浙江省金华十校2023届高三年级下册4月模拟数学试题

浙江省金华十校2023届高三下学期4月模拟数学试题

一、单选题(本大题共8小题)

1.设i为虚数单位，复数Z满足iz+l=(「i)2,则|1+Z|=()

A.y/2B.2C.75D.2G

Y11'

2.若集合A=#--<O^={x|logx<l},则A18=()

x-22

A.1-1,2］B.(-L2)C.〔。,刃D.(。⑵

3.已知向量。=(85，,$而夕),力=(\/^,1),若abgb］，则ian<9=()

A.巫B.72C.73D.B

22

4.已知函数/Q)=sin如LCOS(3+V(/>0)在［OR上有且仅有2个零点，则①的取

值范围是()

：13］「713、「7QF,13、

A，［7］B.匕,京U［刈D，［々J

5.已知函数/*)=/_3竟则()

A.函数/⑶的极大值点为(0,0)

B.函数八幻的极小值为2

C.过点(-1,0)作曲线y=f(x)的切线有两条

D.直线3x+)，-1=0是曲线产f(x)的一条切线

6.魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺・鲁比克教授于

1974年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经

久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一，一个三阶魔方，由

27个单位正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了45。，则该魔方的表面积是

()

A.54B.108-36贝

C.162-72>/2D.81-72及

7.三棱锥P—A8C中，AB^AC,AB=2,BC=2五,PCAC,PB=2B则三棱锥

P-A8C的外接球表面积的最小值为()

A.16兀B.18KC.2071D.2E

8.“清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂”描述的是我国传统节日“清明节”的景象.“青

团''创于宋朝，是清明节的寒食名点之一，也是人们提起清明节会最先想到的美

食.某地居民喜好的青团品种有4个，假定每个人购买时对于每种青团的选择是独

立的，选择每个品种的概率均为;，若在清明节当口，某传统糕点店为顾客只准备

了3个品种的青团，则一位进店顾客，他的要求可以被满足的概率为（）

二、多选题（本大题共4小题）

9.在单位正方体中，O为底面A8CQ的中心，M为线段CG上的动

点（不与两个端点重合），。为线段的中点，则（）

A.直线。。与0M是异面直线B.三棱锥用-QBM的体积是定值

C.存在点M,使4CJ/平面D.存在点M,使平面

10.已知A（%yo）,3,C为抛物线V=4x上的三个点，焦点尸是,4?。的重心.记直

线AB,AC,BC的斜率分别为的B/AC，%BC，则（）

A.线段8c的中点坐标为（二项

kH2）

B.直线8c的方程为4x+%y+y；-6=0

C.）,0日-26,2百]

n1+11」

L矶限2

H.已知函数工（幻=-/+1,,1€[-1/），记一次完整的图形变换为“r变换”，’7变换”

的规则为：将函数图象向右平移2个单位，纵坐标缩短为原来的再向上平移1

个单位，工（幻的图象经历一次“T变换”得到人3的图象，依此类推，经历〃-1次叮

变换''后，得到。（外的图象，则（）

1,1

A.f2(x)=--x'+2x--,XG[1,3')

B.若工（x）WZ（x+2）,i=l,2,,〃，则及之;

C.当此2时，函数工⑶/⑶,…/（x）的极大值之和小于2〃-1

D.Z,U）＜2

12.已知定义在R卜H不怕为0的函数/（X）,若对任意的xyeR,都有

"D）=W（）'）+W（x），则（）

A.函数/(.r)是奇函数

B.对D〃eN",有/(父)=叭幻

C.若"2)=2,则/(2)+/(与+/(23)++/(2")=(〃+1)2"-2

三、填空题(本大题共4小题)

13.99侬除以100的余数是.

14.折纸是很多人喜爱的游戏，通过自己动手折纸，可以激发和培养审美情趣，锻

炼双手，开发智力，提高实践技能.一张圆形纸片的半径为8,圆心。到定点A的距

离为6,在圆周上任取一点将圆形纸片折起，使得。与A重合，折痕记为直线

/，直线/与直线OP的交点为Q.将此操作多次重复，则。点的轨迹是

(填''圆"、"椭圆”、"双曲线”、“抛物线”)

15.若关于x的不等式〃In立Wx恒成立，则。的取值范围是.

e

16.已知椭圆G:£+]=l(a>〃>0)的右焦点为F,左右顶点分别为A,B,点尸是椭

a~b~

圆G上异于A,B的动点,过尸作直线AP的垂线交直线AP于点」“(〃?,〃)，若

〃7+4=0,则椭圆G的离心率为.

四、解答题(本大题共6小题)

17.在等差数列｛4｝中，q=4,S〃为｛%｝的前〃项和，S1O=55,数列也｝满足

log,4+log,b2++log2btl=.

(1)求数列｛4｝和也｝的通项公式；

(2)求数列｛(7)%/“｝的前〃项和T„.

18.在“SC中，角A,4,C所对应的边为mb,c.已知JSC的面积5=半，其

4

外接圆半径尺=2,且4(cos2A-cos2B)=(b-岛)sinB.

⑴求sinA；

(2)若A为钝角，P为ABC外接圆上的一点，求/>428+尸81。+〃。/〉4的取值范

围.

19.如图，在圆台中，圆Q的半径是I,圆。2的半径是2,高是G，圆。|是

A8C的外接圆，48=6，尸C是圆台的一条母线.

(1)求三棱锥P-ABC体积的最大值；

⑵当PA=2/时，求平面PAC与平面P6C的锐二面角的余弦值.

20.全国"两会''召开的一项重要意义在于将“两会代表”从人民中得来的信息和要求

进行收集及整理，传达给中央，“两会代表”代表着广大选民的利益，代表选民在“两

会''期间向政府有关部门提出选民的意见和要求.下表是2011年至2020年历年全国

政协提案的数量统计.

年201201

20112012201320142015201620192020

份78

年

份

12345678910

代

码X

提

案

数

量y

（

5.766.065.645.875.855.765.485.04

单5.215.36

29157984

位

千

件

）

（1）请用相关系数说明了与x之间的关系可否用线性回归模型拟合？若能，求y关于x

的一元线性回归方程；（运算结果精确到0.01）（若“之。・75,则线性相关程皮很

高，可用直线拟合）

（2）中央政府回应2020年“两会”的热点议题“战胜疫情”，以令世界惊叹的中国速度、

中国效率和中国奇迹，社会各阶层、各行各业迅速投身战“疫”行动，团结共进、众

志成城.其中一个关键举措是2021年全国各地全面展开的疫苗接种.为方便市民合

理安排疫苗接种，城市便民电子系统即时提供接种点相关信息，若某疫苗接种点上

午和下午接种疫苗分别需要等待20分钟和4。分钟，而甲、乙市民均在某日接种疫

苗，且」一午去接种疫苗的概率分别为〃要使两市民需要等待时间

的总和的期望值不超过60分钟，求实数p的取值范围.

E(x,-r)(y-y)-，江y

参考公式：相关系数「=下且—n-------:=下=.、七十

Z(^-^)(x-y)

b=-^H；-----------、a=y-bx.

f(七-n

1-1

参考数据：

JO_JO

之301.4,1Oxy»308.4,X货一12s0.95,y»5.61,x/825xx/^95工8.85.

i=\/=!

21.。是双曲线上—f=l右支上一点，A,8是双曲线的左右顶点，过4,8分别作

412

直线PA,的垂线AQ,BQ,AQ与BQ的交点为Q,PA与BQ的交点为C.

(1)记P,。的纵坐标分别为)6为，求注的值；

⑵记△P8CZX04C的面积分别为*,邑，当3tanZAQ八姮时，求要的取值范

围.

22.已知函数/(x)=4sinx-ln(l+x),aeR.

(1)若对心w(T0］时，/(x)N0,求正实数a的最大值;

(2)证明：^sinl<In2.

r=21

⑶若函数仪力=/("+小一公皿%的最小值为〃?，证明：方程e"E-ln(l+x)=0有

唯一的实数根，(其中e=2.71828是自然对数的底数)

参考答案

1.【答案】A

【分析】利用复数的四则运算求复数z,再用复数模的公式求|l+z|.

【详解】因为iz+l=(l—i)2=l—2i—l=-2i,故有z=W^=-2/=-2+i,

II

则|l+z|=|l+(_2+i)|=|i_l|二虚.

故选：A

2.【答案】D

【分析】先利用分式不等式的解法和对数函数的单调性化简集合4,B,再利用集合

的交集运算求解.

【详解】已知人=[17<01,

J-2

解不等式—r4-1WO,

x-2

不等式等价于*+l)(x-2)40且工一2工0,解得

所以A=[-l,2).

B=(x|log2x<1]={xl0<x<2)=(0,2|,

故Ac8=(0,2).

故选：D

3.【答案】A

【分析】利用向量数量积的坐标公式结合同角三角函数的基本关系化简即可.

【详解】ab=V2cos9+sin0,\b\=\/3»从而夜cosB+sinO=V5,

于是3=2cos?19+sin26+2应sinOcos"l+cos?+2V2sin^cos»

从而

2=cos?夕+20sin<9co$夕=c°s~0+20sin6>c°>°=1+2夜fn00[十？及夕=2+2tan「夕

cos'8+siir夕l+tan-6>

=>2tan20-2\/2tan+1=0=>tan0=2a±在_.

42

故选：A

4.【答案】B

【分析】先化简/O)=Gsin"用，利用整体换元法和零点个数，建立不等式

组，求解不等式组可得答案.

【详解】/(x)=sincox-cos(rwx+^=sincox一(*coss-gsincox

=-1sin(t)x--^-cos(t)x=&jsincox-coscoxj

n

=\/3sincox—

6

因为/⑴在［（）,汨上仅有2个零点,

7171

当[0,汨时，CDX--^—,697t——（/>0），

666

兀、

COH——>71

所以°713

解得-

n.6o

con——<2n

6

故选：B.

5.【答案】D

【分析】利用求导分析函数/*）的单调性，即可求出极大值点和极小值，判断AB选

项正误；设过（T0）的切线为），=攵*+1）,切点为（飞*-34），利用点斜式整理比较

攵值列方程，方程的解的个数即为切点个数和切线条数，判断C选项正误；利用切线

斜率求出切点，即可得到切线方程，判断D选项正误.

【详解】fW=3,v2-6x=3x（A--2）,令洋（©=0,解得x=0或x=2,

因为r（r）>0；V.re（O,2）,八*）v0：Vr«2,a）,

所以八幻在（-8,0）递增，。2）递减，⑵”）递增，

故/“）的极大值点为x=（）,故A错误；

极小值为/（2）=23—3x22=8—12=—4,故B错误：

设过（TO）的切线为广小+1）,切点为卜。,片-3片），

所以y-（片一3¥）=，6）（］一勺）=（3片一6々）（x-/）,

则y=（3%-6%）X+（-词+6片+w-3%）=（3片-6%卜+（-2.$+3%）,

从而3%o-6x0=-2石+3石=k=>2d-6A0=（）=>x0（片-3）=0,

解得小=（）或七=±6,有三条切线，故C错误；

令4=/'（%）=3芯一6.%=-3,即弋-2%+1=0,解得.％=】，

从而/⑴=-3。—l）n），+2=-3x+3,即切线方程为3x+y—l=0,故D正确.

故选：D.

6.【答案】C

【分析】根据题设确定旋转后多出面积的构成,应用柱体表面积的求法求魔方表面

积.

如上图，转动了45。后，此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积,

显然小三角形为等腰直角三角形，直角边为仁则斜边为、反一

故（2+夜）x=3,可得r=

2

由几何关系得：阴影部分的面积为S=（x（3-坐］=3一苫&,

212J42

所以，所求面积S'=6X3X3+16XE《&）=I62-72四.

故选：C

7.【答案】C

【分析】先将二棱锥画在长方体方体中,并建立空间百角坐标系。-

由题目条件分析出点P的轨迹方程，再有三棱锥尸-A8C的外接球的球心0满足

\OA\=\OP\,找到球心。满足的条件，再求出其最值，从而找到半径的最小值，解决

问题.

如图，将三棱锥尸-A8C画在长方体方体中，并建立空间直角坐标系

由AC_LPC,由AC_L面。RG。，可知P点在面。上,

又|KP|=2>A，BDJ.面DDCC,所以△"「£>为直角三角形，

故|OP|=4,即P点轨迹为以。为圆心，半径为4,在。CGR上的圆，

设点2（x”O,Zp）,则£+Z；=16—①，

因为一/WC为等腰直角三角形，所以三棱锥尸-48C的外接球的球心。在直线“

上，

设点。（lJz°）,由|Q4|=|OP|,得2+z：=（巧,—l）2+l+（z〃—z0）2—②，

16-2xr>8-Xp

联立①②得：z0===上,

，Zp

设过点（8,0）和点（七,Z,）的直线斜率为％,则左=臀，

o-Xp

由直线与圆相切，可得Ae-理，弓,

则BL=G，所以小=石，所以S=4兀扁=20兀.

故选：C

8.t答案】D

【分析】先求出不被满足的概率为P，利用对立事件的概率关系即可求解.

r1--?

【详解】设不被满足的概率为P,贝所以被满足的概率为1-尸

-4-33

故选：D.

9.【答案】BC

【分析】选项A易判断，由5.9”=匕”8跳可判断B，当历为CG中点时，可得

ACJ/平面8DM,即可判断C,当M与G重合时，4仃_1面8。“，然后可判断D.

B项：因为乙一加“二%.83，A8CO—A8CR是正方体，

所以CCJ/BB、,因为CGU平面仍A。，BB】u平面BBRD,

所以CCJ/平面B8Q。，所M到面&B。的距离不变，所以/w为定值，故正确；

C项：当M为CG中点时，0M为△ACG的中位线，OMHAC、,

因为AGa平面BDM,（加u平面13DM,

所以4CJ/平面“。"，故正确；

D项：当M与G重合时，因为8。_L4C,BO_LCC|"CCC,=C,ACCQu平面

ACC]A,

所以8。/平面ACG4，因为A〈u平面4CGA，所以BO1AC，

同理可证BM_LAC,因为8£>:8M=8,BDBMu平面8OM,所以4c_L平面

BDM,

又因为M不与端点重合，故错误.

故选：BC

10.【答案】ABD

【分析】A.设A（%,yo）,8a，），J,C（X2，y2），F0，°），BC中点必（时,y“），则由重心分

中线上2得到A尸二：4M判断；B.结合选项A得到原c=一,再由点M的坐标写出直

线方程判断：C.xw=--^->0,得到打<12判断；D.分别求得，判断.

28"八s^ACkjtc

【详解】解：设4（%,%）,8（x,乂）,（7（孙必），尸（1，0），

因为歹为乂8C重心，

%+X]+工2=3

所以,设区C中点“(X"，几)，则AM=(X”一.％,)力-y”)，

jo+y+%=0

2

人尸=(1一/，一%),由重心分中线1:2得A尸，

1』=1(/一%)―3%

y一万

明

一%=g(Wo),T

又因为A在抛物线上，所以y；=4x。，所以/=2—2i=足二方即

288

加但/，-或，故A正确；

I82)

乐仁=)'「％=4(y-％)=4=-4

隗芭一/4(内一々)»1+%X)，

直线8c:)，+普=3口-坦萨]=为)，+卷=-41+二^=4力%)，+)，；-6=0,故

B正确；

因为X”=。―%">。，所以)与<12，所以%£(―2>/5,2j5),故C错误；

28

1二%一%二4(%一%)二)，：一才二为+x।।二%十心，।=X+为

k.)'of4(为一凹)4(.y0-y,)4kAC4'kBC4

所以444空+不一号号故D正确.

KABNACKBC'、

故选：ABD

11.【答案】ACD

【分析】由条件给出的变换求出力(x)的解析式可判断A：作出的图象，可知若

3)—),』=1,2,…”只需工(x)〈&(x+2)成立即可，参变分离可求出攵的范围

可判断B；设工")的极大值为公，则有为+尸3q+1,求出/的通项，可判断D,

对%求和可判断C.

22

【详解】f2(x)=-f\(x-2)+\=-^―(A—2)+1J+1=——A+2x——,其中2G[—1,1),

即xe[l,3),故A止确;

作出<")的图象，可得工(x)c[0J/(x)cl1+g.若/*)<&(x+2),i=l,2,,〃，只

需—r+14A(x+2),对％?[LD即可,

故=-(x+2)+士+4.A;>I-[a+2)+^-+41=4-2道，故R错误:

犬+2Lx+2」ILx+2」Ja

记，(x)的极大值为勺(也是最大值)，则4+i=；4+l，且4=1,则

。向_2=料_2),4_2=_1,

/1Y-11

即=—J,即〃“=2-57?<2,故D正确；

当〃22时，函数工⑶/⑴,，。(文)的极大值之和

q+42+—+/=2〃一停+*+击)

1--^]

=2〃-----=—=2/2—2+—<2〃-2+1=2〃-1,故C正确；

1--2

2

故选：ACD

12.【答案】AD

【分析】令x=y=i,求得7(1)=。，令x=y=-i,求得/(-1)=0,令)，=一1,求得

/(-X)=-/(A),可判定A正确：化简得到/(f)二小产力外，可判定B错误；令

x=2,求得/(2”)=〃-2",结合等比数列的求和公式，可判定C错误；令

x=2,y=l求得/(1]=-1，令x=g，得到/1?1]=—〃•(；)，结合等比数列的

2L2\\^JJ\^J

求和公式，求得的值，可判定D正确.

n

【详解】因为对任意的xyeR,都有/(邛)=MXy)+W*),

令x=y=l,可得/⑴=2/⑴，所以/⑴=0,

令X=)，=一1,可得八1)=-2/(-1),所以/(-1)=。，

令"T,可得/(T)=MX-1)-/(%),所以/(r)=—/。)，

所以函数/(x)为奇函数，所以A正确；

由f{xn)=?(/I)+娉力幻=x[.xf(xn-2)+xn-2f(x)yy-'/CA)=x2f(xn-2)+2.^-'/(x)

=X2[xf(x"T)+Z-7(x)]+2xn-\fM=x\f(xn-3)+3x”T/(x)

=■.=xnf(l)+n-xn~\f(x)=n-x^fW,所以B错误；

若/(2)=2,令x=2,可得/(2")=小2""(2)="2”，

则八2)+/(22)+/(2，++/(2^=1-2'+2-22+3.23+..+〃-2",

可得2[/(2)+/(22)+/(巧++/(2n)]=l-22+2-23+3-24++〃.2。

两式相减得:/(2)+/(22)+/(23)++/(2〃)=小2向一3+22+23+・♦,+2")

=(〃-1)2向+2,所以C错误；

令x=2..v=g,可得川)=271扑“(2),解得也卜—g.

、{1+({1+6)+..+({|「一黑，所以D正确.

故选：AD

【点睛】方法策略：对于抽象函数问题的求解方法：

(1)已知抽象函数的关系式或条件，该类问题一把采用赋值法，通过观察已知与未

知的联系，巧妙地赋值，寻找规律解答，赋值法时解答此类问题的常用技巧；

(2)利用数列的方法研究抽象函数的相关问题时，应准确构造相应的数列，注意函

数与数列中相关限制条件的合理转化.

13.【答案】I

【分析】将993化为(lOO-iy00,利用二项定理将其展开,即可求得答案.

,w,w,w41982

【详解】99=(100-l)=C^100(-l)°+C；0O100Vl)+C^100(-l)

,99,o

+...+C^)100(-l)+C；*lOO°(-l)°,

99

=c，io(r-c；0010a+c：001Go98+.・-嗨100+1,

K

由于c；00100^-c：001a(r+c；0010G驶+-c霜oo是ioo的倍数，

故99m除以］()()的余数等于1,

故答案为：1

14.【答案】椭圆

【分析】分析可知|勿|+|凶=|朗+|。6=8>,0|=6,结合椭圆的定义可得出结论.

【详解】解：在圆周上任取一点P,将圆形纸片折起，使得P与A重合，折痕记为直

线/,

直线/与直线OP的交点为Q,则|。"二|。4|,

由题意可知，圆。的半径为8,且|。4|=6,

所以，|。川+|。@=|。尸+|3=8>|人。=6,

所以，点。的轨迹为椭圆.

故答案为：椭圆.

15.【答案】[0,2c3]

【分析】按In正>()、加正<0两种情况进行参变分离后构造函数，求导后利用单

调性可得参数的取值范围.

【详解】①当In正>0即工£(/,内)时，aln乎x2x

ln>/x-lInx-2

（、\e,，/、2（lnx-2）-221nx-6

设小卜号”。+动，则小

当不£仁2看)时,/VX0,〃力单调递减,

当小付,+8)时,/V)>0,〃力单调递增,故/(.%.=/.)=*,

此时易知〃K2e3；

②当<0即xe（0,e2）时，aIn<x=>a>x2x

InVx-1lnx-2*

因为工«0,叫，所以lnxw(y,2),lnx-2e(-oo,0),所以.°，则白之。，

综上，ae[0,2e].

故答案为：[。，2"]

16.【答案】1/0.5

【分析】设直线4尸的斜率为鼠写出直线A尸、的方程，求得〃，管，根

不妨设直线AP的斜率大于0,设为匕

则直线”的方程为后(…)，直线尸M的方程为尸一一),

所以“卜凡签l।,a+c

'32三^

由即人二^^;，即s二/；，则左外即8=,噂+加,即""苧

Xp+ClXp-Cl

所以攵k.户T）_及，

M-X…2-^2

所以原M/二”匚—耳•且y——解得e=2负值舍去）•

-2aa~2

故答案为：y

17.【答案】（1）4=〃，2=2"

_2_(3〃+])(-2严

(2)7；=

~9~

【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前〃项和公式可求数列｛4｝的通项公式,

再根据数列的项与前〃项和的关系可求｛2｝的通项公式；

（2）利用错位相减法求和.

【详解】（1）设等差数列｛〃“｝的公差为"，

4+3d=4a,=1

所以解得行‘所以"〃,

10q+454=55

log,b}+log,h2++1脸2=1—,①

则当〃22时1。824+1。04++log22T②

①一②得：1/24=〃，则a=2"，

而当〃=1时，log?仇=1,则4=2,满足上式.

所以久=2”.

(2)记。“二(-1)"小2"=〃(-2)",

n

Tn=(-2)'+2.(一2尸+3.(―2尸+…+(〃-1).(—2)3+〃.(-2)n

-27；=(-2>+2•(一2>+…+(〃-1)(一2)"+/?(-2)n+,

=也*一2严，

37；=(-2)1+(-2>+(-2)3+...+(-2)”一〃(一2严

-2—(3〃+1)(—2严

W-------9-------

18.【答案】(l)sinA=^

2

⑵[—2,30]

【分析】（1）由三角形面积公式求得sinB,已知等式由正弦定理边化角，化简得

sinA=WsinB,可解得sinA；

(2)由(1)得A=120。，贝iJ/T=30,C=30,建立平面直角坐标系，设

P(2cos8,2sine),利用向量的坐标运算求P4PB+P8PC+PCPA，由三角函数的值

域求取值范围.

11

【详解】(1)由5=一rc=二acsinB,WsinB=-

422t

4(cos2A-cos2=4^(l-sin2A)-(l-sin2^)J=4(sin2B-sin2,

由正弦定理一^-=^-=2R=4,a=4sinAh=4sin8,

sinAsinB

贝ljS—6a)sinB=4sin2B_45/3sinAsinB,

由4(cos?A-cos24)=(。-Go)sinB,

得5-sin24)=4sin，B-4\/3sin4sinB,

化简得sin?A=GsinAsinZ?,由A«0,兀)，sinAwO,

解得sinA=KsinB,因此sinA=立.

2

(2)由(1)得，若4为钝角，则A=120。，则8=30,C=30，如图建立平面直角

坐标系，

则A(0,2),B(-省,设P(2cos<9.2sin6>).

则PA=(-2cos6>,2-2sin6>),PB=(->/3-2cos6>,1-2sin0),

PC=(x/3-2cosi9,l-2sin<9),

WPA•PB=6-6sin〃+2cos0,PA-PC=6-6sin6-2J5cos0,

P8PC=2-4sin，，

则PA-PB+PA-PC+PBPC=\4-\6sin0.

由singe[-1,1],则14-16singw[-2,30],

所以PAPB+PBPC+PCFA的取值范围为[-2,30].

19.【答案】(1)[

4

⑵李

【分析】（1）取AB口点M,连0附℃,根据的高可得融C

面积的最大值，再根据棱锥的体积公式即可得解；

(2)如图，以。1为坐标原点，过。।与人B平行的直线为x轴，为z轴，建立空

间直角坐标系，设。(天,即0),则《2%,2加6),根据PA=26求出CP的坐标，

再利用向量法求解即可.

【详解】(1)取A8中点M,连则QM_LA4,

则48c的高力waM+qc=g+i=；,

当且仅当。,M，G三点共线，即AC=8C时，取等号，

匕Y8=京△皿。［。2"jxgx石x'x石=(,

所以三棱锥P-A3C体积的最大值为3；

4

(2)如图，以。।为坐标原点，过。।与AB平行的直线为x轴，QU为z轴，建立空

间直角坐标系，

设C(天,%，°)，则。(20,2.%,J5),

由AB=6»圆。1的半径是1,可得«M=J1一,=；,

则4-与-［。，B乎，一：,0,

/\/

PA=12/+*+(2%+g)+(V5)2=2x/3»

又入：+片=1，解得题=日,%=；，

则AP=(竽,|,6,XC=(73,1,0),

设平面PAC的法向量为〃=(x,.y,z),

n-AP-x+—y4-=0(h、

则J22，,可取〃=(l,—G,01

ri'AC=V3x+y=0

〃P=(冬|,G)ic=(o,i,o),

设平面P8C的的法向量〃?=(a/,c),

,m-BP=—a+—b+>/3c=0,,.

则J22,可取〃?=(—2,0,1),

m-BC=b=0

则8"〃'〃沪丽二HT7'

20.【答案】(1)能，j=6.05-O.O8.r

⑵|“<1

【分析】（1）根据题中数据求得相关系数，比较可得结论；求出5，即可得一

元线性I可归方程；

（2）设甲、乙两人需要排队的总时间为4,确定€的可能取值，求得每个值对应的

概率，可得其分布列，求出其数学期望的表达式，列出不等式，即可求得答案.

【详解】（1）由题意可得++1°-5.5,

•0、-0

因为ZX；T°F=385-302.5=82.5,

/=1

301.4-308.4

根据参考数据，所以相关系数r二X-0.79即|尸1=0.79>0.75,

7825x7(195

所以线性相关程度很高，可用直线拟合;

301.4-308.4

由〃=«-0.08,

82.5

所以一病=5.61—(-0.08)x5.5=6.05，

即y关于x的线性回归程为y=6.05-0.08x.

(2)设甲、乙两人需要排队的总时间为△则4的可能取值为40,60,80.

P(^=40)=/?(2p-l)=2/r-p,

P(百=60)=(l-p)(2p-l)+p[l-(2p-l)]=-4/r+5p-l,

P(^=80)=(l-/7)[l-(2p-l)]=2/72-4p+2,

所以J的分布列为：

4406080

p2P，-〃-4p2+5p-l2p~-4p+2

因此E(^)=40(2p1一〃)+60(-4p2+5p-1)+80(2p2-4P+2)=-60p+100<60,

?1

可得〃之三，又

故实数〃的取值范围为。2

21.【答案】(1)3

【分析】(1)由已知设直线化4,PB,和直线QA,QB,再分别求P,Q,应用斜率公式

求解即可.

(oA

(2)由P,Q,B,A四点共圆，P0为直径,P。中点M0,---为圆心，再由弦长

公式求得U=V---------,34”工5,再根据单调性，求得在即得范围.

*邑^1.\1ACAr\\-.\\AAQn\\〜5匕"

【详解】(1)由已知条件得：A(-2,0),B(2,0),设夕人，08的斜率分别为&k2t

则QA,QB的斜率分别为-：,一：,

y=K(x+2),

y=k2{x-2).

2化+幻

2化+4)4

•.也=&生=3

IL

为

(2)由于NE4Q=NPBQ=90。,

显然P,Q,B,4四点共圆，

尸。为直径，尸。中点M。，/丁

为圆心,

又g工tan/AQZ?<誓

2巫

则tanZ>4Q/，=tan~=tanNOMB=-----=-----G

842'~

k?-k\

:.2£k2-ki£^^~①，又3=3②,

上①得，.—1(<)-匕？-+^「<—26,解得3W—k、4八5

②付.3人卜5'喇守人•

PA:y=4(x+2),

由Q6:尸」(-2)"=f，而•”色.

「『£|5符)3(33)=924

^,+-k、+h&+3勺&+

k、3k、

因为34*5,根据单调性，求得标[5,6]

22.【答案】(1)1

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)求/*),并判断/(X)的单调性，分类讨论/(X)的正负，得到的

单调性，求出/(x)NO时〃的范围，从而得到。的最大值；

(2)利用第(1)问的结论，可得至ljsinx>ln(l+x),令4=-"，不等式两边求和即

可证明：

(3)求g'(X)并判断g(x)的单调性，结合零点存在性定理〃?二一二十垢一^,要证