高考数学重难点复习突破：幂函数与二次函数方程与不等式（新高考专用）解析版

专题2・3赛函数与二次函数，方程与不等式

近4年考情(2020・2024)

考题统计考点分析考点要求

2020年天津卷第3题，5分从近五年全国卷的考查情况来

看，本节内容很少单独命题，

2020年江苏卷第7题，5分(1)瓶函数的定义、图像

寐函数要求相对较低，常与指数

与性质

2024年天津卷：第2题，5分函数、对数函数综合，比袋掠

(2)三个二次之间的关系

值的大小，多以选择题、填空

2024年上海卷：第3题，5分

题出现.

模块一热点题型解读(目录)

【题型1］赛函数的定义及国像

【题型2】由森函数的单调性比较大小

【题型3】露函数的图象与性质的综合应用

【题型4】三个“二次”关系的应用

【题型5】由一元二次不等式的解集求参数

【题型6】解含参一元二次不等式

【题型7】二次函数的图象、单调性与最值

【题型8】含参一元二次不等式恒成立问题(1):判别式法

【题型9】含参一元二次不等式恒成立问题(2):参变分离法

【题型10】含参一元二次不等式恒成立问题(3):变更主元法解

【题型11】一元二次不等式能成立问题(不等式有解)

【题型12］一元二次方程根的分布

模块二核心题型-举一反三

【题型1］幕函数的定义及图像

基础知识

1.暴函数的解析式

寐函数的形式是歹其中只有一个参数a,因此只需一个条件即可确定其解析式.

2.幕函数的困象与性质

在区间(0,1)上，寐函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+8)上，寐函

数中指数越大，函数图象越远离X轴.

1.（多选题）（2024•新疆喀什・一模）若函数>=（］-m-1尸是塞函数，则实数m的值可能是（）

A.m=-2B.m=2C.m--\D.in=1

【答案】BC

【解析】y=（.一〃［一］）/是底函数，则〃『一〃?_］=］,解得〃?=2或〃?=一1.

【巩固练习1】（2024•山东日照•二模）已知塞函数图象过点（2,4）,则函数的解析式为1）

2

A.y=2‘B.y=xC.y=log2xD.y=sinx

【答案】B

【解析】设寐函数的解析式为），=/，由于函数过点（2,4）,故4=2。，解得。=2,该球函数的解析

式为），=/：

故选：B

【巩固练习2】已知函数=向为爆函数，则/（/_2a）+/（2a—/）=（）

A.0B.-1C.a2D.a6-a4

【答案】A

【解析】由题意有m一1=1,可得帆=2J（x）=x\其定义域为R,

且f（-X）=（一域=T3=-f（x）,则函数/（X）为奇函数,

所以%）+/（2。-/）=0.

【题型2】由暴函数的单调性比较大小

基础知识

在比较募值的大小时.必须结合流值的特点,选择适当的函数.借助其单调性进行比较.准确掌提

各个赛函数的图象和性质是解题的关键.

2.若4=（手，6=logi|,《=3七贝Ua，AC的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.a<b<c

【答案】C

,2,1,1161—

【解析】）2=logi、>logi7=l,4]>2=（12）12>（3尸

15228181

所以a,b,c的大小关系为〃>a>c.

【巩固练习1】设a=(|y,/,=(|『，C=(|J,则a,〃、c大小关系是,

【答案】a>c>b

【解析】因为/(»=j在(o,+8)单调增,

所以(l)>c即〃>J

因为g(x)=(g)在(-C0,*。)单调减，

32

所以弓J<[j，即°>〃，综上，a>c>b.

【巩固练习2](2024•江西宜春•模拟预测)已知鼎函数/'(X)=一1)”的图象过点(m,8).设a=

032

/(2),d=/(0.3),c=/(log20.3),则a,b,c的大小关系是()

A.b<c<aB.a<c<b

C.a<b<cD.c<b<a

【分析】根据球函数的定义求出函数/'(x)解析式，再利用球函数的单调性比较大小而得解.

【解析】因蕊函数/1(%)=(加一1)”的图象过点(加,8),则比一1=1,且m〃=8,

于是得m=2,几=3,函数八%)二/，函数/(%)是R上的增函数，

而log20.3<0<0.32<1<2°3,则有f(log20.3)</(0.32)</-(20-3),

所以cVbVQ.

【巩固练习3】(2024.河北衡水・三模)已知1。8“；<1,j<],则实数。的取值范围为()

A.阳B.(0,1)C,(1,+?)D..

【答案】A

【解析】由loga^vl,得或0va<!，

44

由(5<1,得。>0,

由/<1,得Ova<l,

J.当logjvl,f-1<1,一〈I同时成立时，取交集得0va<：

41474

【题型3】露函数的图象与性质的综合应用

基础知识

紧扣赛函数)，二X”的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意。为奇

数时，/为奇函数,。为偶数时，工。为偶函数.

3.已知寻函数/(%)=/(m,7i£Z),下列能成为“/⑺是R上的偶函数”的充分条件的是()

A.m=—3,n=1B.m=l,n=2

C.m=2,n=3D.m=l,n=3

【分析】根据寐函数的性质，结合充分条件的定义进行判断即可.

【解析】当m=—3,〃=1时，f(x)=x~3=卡，

因为函数/(x)=5的定义域(一8,0)1)(0,+8),关于原点对称，且/(一%)==-3二一/(幻，

XIX)X

所以f(x)=*为奇函数，不合题意，故A错误；

当m=l,n=2时，y(x)=xz=Vx»因为/(%)=正函数的定义域［0,+8),不关于原点对称，

所以/(%)二正为非奇非偶函数，不合题意，故B错误；

21

当7n=2,n=3时，y(x)=X2=觇记，定义域为R,关于原点对称，且/(一切=7(-x)=Vx=/(%),

所以f(x)=■为偶函数，符合题意，故C正确：

当7H=1,71=3时，f(x)—X3.定义域为R.关于原点对称,且f(—X)—(―X)3——X3——

所以f(x)=蓝为奇函数，不合题意，故D错误.

【巩固练习1］已知ac卜2,-1,-C，l,2,3}.若暴函数/(©=/为奇函数，且在(0,+8)上递减，则

«=.

【答案】T

【解析】因为球函数/(x)=,d在(0,抬)上递减，所以。=一2-1,—3，

又赛函数/(x)=x"为奇函数，可知a为奇数，即。=-1.

【巩固练习2】已知塞函数/(工)=(2切-1)乂1的图象经过点(2,8),下面给出的四个结论：9〃力=/；

②/(x)为奇函数；③/(x)在R上单调递增；④其中所有正确命题的序号为()

A.①④B.②③C.②④D.①②③

【答案】B

【解析】对于①：由寐函数的定义可知2根-1=1,解得加=1,

将点(2,8)代入函数/(x)=Z得2"=8,解得〃=3,

所以/(力=/，故①错误：

对于②：因为定义域为R,且/(—%)=(—力3=—/=—/(%),

所以/(x)为奇函数，故②正确；

对于③：由簌函数的图象可知，/(%)在R上单调递增，故③正确；

对于④：因为]2+1之1,旦/(X)在R上单调递增，所以/(/+])>/(]),故④错误，

综上可知，②③正确，①④错误.

【巩固练习3】(山东薄泽•三模)已知函数/1(幻=%34-(a-2)x2+2x+b在[-2c-l,c+3]上为奇

函数，则不等式/(2x+1)+/(a+b+c)>0的解集满足()

A.(-2,4]B.(-3,5]C.(-|,2]D.(-2,2]

【分析】根据函数的奇偶性求出参数a、b、c的值，从而得到函数解析式与定义域，再判断函数的单

调性，结合单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.

【解析】因为函数f(x)=x3+(a—2)x2+2x+b在[—2c-l,c+3]上为奇函数，

所以-2c-1+c+3=0,解得c=2,又/"(一%)=-/(幻，

即一/+(Q-2)x2-2x+b=-x2-(a-2)/-2x-b,

所以2(a—2)/+2b=0,解得Ft]°,解得｛；;女，

所以/'(x)=/+2x,xe[-5,5],

由y=/与y=2%在定义域[-5,5]上单调递增，所以/•(%)在定义域[-5,5]上单调递增，

则不等式/'(2%+l)+f(a+b+c)>0,即/(2%+1)+/(4)>0,等价于f(2%+1)Uf(-4),

所以｛—算5,解得qVXW2,即不等式的解集为(一”]

【题型4】三个“二次”关系的应用

基础知识

二次函数)，=。/+法+。的图象、一元二次方程OX”+历#「0的根与一元二次不等式

ax2-1-bx+c>0与a^+bx+c、<0的解集的关系，可归纳为：

方程的判别式

△>0

△=b2-4ac△=0△<0

]

y=ax2+bx+c

(a>0)的图象

□文L■人NUL

2有两相等实根

ax+bx+c=0有两相异实根

(a>0)的根b没有实根

”1，“2(-VI<V2)y五

ax2+bx+c>0

x>x｛加-刍

(a>0)的解集或l}R

ax2+bx+c<0

{x|Xj<X<x}

(a>0)的解集2<z>0

若兴0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解.

通过以上论述，可对“三个二次”的关系有一个较为全面的了解，在解题中，我们要不失时机的渗

透“三个二次”三位一体的忠维意识，实现“三个二次”之间的相互转换，能自然规范的运用函数

方程思想、数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想，提高数学解题思维水平。

知识点诠释：

(1)一元二次方程以2+〃X+C=0(QW0)的两根内、々是相应的不等式的解集的端点的取值，是

抛物线y=ar2+bx+c与工轴的交点的横坐标；

(2)表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为

二次项系数为正的形式，然后讨论解决；

(3)解集分△>(),△=(),△<()三■种情况，得到一元二次不等式依2+〃X+C>0与+取+(?<0

的解集.

2

4.(2020・山东・高考真题)已知二次函数y=ax+bx+c的图像如图所示，则不等式a/+bx+c>

A.(-2.1)B.(-OD.-2)U(l,+<»)C.[-2,1]D.(-«>.-2]U

n,+8)

【分析】本题可根据图像得出结果.

【解析】结合图像易知，不等式。工2+6%+。>0的解集（一2,1）

【巩固练习1】不等式加_-.+00的解集为3-2<%<1},则函数”32-必+。的图象大致为（）

【答案】A

【解析】因为以2-灰+c>0的解集为卜|一2<%<1},

所以方程or?-bx+c=O的两根■分别为一2和1,且〃<0,

-2+1=-,

则（“变形可得[b=-a,

-2a,

（一2）x1哈(c=

故函数y-cu^-bx+c=a>c2+ar-2z/=«（.r+2）（x-l）的图象开口向下，

且与x轴的交点坐标为（1,0）和（-2,0）,故A选项的图象符合.故选：A

【巩固练习2】关于x的不等式/一2如_&/<o（a>o）的解集为（不％），且占一%二15,则斫

()

【分析】看问题：求实数a的值.（属于求值问题）

想方法：寻找等量关系建立关于所求量的方程，利用方程思想求解，

看条件：f一2奴一8/<0（。>0）的解集为（/看），且看一玉二15,

定措施：由题意知/，西是方程》2一2公：_8。2=0的两根，根据韦达定理及工2一工1=15建关于a方

程去求值。

【答案】A

【解析】因为关于x的不等式x2-2ax-Sa2<0（a>0）的解集为（为，乙）,所以

2

x]+x2=2a,x]x2--Sa,又占一百二匕，所以（吃一范了=（%+%）？一4々斗=36/=152,

解得。=±*,因为〃〉0,所以〃=*.

22

【题型5】由一元二次不等式的解集求参数

基础知识

先判断开口方向，再结合图像，通过韦达定理列出参数相关的方程组

5.己知关于x的一元二次不等式曲2+/*-cvO的解集为{x|3<x<5},则不等式1+法-a>0的

解集为（）

A.卜X/或

53j

【答案】D

【解析】因为关于工的一元二次不等式如2+人X—°<0的解集为{X[3<X<5},

所以。>0且方位ar'+/“-c=0的舟串为3,5,

bc

所以一上=8,-±=15,所以6=-8m。=-15々，

aa

则不等式cd+bx-a>0,即为不等式一15at2-8av-«>0,

则I5f+&Y+1<0,解得一；<x<一,,

所以不等式cr?+bx-a>。的解集为，]-5<%<一^».故选：D.

6.（多选题）（2024・高一•江苏•专题练习）已知关于x的不等式以2+法十°N0的解集为{巾工-3或

x>4},则下列说法正确的是（）

A.a>0

B.不等式6+c〉0的解集为卜,<-4}

C.不等式以2-加:+4<0的解集为,xX<-蓼或X>三，

I43/

D.a+b+c>0

【答案】AC

【解析】关于x的不等式ar?+尿+c20的解集为（YO,-3]=[4,y）,

所以二次函数y=ap+〃x+c的开口方向向上，即。>0,故A正确;

且方程a^+^x+cn。的两才艮为一3、4,

-^=-3+4r,

ab=-a

由韦达定理得｛a,解得s.

c..c=-\2a

-=-3x4

a

对于B,Z?x+c>0<=>-cix-\2^?>0,由于。>0,所以xv-12,

所以不等式加+c>0的解集为｛x|x<T2｝,故B不正确；

b=-a,、

对于C,因为<,所以cr?一〃x+a<。，即-IZar?+or+avO,

c=-\2a

所以12/—人一1>0,俞毕得x<一;或

43

所以不等式cr?一〃x+4<0的解集为，xxb（或»,故C正确；

对于D,a+b+c=a-a-\2a=-\2a<0,故D不正确.

【巩固练习1】（多选题）（2024・高•一•湖南株洲•期中）已知不等式泼+bx+cWO的解集为

或XN3},则下列结论正确的是（）

A.a<0

B.a+b+c>0

C.c<0

D.cr?-/状+〃<0的解集为1-g<x<l

【答案】ABD

t解析】闪为不等式ax2+bx+cK0的解集为{MxV—1页、工23},则-1,3是方程ax2+bx+c=0的

a<0

两根，则1+3=-2,解得〃<0/=-2〃,。=-3a>0,故A正确，C错误：

a

-1x3=-

a

因为a+b+c=a-27-3<7=Tn>0,故B正确；

不等式以2一法+。<0可以化简为3/-2x-l<0,解得一；<“<1,故D正确：

故选：ABD

【巩固练习2】（多选题）（2024•高一・山东聊城•期末）不等式/+加+羟0的解集是何-l«x<2},

则下列结论正确的是（）

A.«+/?=0B.a+b+c>0C.c>0D.b<0

【答案】ABC

【解析】因为不等式以2>0的解集是｛R-1<工<2｝,

b

-=-l+2=l>0b>0

a,所以•

可得a<0,且《b=-at所以“+〃=0,c>0,〃>0,

-=-2<0c?>0

a

所以A、C正确，D错误.

因为二次函数_y=ad+bx+c的两个零点为-1,2,且图像开口向下,

所以当工=1时，y=a+b+c>0,所以B正确.

【题型6】解含参一元二次不等式

基础知识

对于含参数的一元二次不等式，一般不会单独考察，往往和导致研究函数的单调性一起考哀

解法：若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对

判剂式分类讨论，分类要不重不漏

7.解关于工的不等式：x2-(/n-3)x-3w>0.

【解析】不等式£一(〃7-3)X一3〃?>0,Fp(X+3)(X-/7?)>0,

当m=一3时，原不等式即(x+3『>0,解得x-3,即不等式的解集为｛x|xw-3｝；

当机〉一3时，解得不>〃7或工<一3,即不等式的解集为｛x|x>〃］或工<一3｝：

当”［<一3时，解得“>-3或xv切，即不等式的解集为｛x|x、-3或KU〃1｝；

综上可得：当〃?=-3时不等式的解集为3工工-3｝,

当〃〉一3时不等式的解集为"14>，〃或x<-3｝,

当/〃<一3时不等式的解集为“I%>-3或xv〃?｝.

8.解关于x的不等式ad-(4。+l)x+4>0.

【答案】答案见解析

【解析】由题意可知，々/一(4〃+1)工+4>0可化为(冰-1)(工一4)>0

(I)当。=0时，不等式化为工一4<0,解得工<4,

(2)当/<()时，不等式化为(工一｝)(工一4)<0,解得g<x<4,

(3)当0<，<4时，不等式化为(工一，)(工一4)>0,解得工〈，或X〉4,

akaa

(4)当，=4时，不等式化为“—4)2>0,解得工工4,

(5)当，>4时，不等式化为(\一，［(人一4)>0,解得/<4或

a\a)a

综上所述.。=0时,不等式的解集为（YO,4）

a<0时，不等式的解集为4）：

时，不等式的解集为（YO,，）U（4,+8）；

〃■时，不等式的解集为（-OO,4）U（4,+8）；

4

0<。<，时,不等式的解集为（-8,4）I41,+8

4ya

【巩固练习1】解不等式f—（m+2）x+2，〃<0

【解析】即（x-〃?）（x-2）v。，

当"7>2时，不等式的解集为H2<X<；

当〃?=2时，不等式的解集为0;

当机<2时，不等式的解集为何〃[7<2｝.

【巩固练习2]当a<1时，解关于x的不等式（依-1）。-1）<0.

【解析】当。=0时，代入不等式可得一x+l<（）,解得工>1;

当0<q<1时，化简不等式可得（3_1）<0即（x--J（X—1）<0,

由得不等式的解为1vx<L,

aa

当a<0时，化简不等式可得。卜一(x-l)<OKpx——(x-l)>0,

Ia)

由一<1得不等式的解为X>1或X<一,

aa

综上可知，当4=0时，不等式（翻-1）*-1）<0的解集为｛x|x>l｝：

当0<a<1时，不等式（ar-l）（x-l）V。的解集为<x1.

当a<0时，不等式（办一1）。-1）<0的解集为｛X工<（或1>1｝.

【题型7】二次函数的图象、单调性与最值

基础知识1

解决二次函数的图象、单调性与最值常用的方法是数形结合.

9.已知函数/(x)=f+〃a-〃+1在区间［2,*o)上是增函数，则实数机的取值范围是.

【答案】卜2,田)

【解析】二次函数/(x)=f+(〃?-2户+1的图象开口向上，对称轴为直线x=

因为函数/(力在区间2+0。)上是增函数，则-"^^工2,解得机2—2.

因此，实数血的取值范围是卜2,e).

【巩固练习1］函数/(x)=也用一工一3的单调递增区间为()

A.-oo,-B.(Y,-1)C.不+8D.-,+CO

(4」L2)L4

【答案】C

3

【解析】由题意，令z=2——.r—3=(2.L3)(X+1)20,即XW—1或XN］,

根据二次函数性质知：，=2/-x-3在上递减，在卞+8)上递增

又y二〃在定义域上递增，故/(x)=jm三的单调递增区间为去+8).

【巩固练习2】函数/。)=,_。〃_2)4+1|在|上单调，则实数，〃的取值范围为()

小U3微99

A.B.

2Qu学2

1_112U3-

C.JD.2,U,2

42uK2

【答案】C

【解析】令g(x)=f-(/〃-2)x+l,

1I11

in-2m-2tn-2<—m-2

2"2,~T~rF22~~2f

则，或或或《

彳扑。g<08之0拈卜。,

解得3金〃或一〈WmW1,即实数/〃得取值范围为［-1,i］Ul3^J.

【巩固练习3］若函数/'(力=在区间(a-1,3-2a)上有最大值，则实数。的取值范围

是

【答案】［0.1)

【解析】令g(x)=-2/+4x,x>0,

所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,收。)上单调递减,

又/(I)=2=/(-I),作出函数〃力的大致图象,

在区间(。-1,3-加)上有最大值,

\3-2G>\

结合图象，由题意可得一-_«，解得—所以实数〃的取值范围是。D

【题型8】含参一元二次不等式恒成立问题(1):判别式法

基础知识

一元二次不等式在R上的恒成立问题

与恒成立问题有关的词有：“任意”、“全体实数”、“都”、“一切实数”等.

方法是通过二次函数的图像来理解.

I.若aF+bx+cO恒成立，则〃>(),A<()；

3.若a^+bx+c^O恒成立，则A<0.

10.（多选）DxwR,关于尤的不等式+。>°恒成立的一个必要不充分条件是（）

A.a<10B.0<«<4

C.a>-2D.0<a<-

2

【答案】力C

【分析】由VxeR,关于x的不等式d一奴+4>。恒成立得△<（）,求得。的取值范围，然后根据充

分条件与必要条件的概念判断即可得出答案.

【详解】VxeR,关于x的不等式d—ar+a〉。恒成立，则A=/—4a<o,解得0<〃<4.

对于4因为{々［0<々<4}・{々|。410},符合题意，故/正确；

对于民是充要条件，故用错误；

对于C,因为{。［0<。<4}・〃|4>一2},符合题意，故C正确；

对于Q,因为当（）<。<4时，0<avg不一定成立，不符合题意，故Q错误

【巩固练习I］若关于，的不等式加+2办+3”4〈。对xeR恒成立，则。的取值集合为（）

A.{4-2<av0}B.{4-2vaM0}C.{4"（）}D.{《.KO}

【答案】D

【分析】根据含参一元不等式恒成立对。分类讨论即可得a的取值集合.

【详解】当。=0时，不等式ar：+2依+3〃一4Vo化为-4<0对xeR恒成立；

a<0

当。工0,要使得不等式ax?+2《a+3〃一4<0对xeR恒成立，则LAA（i八，A，解得a<0

A=4a-4a（3a-4）<0

综上，a的取值集合为{a|a《0}

【巩固练习2】已知函数），=（"2）/+2（〃-2）”4,若对任意实数x,函数值恒小于0,则。的取值

范围是,

【答案】-2<a<2

【分析】根据给定条件，分段讨论，再结合二次函数的图象性质列式求解作答.

【详解】当〃=2时，），=-4<0恒成立，则〃=2：

当。工2时，依题意，二次函数），=（。-2）/+2（。-2）X-4的图象总在x轴下方,

a-2<0

于是,解得一2<。<2,则一2<。<2

△=4(〃-2)2+16(4-2)<0

【题型9】含参一元二次不等式恒成立问题（2）:参变分离法

基础知识

含参一元二次不等式在区间上的恒成立问题一般通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最

值问题

参变分离法：如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量工的关系，

VXGM,使得/（幻..4,等价于“X）1nto•.〃，PXGM,使得,等价于/（X）皿”4

11.当YKxKO时，关于i的不等式x、ar+15—CO恒成立，则。的取值范围是,

【答案】a<6

【分析】参变分离得〃工一厂一”,再利用基本不等式求一一75的最小值即可得答案.

x-1x-\

【详解】关于n的不等式/+奴+15-〃之0恒成立

即,-4wxwo时恒成立，

x-1

:.a<11人in

又一2一|5=-(>1)2—2(、-1)-16=]7+._2之216

—2=6,

x-lx-\\-x\-x

当且仅当1—X=生，即工二一3时等号成立，：.a<6.

l-x

【巩固练习1]若不等式f—2x—/〃<0在1,2上有解，则实数机的取值范围是（）

A.[-U+OO）B.㈠收）

C.I--j+ooID.（0,+oo）

答案：B

【解析】将不等式V—2%一/〃<o在xc；,2上有解，转化为不等式/〃>/一2%在xw[g,2]上有解

求

【详解】因为不等式V—2x-，〃<0在xc；，2上有解，

所以不等式〃?>八，一2%在xw—,2上有解，

令，=]2—2]=（工一11一1,则fmin=T,

所以m>-1,

所以实数小的取值范围是（T+oo）

【巩固练习2】若不等式/一戊+1>0在]£（0,2）时不等式恒成立，则实数，的取值范围为

若不等式/-女+1<0在xw（l,2）上恒成立，则实数f的取值范围为.

【答案】/<2,/之1

2

【解析】首先分离参数可得r>x+,，然后结合对勾函数的性质求得x+从而可确定/的取值范

国.

【详解】⑴因为不等式丁-a+1>0,所以，<+匚=工+^在区间（0,2）上恒成立，x+g之2,

当x=l时取等号，故f<2

（2）不等式寸一田+]<0对一切x.1,2）恒成立，t>£ll=x+L

xx

由对勾函数的性质可知函数y=x+-在区间（1,2）上单调递增，

x

且当x=2时，y=2+-=-,所以

”22x2

故实数1的取值范围是

【题型10】含参一元二次不等式恒成立问题（3）:变更主元法解

基础知识

变更主元：在有几个变量的问题中，常常有一个变量处于主要地位，我们称之为主元。在解含有参数的

不等式时，有时若能换一个角度,变参数为主元，则可以得到意思不到的效果。

____________._____,_____.•MHM•MM•

12.已知Vae[0,2]时，不等式“+（〃+|）4+1<o恒成立，则i的取值范围为.

【答案】（-2,-1）

【分析】由题意构造函数关于a的函数/卜，）=（/+工—：）”+工+1,则可得从而可求出了

的取值范围.

【详解】由题意，因为当ae[0,2],不等式以2+（〃+1）4+1年”。恒成立，

（3、

可转化为关于a的函数/,）=4+x+],

乙）

则/（a）"。对任意a£[0,2卜恒成立,

f(0)=x+l<0

则满足，，

[/(2)=2X2+2X-3+X+-1<0

解得一24<-1,

即1的取值范围为(-2,-1)

【巩固练习I】若不等式2>1>/〃卜2-1)对任意恒成立，实数N的取值范围是—.

【答案】(6-1,2)

【分析】把题意转化为l)-2x+l<0,设/(〃?)="«f由一次函数的单调性列不

等式组，即可求解.

【详解】2x-\>m(x2-1)可转化为m(x2-l)-2x+l<0.

设“机)=〃7卜2-1)-2x+l,则/(〃?)是关于用的一次型函数.

2

f(\)=x-2x<0「

2，

要使/("?)<。恒成立，只需•/(-1)=-X-2A+2<0解得"―1〈XV2.

【巩固练习2】函数/(X)=1十3十3,若■aw[4,6]J(x)A0恒成立，则实数上的取值范围是

【答案】(-00,-3-闲5-3+疝+8)

【分析】采用变换主元的策略，看作关于”的一次函数，利用端点函数值不小于0建立不等式组求

解即可.

【详解】令人(°)=网+炉+3,当aw[4,6]时，人⑷之。恒成立，

〃⑷2即卜;+420,

解得xK-3-遥或壮-3+否.

/:(6)>0,+6x+3>0,

所以实效工的取值范因是(一8,—3-遍JUl—3+C,+8).

故答案为：(-00,-3-遥]U[-3++8)

【题型H】一元二次不等式能成立问题(不等式有解)

基础知识

一元二次不等式有解问题一般可以结合函数图像通过分析开口方向以及判别式正负来确定参数范围

13.已知命题“WxtR,4f+(a—2)x+!>0〃是假命题，则实数。的取值范围为()

4

A.(-oc,0]U[4«)B.[0,4]

C.[4,-KO)D.(0,4)

答案：A

【分析】先求出命题为真时实数。的取值范围，即可求出命题为假时实数。的取值范围.

【详解】若“DxtR,4/+（0一2）\+，>0”是真命题，

4

即判别式△=（a-2『-4x4x；v0,解得：0<«<4,

所以命题“VxeR,4丁+（4-2*+，>0”是假命题，

4

则实数。的取值范围为：（-oo,0]U[4,y）.

【巩固练习I]若不等式£一2工一加<0在“在；，2上有解，则实数〃，的取值范围是（）

A.[-1,-Ko）B.（-1,-Kc）

C.+D.（0,-hx-）

答案：B

【解析】将不等式V-2x-〃?<0在xe-,2上有解，转化为不等式〃?>/-2》在xeQ，2上有解

求解.

【详解】因为不等式£一2工一，〃<0在xw；，2上有解，

所以不等式〃一21在xc：,2上有解，

令，=/一2工=（工一1）2-1,则扃=一1,

所以〃所以实数机的取值范围是（T,y）

【巩固练习2】已知命题〃：“*41,2],使得2履2+日-了0成立”是真命题，则实数攵的取值范围

8

是.

【答案】（F，（

3

【分析】利用分离参数法得左.1,只需求出不等式右边的最大值即可.

-2X2+X

【详解】2履2+履一2工0,（2X2+X）^<-,

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设1>，=2/+1=21+：）—••.对称轴为x=-；,在[L2：上单调递增，

故2X12+IW）W2X22+2,即3K），KI0,

33

.入V8,使得2辰~+丘一成立，

・,KA——；8

33

,v3<y<IO,.1故“4

…春o

【题型12]一元二次方程根的分布

基础知识

一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想.一般

考虑以下几方面：

1.开口(若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况).

2.判定给定点处函数值的正负.(开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则△>()恒成立)

3.判定△符号.

4.判定对称轴的位矍.

总之，耐心去分类讨论(分类讨论不容易失误，一步到位分存会漏解或多解)，借助图象去分

析就可以得到结论，无需记忆.

(1)二元二次方程在R上根的分布情况

①方程有两个不等的实数根oAn6—zk/oO；

②方程有两个相等的实数根<=>△=/一4*=0;

③方程没有实数根=△=〃-4。。<0

(2)一元二次方程的根的“0”分布

△二〃-4ac>0

b

①方程有两个不等正根090,K+x,=——>0；

a

xx=—>0

t2・a

A=Z?2-4ac>0

②方程有两个不等负根，x1+x,=-—<0

a

c八

x}x2=—>0

・a

③方程有一正根和一负根，设两根为Xi，%=用工2=—<0

(3)一元二次方程仅>0)的根的“攵”分布

A>0

①两根都小于2=•

/a)>o

A>0

②两根都大于Z=«

/伏)>0

③一根小于一根大于/(&)<0

(4)一元二次方程根(。>0)在区间的分布

A(n?)>0

①两根都在(〃?,〃)内<=>/(/?)>0

/(㈤<0

②两根都在外O

③两根仅有一根在内<=>/(m)•/(〃)<()

④一根在。几〃)内，另一根在(〃,夕)内=,