中考数学分类汇编 解答压轴题型：二次函数综合题（解析版）

专题解答压轴题型：二次函数综合题

1.（2023•安徽）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=ad+法（〃工0）经过点43,3）,对称轴

为直线x=2.

（1）求a,2的值；

（2）已知点8,。在抛物线上，点8的横坐标为/，点C的横坐标为1+1.过点3作x轴的垂线交直线04

于点。，过点C作x轴的垂线交直线04于点E.

⑴当0v/<2时，求△CM。与AACE的面积之和；

3）在抛物线对称轴右侧，是否存在点8,使得以8,C,D,E为顶点的四边形的面积为3?若存在，

2

请求出点4的横坐标I的值：若不存在，请说明理由.

【答案】见解析

【详解】（1）:抛物线）=这2+阮（。工0）经过点43,3）,对称轼为直线x=2,

9〃+3人=3

(2)由(1)得：y=-x2+4x,

.,.当x=f时，y=-r+4],

当x=f+l时，＞'=-(r+l)2+4(r+l),即)，=一/+2/+3,

+4/),C(/+l,-/2+2r+3),

设。4的解析式为)，=依，将A(3,3)代入，得：3=33

二.A=1，

.••。4的解析式为y=x,

.•.0(//),EQ+1J+1),

⑺设8£)与x轴交于点过点A作AN_LCE,如图,

则MQ,0),N(/+l,3),

=-BDOM+-ANCE=-(-r+4f-t)t+-(-t2+2t+3-t-l)(3-i-\)=-(-t3+3t)+-(ti-lti^4)=--ti+-r+-t1--r+2=l

（万）①当2viv3时，过点。作_LCE于〃，如图,

则”(/+lj),BD=-f+4r-z=-r2+3r,CE=t+\-(-t2+2t+3)=r-t-2,DH=t+\-t=\,

S四边形DCE8=5(BD+CE).DH,

BP-=-(-r+3r+r2-r-2)x1,

22

解得：r=H

2

②当/>3时，如图，过点。作。〃_LCE于H,

则BD=t-(-t2+4/)=--3t,CE=t2-t-2.

UE=g(BD+CE》DH

11

即一=一（产-3r+r-r-2）xl,

22

解得：+1（舍去），，2=-"^+1（舍去）；

1222

综上所述，/的值为

2

2.（2022•安徽）如图1,隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形A8CD构成，矩形的一边3。为12米，另

一边为2米.以所在的直线为x轴，线段AC的垂直平分线为），轴，建立平面直角坐标系直为，规

定一个单位长度代表1米.E（0,8）是抛物线的顶点.

（1）求此抛物线对应的函数表达式；

（2）在隧道截面内（含边界）修建“E”型或“日”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点4，6在

x轴上，与矩形66G6的一边平行且相等.栅栏总长/为图中粗线段6舄，P3,尸/户长度之和，

请解决以下问题：

（i）修建一个“E”型栅栏，如图2,点八，巴在抛物线上.设点1的横坐标为〃?（0＜枢,6）,求

栅栏总长/与，〃之间的函数表达式和/的最大值；

（ii）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“E”型和“R”型两种设计方案，请你从中选择

一种，求出该方案下矩形名面积的最大值，及取最大值时点片的横坐标的取值范围在巴右侧）.

【答案】见解析

【详解】（1）由题意可得：A（-6,2）,。（6,2）,

又-E（0,8）是抛物线的顶点，

设抛物线对应的函数表达式为），="2+8,将4-6,2）代入,

（一6）2。+8=2,

解得：a=

6

抛物线对应的函数表达式为y=-如2+8；

(2)(i).•点［的横坐标为〃?(0<，%6),且四边形6666为矩形，点八在抛物线AED上,

二.鸟的坐标为(肛—nr+8),

6

.♦.4只=4a=/0%=—!62+8,R6=2m,

6

I=3(——〃/+8)+2m=——/W-+2〃2+2d=——(/w-2)~+26,

*/--<0,

2

.•.当m=2时，/有最大值为26,

即栅栏总长/与m之间的函数表达式为/=」1+2,〃+24，/的最大值为26；

2

(ii)方案一：设6a=〃，则吕6=18-3〃，

矩形PRP0面积为(18-3〃)〃=一3/+18/2=一3(〃-3>+27,

.•.当〃=3时，矩形面积有最大值为27,

此时鸟耳=3,64=9,

令」炉+8=3,

6

解得：x=±>/30,

二此时片的横坐标的取值范围为-回+索卜V30,

方案二：设/《=〃，则44=竺/=9一〃，

OQ1

二.矩形62面积为(9一〃)〃=一"2+9〃=一(〃一］)2+彳，

V-1<0,

当〃=2时，矩形面积有最大值为巴，

24

QQ

此时何=耳,取?=5,

令+8=2,

62

解得：x=±5/21,

此时分的横坐标的取值范围为-⑸+2羽kV21.

3.(2021•安徽)已知抛物线)，=0?-2%+1(4/0)的对称轴为直线工=1.

(1)求a的值：

(2)若点MJ,y),N(X2,其)都在此抛物线上，且1<毛<2.比较M与％的大小，并说

明理由；

(3)设直线)，=皿〃?>0)与抛物线)，=尔-2.1+1交于点4、B,与抛物线y=3(x-l)2交于点C,D,求

线段M与线段C。的长度之比.

【答案】见解析

【详解】(1)根据题意可知，抛物线)，二妙2-2%+13工0)的对称轴为直线：x=--=-=l,

2aa

**.a=\.•

⑵由⑴可知，抛物线的解析式为：y=x2-2x+l=(x-l)2,

,.〃=I>0,

.•.当x>l时，y随工的增大而增大，当x<l时，y随大的增大而减小，

v-1<X]<0»1<2,

1<1-X)<2,0<x2-1<1»

结合函数图象可知，当抛物线开口向上时，距离对称轴越远，值越大，

X>丁2•

(3)联立y=〃7(〃2>0)与y=d-2工+1=。-1)2,可得A(l+诟，〃?)，BQ-而,in),

AB=2\fm,

联立y=〃?(/〃>())与y=3(x-1产，可得+m),。(1一〃?)，

・・C(1+------,in)90(1----------,〃?)

33

••・CrrDt=2、X------=------V777，

33

4.(2020•安徽)在平面直角坐标系中，已知点A(l,2),5(2,3),C(2.1),直线y=x+,〃经过点A,抛物线

y=ad+阮+1恰好经过A,B,。三点中的两点.

(1)判断点8是否在直线)，=工+,〃上，并说明理由；

(2)求a,〃的值;

(3)平移抛物线)，=公2+区+1,使其顶点仍在直线y=x+〃z上，求平移后所得抛物线与)，轴交点纵坐标

的最大值.

【答案】见解析

【详解】(1)点8是在直线y=x+〃z上，理由如下:

,亘线y=1+m经过点A(1,2),

.*.2=14-in,解得〃2=1,

/.直线为y=x+\,

把工=2代入y=x+1得y=3,

/.点8(2,3)在直线y=x+〃2上;

(2)•/直线y=x+l经过点B(2,3)，直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx+\都经过点(0,1),点(0,1),4(1,2),

4(2,3)在直线上，点(0,1),人(1,2)在抛物线上，直线与抛物线不可能有三个交点,

•.3(2,3),C(2,l)两点的横坐标相同,

.•・抛物线只能经过A、C两点,

a+b+\=2

把A(l,2),。(2,1)代入)，=加+员+1得.

4a+2b+\=\

解得。=-1,b=2；

(3)由(2)知，抛物线的解析式为y=一1十2.r+1,

设平移后的抛物线的解析式为),=-寸+/*+4,其顶点坐标为勺，。+4)，

,顶点仍在直线y=x+1上,

..J、+L

，T+畀

抛物线y=-丁+px+q与y轴的交点的纵坐标为夕,

+1=--(/?-1)2,

4244

.•.当〃=1时，平移后所得抛物线与)，轴交点纵坐标的最大值为:.

(3)另解

•.・立移抛物线.V=-X2+2X+1,其顶点仍在直线为y=x+1上,

设平移后的抛物线的解析式为y=-U-4+〃+1，

)=-x1+2bx-h2+h+\,

设平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标为c,则=-h2+h+l=-(/?--)2+-

c24

.・.当〃=(时，平移后所得抛物线与)，轴交点纵坐标的最大值为q.

5.(2019•安徽)一次函数与二次函数)，="2+。的图象的一个交点坐标为(1,2),另一个交点是

该二次函数图象的顶点.

(1)求我,a,c的值；

(2)过点40,/〃)(0＜小＜4)且垂直于)，轴的直线与二次函数y=的图象相交于3,。两点，点O为

坐标原点，记W=01+802,求卬关于〃[的函数解析式，并求W的最小值.

【答案】见解析

【详解】(1)由题意得，左+4=2,解得&=一2,

:,一次函数为y=-2x+4,

又••二次函数图象的顶点为(0,c),且该顶点是另一个交点，代入y=-2x+4得：。=4,

把(1,2)代入二次函数表达式得〃+c=2,解得。=-2.

(2)由(1)得二次函数解析式为y=-2W+4,令y=〃7,得2%2+〃?-4=0

/.x=±^~，n,设C两点的坐标分别为(耳，"。(占，〃D，则8c=[X]-71=2,

:.W=OA2+BC2=/n24-4x^y^=w2-2w+8=(nz-l)2+7

.•.当m=1时，W取得最小值7.

6.(2023•瑶海区一模)在平面直侑坐标系中，点A(l,〃?)，点3(3,〃)在抛物线y=-(x-/z)2+k上，设抛物线

与y轴的交点坐标为C(0,c).

(1)当c=2,时，求抛物线的表达式；

(2)若求2的取值范围;

(3)连接。4,OB,AB,当女=4,-2＜。＜2时，AAO8的面积是否有最大值，若有请求出最大值；若

没有请说明理由.

【答案】见解析

【详解】(1)当c=2时，C的坐标为(0,2),

A=2①，

,点A(l,⑼，点B(3,〃)在抛物线了=一(工一〃)2+左上，m=n,

抛物线y=—(x—h)2+k的对称轴为直线x="3=2,

2

.•/=2,

把h=2代入①得k=6,

y=-(x-2)2+6=-x2+4x+2,

二.当c=2,,〃=〃时，抛物线的表达式为y=+4x+2；

(2);点A(1,M，点B(3,〃)在抛物线)，=-(.”/?)2+左上，抛物线与)，轴的交点坐标为C(O,c),

rn=-(\-h)2+k,n=-(3-h)2+k,c=-h2+k»

,,c<n<m,

:.-R+k<一(3—力)2+k<_(1_力)2+k,

变形整理得0<-9+6/?<-1+2h,

解得士v/?<2；

2

(3)AAO3的面积有最大值，理由如卜：

过A作八轴交。/?干如图：

・・•点4(1,5),点8(3,〃)在抛物线y-一(x-〃)2+攵上，k=4,

m=-(1-/z)2+4=-h2+2。+3,n=一(3-h)2+4=-h2+6/1-5，

A(\y-h~+2/z+3),BG,—h~+6/2—5),

v-2</z<2,

B在4下方，

设直线OB解析式为y=px,将B（3-h2+6/L5）代入得:

3p=+6/2-5,

解得p———h2+2/?——»

33

直线OB解析式为y=（-，广+2/2-|）x,

在y=（—L/I2+2〃-3）X中，令工=1得），=—」/「+2/?—8,

3333

0（1,一#+2〃一令，

•8在A卜方，

.•./）在A下方，

2

AD=一02+2力+3-（力2+2/7--）=--/7+—,

3333

ADX2

S&AOB=；'I1=I（一［a+弓）X3=+7'

.•・当力=0时，5AA。8取最大值，最大值为7,

.•.A4Q8的面积有最大值，最大值是7.

7.（2023•合肥一模）如图，抛物线y=奴2+区+3与x轴的两个交点坐标为A（_I,O）、8（3,0）.

（1）求抛物线），=如2+加+3的函数表达式；

（2）矩形尸QMN的顶点尸，。在x轴上（P,。不与A、8重合），另两个顶点M,N在抛物线上（如图）.

①当点P在什么位置时，矩形PQWV的周长最大？求这个最大值并写出点尸的坐标；

②判断命题“当矩形QQMN周长最大时，其面积最大”的真假，并说明理由.

【答案】见解析

［详解］（1）设抛物线的表达式为：尸a［x71）（x-x2）,

则y=a（x+l）（x-3）=a（x2-2x-3）,

则-3a=3，

解得：a=-\,

故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3；

(2)抛物线y=-d+2%+3的对称轴为x=l,

设点P(x,0),则N(x,-x2+2x+3),

①P、。关于x=l对称,

Q(2—x,0)>则M(2—Xy—x2+lx+3),

矩彩PQMN的周长为/=2(2—x—x—f+2x+3)=-2x2+10,

当工=0时，/的值最大，最大值为10,

即P在(0,0)时，矩形PQMV的周长最大，最大值为10：

②假命题.由①可知，当矩形周长最大时，长为3,宽为2,面积为6,

当为正方形时，PQ=2-x-x=PN=-x2+2x+3,

解得：x=2±V5,

点尸的坐标为(2-石,0)，点Q的坐标为(石,0),

则PQ=6-2+石=2行-2,

正方形PQMN的面积=(2逐-2)2=24-8x/5>6；

故命题是假命题.

8.(2023•庐阳区校级一模)已知抛物线y=d-(〃?+l)x+/〃2-2.

(1)当帆=1时，求此抛物线的对称轴和顶点坐标；

(2)若该抛物线y=x2-(m+l)x+m2-2与直线y=x+2m+\的一个交点尸在y轴正半轴上.

①求此抛物线的解析式；

②当，做〃+1时，求)，的最小值(用含〃的式子表示).

【答案】见解析

【详解】(1)当〃?=1时，y=x2-2x-1=(x-1)2-2

.•・抛物线的对称轴为直线x=l,顶点坐标为(1,-2)；

(2)①将x=0代入y=x++1得y=2m4-1,

点尸坐标为(0,2m+1),

将(0,2m+1)代入y=x2-(m+l)x+m~-2得+\=m2-2,

解价m=3或帆=—1,

当加=T时，2〃z+l=-l,点产石)，轴负半轴，不符合题意,

当机=3时，2〃z+l=7,点P在)轴正半轴，符合题意.

/.抛物线的解析式为y=V-4x+7.

②y=炉-4x+7=(x-2)2+3,

抛物线开口向上，顶点坐标为(2,3),

将r=〃代入y=x2-4x+7得y=/—4〃+7,

将X=〃+1代入y=x2-4x+7得）,=〃?一2〃+4,

当〃+1<2时，n<1>y=〃2-2〃+4为函数最小值;

当〃>2时，)，=/-4〃+7为函数最小值；

当掇加2时,，y=3为函数最小值.

9.(2023•庐阳区一模)如图I,抛物线+c与x轴相交于点人，点儿与y轴相交于点C,

40=80=2,C(0T).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2,点P为CO上一点(不与C,O重合)，过点尸作CO的垂线，与抛物线相交于点E,点尸(点

石在点尸的左侧)，设P尸="，PC=d,求d与，〃的函数解析式.

【答案】见解析

【详解】(1)，.04=08=2,

A(-2,0),8(2,0),

将A(-2,0),4(2,0),。(0,-4)代入抛物线丁=必2+瓜+。,

4ci-2b+c=0

«4a+2〃+c=0,

c=-4

解得4b=0,

c=-4

/.抛物线的解析式为)，=/一4；

(2)•.,点尸的横坐标为〃？，且点尸在抛物线)，=/一4上,

?.F(m,m2-4),

/.P(0,〃?2-4),

•.C(0T),

PC=m2-4-(-4)=w2(0<m<2),

/.d与的函数解析式d=in2(0<in<2).

10.(2023•合肥模拟)如图，抛物线y=〃/十以十c经过A(-l,0),8(3,0),C(0,3)三点，。为直线6C_L

方抛物线上一动点，过点。作轴于点Q,OQ与8C相交于点M.DE上BC于E.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)求线段£)£长度的最大值；

(3)连接AC,是否存在点。，使得中有一个角与NC4O相等？若存在，请直接写出点。的坐标;

若不存在，请说明理由.

yA

【答案】见解析

【详解】⑴•.•抛物线y=a?+bx+c经过4(T,0),8(3,0),C(0,3)三三点,

设抛物线解析式为y=a(x+l)(x-3)>

将C(0,3)代入，得：6/X(0+1)X(0-3)=3,

解得。=一1,

/.y=-(x+l)(x-3)=-x2+2x+3,

:.抛物线解析式为y=-X2+2A-+3；

(2)设D(m,-m2+2m+3),且0v/〃v3,

在RtABOC中，BO=3,OC=3,BC=V32+32=3x/2,

设直线3c的解析式为y="+〃，将8(3,0),C(0,3)代入,

13k+n=0

I；f-9

解得

〃二3

二.直线3C的解析式为y=-x+3,

M(〃?,一/〃+3),

/.DM=-nf+2m+3-(-tn+3)=-"F+3m,

•.•DEIBC,

.•.ZDEW=ZBOC=90°,

•OQ_Lx轴，

OQ//y轴，

:.NDME=NBCO,

:.^DMEs^BCO、

DEBODE3

——=—,即Hn一；----=―产,

DMBC?4+3加372

八FV223正，）正，，）3、29夜

/.DE=----m+----m=?——（〃"一）+----,

22228

.•.当时，OE取得最大值，最大值是迪；

28

（3）存在点。，使得△CD匹中有一个角与NC4O相等.

.•.3=1,OC=OB=3,

/.ZOBC=NOCB=45。,

\OQ_Lx轴，

NBMQ=NDME=45。,

yDE上BC,

:.ME=DE,

设D(m,-/w2+2m+3),且0vv3,则M(m,-m+3)>

:.CM=://+(—加+3—3)2=五m,

由(2)知。E=—也"产+迪

22

.zB(叵、叵2叵

：.CE=\J2m-(---mH-----m)=——m-----m,

2222

①若NDCE=NC4O,

OC

tanZDCE=tanZCAO=—=3,

OA

DF

•••tanZDCE=—=3,

CE

:.DE=3CE,

解得〃7=3或0（舍去），

2

.•.点。的坐标为导）：

tanZ.CDE=---=3,

DE

;.CE=3DE,

一叵23夜、叵2母

・・3（------〃1+----7/7）=—m----TH,

2222

解红〃2=*或0（舍去），

2

•・•点O的坐标为弓，（）；

综上，存在，点。的坐标为（|,?）或（£，（）・

11.（2023•蜀山区二模）在一次竖直向上抛球游戏中，小球上升的高度〃（/〃）与小球抛出后经过的时间"s）满

（1）求小球上升的最大高度;

（2）若竖直向上抛出小球时再给小球一个水平向前的均匀速度可〃〃$）,发现小球上升高度力（，〃）与小球抛

出后水平距离满足如图2所示的抛物线，其中x=vt,而小球上升高度h（m）与时间心。仍满足/.

①当u=6/〃/s时，求小球上升到最高点时的水平距离x；

②在小球正前方8〃?处的挡板上有一空隙MN,其上沿M的高度HM为3.75m，下沿N的高度HN为32〃,

若小球卜.落过程恰好从空隙中穿过(不包括恰好击中点M,N,挡板厚度不计)，请求出此时-的取值范围.

【答案】见解析

【详解】(1)/z=10r-5r2=-5(r-2r+l-l)=-5(r-l)2+5,

-5<0,

.•.当31时，〃有最大值，最大值为5,

答：小球上升的最大高度为5〃?；

(2)@,x=V7,且当，=1时，小球上到最高点，

.,.当y=6时，x=6x1=6>

.•.当y=6〃〃$时，小球上升到最高点时的水平距离x=6：

②根据题意知，M(8,3.75),N(8,3.2),

当小球刚好击中M点时，-5『+10/=3.75,

解得1=1.5或，=0.5,

,./>1,

.\z=1.5,

此时y=二=3=3,

t1.53

当小球刚好击中Q点时，-5/+10/=3.2,

解得/=2或，=2,

55

*//>!»

8

5

此时u」=1=5,

to

5

的取值范围为：5<v<—.

3

12.(2023•蜀山区校级一模)已知抛物线=2Ar+c；

(1)若抛物线C的顶点坐标为(1,-3),求〃、c的值；

(2)当c="2,&2时，抛物线。的最小值是-4,求〃的值；

(3)当。=尸+1,3物r〃7时，W-2Z?K+G,工一2恒成立，则〃?的最大值为

【答案】见解析

【详解】（I）.•抛物线C的顶点坐标为（1,-3）,

j=(x-l)2-3=x2-2x-2,

2Z?=-2»b=l,c=—2；

（2）-c=b+2

y=x2-2bx+c*=x2-2bx+b+2,对称轴为x=6,

①当〃vO时，由题意可知〃+2=~4，解得。=-6,符合题意；

②当喷62时，4S+2X4J4解得々=3,8=-2,不合题意舍去;

4'

③当。＞2时，根据题意可知22—奶+〃+2=T,解得8=皿，符合题意；

3

综上所述，所求b的值为-6或3.

3

（3）当。=从+1时,抛物线C的解析式为y=（x-e+l,

如图所示，抛物线C的顶点在直线y=l上移动，

当3蛋火〃?时，X2-2bx+j,x-2恒成立，

则可知抛物线C的顶点坐标为（3,1）,

设抛物线C与直线y=x-2除顶点外的另一个交点为M,

此时点M的横坐标即为切的最大值，

由］=a—3）2+1解得玉=3…=4,

y=x-2

二.W的最大值为4.

13.（2023•瑶海区二模）已知：抛物线），=寸一20¥与工轴交于点4、B（点8在x轴正半轴），顶点为C,

且AB=4.

（1）求a的值:

(2)求AA8C的面积；

(3)若点2为抛物线上一点，轴交直线y=于点M,求的最小值.

【答案】见解析

【详解】(1)令y=0,HOX1-2ax=0»

解得内=(),受=2〃，

.*.A(O,O),8(0,2a),

.•点8在x轴正半轴，

.,.d>0♦

2〃=4,

解得4=2：

(2)由(1)知，y=x2-4x=(x-2)2-4,

.•.C(2,-4),

S

^BC=^AB|yc|=^x4x4=8;

(3)设P(m,〃P-4"。，则M,如图所示：

3

,484,20

则PM=/w2-4/n—(——in-4)=nV——m+4=(m——)24，

3339

当〃?=d时，PM有最小值型.

39

.•.尸M的最小值为型.

9

14.(2023•包河区二模)如图，已知抛物线C:)，=以2+灰+3与大轴交于4(_3,o),两点,与y轴交

于点C,抛物线的顶点为。.

(1)求抛物线。的解析式及。点的坐标;

(2)将抛物线C向右平移〃7(〃7>0)个单位，设平移后的抛物线9中y随X增大而增大的部分记为图象G,

若图象G与直线AC只有一个交点，求小的取值范围.

【详解】(1)把A(-3,0)、B(l.O)代入y=o?+次+3得：

0=9。-3〃+3

0=〃+2+3

解得：：

b=-2

y=-x2-2x+3=-(x+1)?+4,

即抛物线顶点D的坐标为(-1,4)；

(2)「抛物线y=-f—2x+3与y轴交于点C,

当r=0时.y=3.

.\C(0,3),

设直线AC的解析式为：y=kx+0),

把A(-3,0)、C(0,3)代入得,

0=-3k+n

3=0+〃

|^=1

解1a»

即yfAc=x+3，

由题意设平移后的抛物线的解析式为：然=-*+1-〃?尸+4,

顶点〃的坐标为。〃-L4),

若图象G与直线AC只有一个交点，

①当戈=加一1时，y>yAC,

即4>〃?—I+3,

解得〃z<2；

2

®y=yAC»BP-（x+1-m）+4=x+3,

整理得x2+（3-2m）x+m2-2m=0,

△=（3-2M2-4（〃/-2m）=0,

解得m=2.

4

综上所述，若图象G与直线AC只有一个交点，，〃的取值范围为0<〃?v2或〃7=2.

4

15.（2023•庐阳区二模）某公司调研了历年市场行情和生产情况以后，对今年某种商品的销售价格和成本

价格进行预测，提供了两方面的信息，如图所示.图1的图象是线段，图2的图象是部分抛物线.

（1）在3月份和6月份出售这种商品，哪个月商品的单件利润更大？

（2）从3月份到8月份，哪个月商品的单件利润最大？最大利润是多少？

【答案】见解析

【详解】（1）由题意可知：

3月份的单件利润为：6-1=5（元），

6月份的单件利润为：8-4=4（元），

.•.在3月份和6月份出售这种商品，3月商品的单件利润更大；

（2）设线段的解析式为y=内+伙//0）,代入（3,6）,（6,8）,得：

3k+b=6

6k+b=8'

\k=l

解得：3，

b=4

线段的解析式为_v,=|r+4(3^i18),

由图可知：抛物线的顶点坐标为(6,4),

设抛物线的解析式为必=加一6族+4,代入(3,1)得:

ax(3-6曰+4=1,

解得：a=—，

3

2

抛物线的解析式为y2=--(r-6)+4(3jgi)8),

设单件利润为卬元，

由题意可得：K=-x+4-[--(r-6)2]=-r2-—^+12=-(r-5)2+—,

333333

.・.抛物线的对称轴为x=5,

-.185|>|35|,

.•.当x=8时，卬有最大值，最大值为Lx(8—5)2+I=药，

333

.••从3月份到8月份，8月商品的单件利润最大，最大利润是亚元.

3

16.(2023•庐阳区校级二模)某公园要在小广场建造一个喷泉景观.在小广场中央O处垂直于地面安装一

个高为1.25米的花形柱子安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛

物线路径落下，且在过04的任一平面上抛物线路径如图1所示.为使水流形状较为美观，设计成水流在距

Q4的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米.

(1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到04水平距离为1米,水流喷出的高度为y米，

求出在第一象限内的抛物线解析式(不要求写出自变量的取值范围)；

(2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到,

此时他离花形柱子。4的距离为d米，求d的取值范围：

(3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面5、。处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45。角，如图3

所示，光线交汇点尸在花形柱子Q4的正上方，其中光线所在的直线解析式为y=-x+4,求光线与抛物

线水流之间的最小垂直距离.

【答案】见解析

【详解】(1)根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为(1,2.25),40,1.25),

设第一象限内的抛物线解析式为J=心=+2.25,

将点A(0,L25)代入物线解析式,

1.25=4(0-1)2+2.25,

解得。=一1,

/.第一象限内的抛物线解析式为J=-(X-1)2+2.25；

(2)根据题意，令y=1.76,

即-(1尸+2.25=1.76,

解得与=0.3,x2=1.7,

*/-I<0,抛物线开口向下，

.,.当0.3vxv1.7时，y>1.76,

」.d的取值范围为Q3vdvL7；

(3)作直线I3P的平行线/，使它与抛物线相切于点D,分别交x轴，)，轴于点E,尸，过点E,作KG_L,

垂足为G,如图所示，

\1//PB,

设直线/的解析式为y=—x+m,

联亚直线与抛物线解析式，

y=-x+in

)，=_(.(_1)2+2.25

整理得x2-3%+加一1.25=0,

「直线/与抛物线相切，

.••方程只有一个根，

=32-4x1x（in-1.25）=0,

解得m=3.5,

.••直线/的解析式为y=—x+3.5,

令y=0,则x=3.5，

/.£（3.5,0）,

/.BE=4-3.5=0.5，

即=L

2

射灯射出的光线与地面成45。角，

/.Z£BG=45°»

•./既汨=90P，

/口R「_EG垃

sin/EBG=---=—>

EB2

3正」二正，

224

无线与抛物线水流之间的最小垂直距离为巫米.

4

17.（2023•庐江县模拟）对于一个函数，自变量x取。时，函数值y也等于。，则称〃是这个函数的不动点.已

知抛物线y=-x2+2x十m.

（1）若抛物线经过点4求该抛物线的顶点坐标；

（2）如图，在（1）的条件下，在x轴上方作平行于x轴的直线/,与抛物线交于C两点1点C在对称

轴的右侧），过点4,。作x轴的垂线，垂足分别为E，D.当矩形4CDE为正方形时，求5点的坐标.

（3）若抛物线），=-/+2.1+〃1有两个相异的不动点”、〃，且〃<2<力，求机的取值范围.

【答案】见解析

【详解】（1）把x=-2,y=-1Ay=-x2+2x+in.

则_4-4+/〃=-1,

二."2=7,

/.j=-x2+2x+7=-(x-1)2+8,

二抛物线的顶点为0,8)；

(2)设点B(m-m2+2m+7),则点C(2-m-m2+2m+7),

•.•厄形8CDE为正方形，则8c=8E，

即2-m—m=-tn2+2m+7,

解得：m=5(舍去)或-1,

当〃7=-1时，—nf+2m+7=4,

即点8(-1,4)；

(3)由题意知二次函数产-/+21+加有两个相异的不动点”，人是方程「？+2.、+6=”的两个不相等实

数根，且a〈2vZ>,

整理得：x2-x-w=0»

由片-x-〃=。有两个不相等的实数根，且a〈2vb,知△>(),

令了二/一工一加，画出该二次函数的草图如下：

即x=2时，j<0,

则4-2一m<0,

解得：/«>2.

即用的取值范围为m>2.

18.(2023•合肥二模)如图，某数学兴趣小组以楼梯为场景设计的小球弹射实验示意图，楼梯平台回宽为

3,AB前方有六个台阶7；~7；(各拐点均为90。)，每个台阶的高为2,宽为2,楼梯平台到x轴距离04=14,

从y轴上的点C处向右上方弹射出一个小球?(小球视为点)，飞行路线为抛物线=+2x+]6,

当点尸落到台阶后立即弹起，其飞行路线是与心形状相同的抛物线.

(1)通过计算判断小球〃第一次会落在哪个台阶上；

(2)若小球P第二次的落点在台阶7；中点M上，求小球尸第二次飞行路线的解析式:

(3)若小球P再次从点M处弹起后落入x轴上一圆柱形小球接收装置(小球落在圆柱形边沿也为接收),

接收装置最大截面为矩形a7G"，点E横坐标为16,EF=\,a7=1,求出小球第三次飞行路线的顶点到

x轴距离最小值.

【答案】见解析

【详解】(1)•.•楼梯平台宽为3,每个台阶的高为2,宽为2,0A=14,

二•第二个台阶的左端点坐标为(5/0),右端点坐标为(7,10),

当工=5时，y=--x25+10+16=13.5>10；

2

当人=7时，j=-1x49+14+16=5.5<10;

2

故与抛物线交点在(5.10),(7,10)之间，

当y=10时，一Lxx2+2x+16=10,

.2

解得x=6,x——2(舍去)，

二•小球落在第二个台阶上，此时点P(6,IO).

(2)根据(1)得到P的起点坐标为(6,10),再次着地左端点横坐标为x=3+2x(5-1)=11,纵坐标为

>=14-2x5=4,结合台阶宽为2,得到点P的落地点坐标为(12,4),

设解析式y=--^x2+bx+c

——x36+6力+c=l()

得2

一xl44+12b+c=4

2

解得

故解析式为y=-gY+8A-20.

(3)根据(2)得到P的起点坐标为(12,4),近地点坐标为(16』),

设解析式y=~x2+bx+c,

I--x256+16Z?+c=1

得；,

—xl44+12/7+c=4

2

'=53

解得｛丁•

c=-83

故解析式为y=--x2+—x-83,

24

।33

4X(--)X(-83)-()^

此时，函数的最小值为处心7153

4x(-；)32

根据(2)得到户的起点坐标为(12,4),远地点坐标为(17,1),

设解析式y=-^x2+Z?x+c,

|-ix289+l7/?+c=l

得；,

一一x144+12/?+c=4

I2

,139

b=---

解得10

908

c=----

10

故解析式为尸一入、需x一零

一1、，908、，139、，

44c-b24xJRx(---)

此时，函数的最小值为把一匕=——z---------4——应―1161

加4x(-1)-^00

1531161

-32<^00*

个球第三次飞行路线的顶点到x轴距离最小值是包.

32

19.(2023•庐阳区校级一模)如图，抛物线)，=⑪2+版—3过点A(-1,0),8(3,0),且与)，轴交于点C,

点E是抛物线对称轴与直线BC的交点

(1)求抛物线的解析式；

(2)求证：BE=2CE；

(3)若点尸是第四象限内抛物线上的一动点，设点尸的横坐标为x,以点8、E、P为顶点的皮5砂的

面枳为S,求S关于x的函数关系式，并求S的最大值.

【详解】(1)将点4—1,0)、8(3,0)代入了=w2+灰-3,

导：\a-b-3=0»

]9。+3〃-3=()

a=1

解得:

b=-2'

则抛物线的解析式为)，二/一2工-3：

(2)vy=x2-2x-3=(x-l)2-4,

.•.抛物线的对称轴为直线％=1,

则00=1、BD=2,

DEIIOC,

晋二器=2,即g2抽

(3)•1点5(3,0)、C(0,-3),

...设直线BC解析式为y=+”，

3m+〃=0

则，C，

n=-3

m=1

{72=-3

y=x-3；

当x=1时,y=-2,

£(1,一2),

如图，作_Ly轴于点/，8_1,)，轴于点6,

设点P(x,X2-2X-3)(0<X<3),

则MEP的面积为S=S^BOFP-SWB0GE-S^EGFP

=^-x(x+3)(-x2+2x+3)--x(l+3)x2--x(l+x)(-x2+2x+3-2)

222

=-x2+3x

/3、29

=-(x——)+—,

24

39

.•.当x=3时，S取得最大值，最大值为二.

24

20.(2023•合肥一模)如图，已知抛物线.y=-d+4x+k与x轴的一个交点为8(5,0),与)，轴交于点A.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P是抛物线上位于直线AA上方的动点，分别过点P作x轴的平行线交抛物线于点。，作)，轴的

平行线交直线于点。，以PQ、红)为边作矩形尸QE。，求矩形PQEO周长的最大值，并求出此时点P

的坐标：

(3)若点N是抛物线对称轴上的•点，在抛物线上是否存在一点M,使得以A、N、B、M为顶点的四

边形是平行四边形，若存在，请宜接写出点M的坐标.

（备用图2）

【答案】见解析

【详解】（1）把3（5,0）代入），=-.P+4x+k得0=—25+20+左，

解得太=5.

这个抛物线的解析式为：y=-f+4.r+5；

(2)•.抛物线的解析式为：)，=—d+4x+5=—(x—21+9,

.••人(0,5),对称轴为x=2,

设直线48的解析式为y=ar+〃，

5a+b=(),\a=-\

・•.「《，解得％u，

b=5[/?=5

直线A〃的解析式为y=-x+5,

设P(x-x2+4x+5),贝ljD(x,-x+5),

,/PQ//x釉，

/.0(4-x,-x2+4x+5)，

由题意得，当点尸在对称轴右侧时，矩形PQE。的周长最大，