间后离家12km？探究构建合适的问题情境，使其中的变量之间的函数关系可以分别用图1和图

2中的图象来表示.s/m900O10203040t/min图1s/m900O1020304045t/min图2s/m900O10203040t/min图1小明从家出发走路20

min到达离家900

m的体育馆后，直接原路返回，又用了20

min返回到家，则离家的距离s和时间t的函数关系可用图1来表示.s/m900O1020304045t/min图2小明从家出发走路20min到达离家900m的体育馆后，在体育馆休息了10min，原路又用了15min返回到家，则离家的距离s和时间t的函数关系可用图2来表示.函数图象的分析(1)两轴：弄清楚横、纵坐标轴表示的变量的实际意义，一般地，横轴是自变量，纵轴是自变量的函数.(2)特殊点：①最高点和最低点：函数值的最大值、最小值；②起点和终点：自变量取最小值和最大值时对应的点.③拐点：函数图象上的拐点既是前一段函数的终点，又是后一段函数的起点，反映了函数图象在这一时刻开始发生变化.(3)水平线：表示函数值不随自变量的变化而变化.(4)线段（曲线）的陡缓：线段（曲线）相对较陡表示函数值随自变量的变化而变化得快，线段（曲线）相对较缓表示函数值随自变量的变化而变化得慢.1.园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间.已知绿化面积S与工作时间t的函数关系如图所示.(1)休息前，园林队工作了多长时间？绿化面积为多少？(2)园林队中间休息了多长时间？解：(1)休息前，园林队工作了1

h，绿化面积为60

m2.(2)园林队中间休息了1

h.O12416060S/m2t/h1.园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间.已知绿化面积S与工作时间t的函数关系如图所示.(3)休息后，园林队每小时完成的绿化面积为多少？解：(3)(160-60)÷(4-2)=50

(m2/h).所以休息后，园林队每小时完成的绿化面积为50

m2.O12416060S/m2t/h2.如图，这是某一天北京与上海的气温随时间变化的图象.(1)这一天内，北京与上海何时气温相同？解：(1)这一天内，北京与上海在7：00和12：00气温相同.2.如图，这是某一天北京与上海的气温随时间变化的图象.(2)这一天内，上海在哪段时间比北京气温高？在哪段时间比北京气温低？解：

(2)这一天内，上海的气温在0：00~7：00和12：00~24:00比北京的气温高，在7：00~12：00比北京的气温低.2.如图，这是某一天北京与上海的气温随时间变化的图象.(3)你还能从函数图象中得到哪些信息？解：

(3)北京和上海的气温在14：00后都逐渐降低.（答案不唯一）3.如图，构建问题情境，使其中变量之间的函数关系可以用图中的图象来表示.O618t/miny/m1000解：李明从距家1

000

m的图书馆以一定的速度步行回家，经过6

min

到达家门口，又以另以速度步行返回图书馆拿忘在图书馆的水杯，经过12

min回到图书馆.（答案不唯一）4.过山车是一种深受年轻游客喜爱的娱乐项目，如图是佳佳某次乘坐过山车在一分钟之内距离地面的高度h(米)与时间t(秒)之间的函数图象，由图象可知，在这一分钟内过山车的最大高度与最小高度的差为()A.98米

B.93米

C.83

D.5米解析：由题中函数图象可知，最大高度为98米，最低高度为5米，则在这一分钟内过山车的最大高度与最小高度的差为98－5=93（米）.B5.小明向某种空水壶内匀速注水，壶内水的深度h(cm)与注水时间t(s)的函数关系如图所示，选项中是各种水壶的平面图，则小明使用的水壶是()解析：根据题中函数图象可知，随着注水时间的增加，水的深度增加速度越来越快，故水壶应该是下宽上窄型，只有A选项符合.A22.1函数的表示第3课时第二十二章函数y=-2x-1.我们已经学习了三种表示函数的方法，分别称为解析法、列表法和图象法，你知道它们各自的优、缺点吗？表示方法定义优点缺点列表法通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法.一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接找到与它对应的函数值.列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律.解析法用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的方法.能准确地反映整个变化过程中自变量与函数值的对应关系.从函数解析式很难直观地看出函数的变化规律，而且有些函数不能用解析法表示.图象法用图象表示两个变量间的函数关系的方法.直观、形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质.从自变量的值常常难以找到对应函数的准确值.1.明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法）；2.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系.例1一个水库的水位在最近5h内持续上涨.表中记录了这5h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度.t/h012345y/m33.33.63.94.24.5(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你能发现水位变化有什么规律吗？t/h012345y/m33.33.63.94.24.5解：(1)如图，描出表中数据对应的点，可以看出，这6个点在一条直线上.再结合表中的数据，可以发现每小时水位上升0.3m.由此猜想，如果画出这5h内其他时刻（如t=2.5h等）及其水位高度所对应的点，它们可能也在这条直线上，即在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的.t例1(2)水位高度y是不是时间t的函数？如果是，写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象．这个函数能表示水位的变化规律吗？解：(2)由于水位在最近5h内持续上涨，对于时间t的每一个确定的值，水位高度y都有唯一的值与其对应，所以y是t的函数.开始时水位高度为3m，以后每小时水位上升0.3m.t例1(2)水位高度y是不是时间t的函数？如果是，写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象．这个函数能表示水位的变化规律吗？函数y=0.3t+3(0≤t≤5)是符合表中数据的一个函数，它表示经过th水位高度y为(0.3t+3)m.其图象是图中点A(0，3)和点B(5，4.5)之间的线段AB.ABt例1(2)水位高度y是不是时间t的函数？如果是，写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象．这个函数能表示水位的变化规律吗？如果在这5h内，水位一直匀速上升，即升速为0.3m/h，那么函数y=0.3t+3(0≤t≤5)就精确地表示了这种变化规律.即使在这5h内，水位的升速有些变化，而由于每小时水位上升0.3m是确定的，所以这个函数也可以近似地表示水位的变化规律.ABtABt例1(3)如果这种上涨规律还会持续2h，那么2h后水位高度将为多少米？解：(3)如果水位的变化规律不变，则可利用上述函数预测，再过2

h，即t=5+2=7(h)时，水位高度

y=0.3×7+3=5.1(m).把图中的函数图象(线段AB)向右延伸到t=7所对应的位置，如图，从它也能看出这时的水位高度约为5.1m.5