预习：简单几何体的表面积与体积（学生卷）-高一数学寒假讲义（人教A版）

第14讲简单几何体的表面积与体积

W【学习目标】

1、认识简单几何题的表面积.

2、认识简单几何题的体积.

【考点目录】

考点一：棱柱、棱锥、棱台的表面积

考点二:棱柱、棱锥、桂台的体积

考点三:圆柱、圆锥、圆台的表面积

考点四:圆柱、圆锥、圆台的体积

考点五:球的表面积与体积

匾5【基础知识】

知识点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积

棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和.计

算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和.棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：

底面侧面

名称

棱柱平面多边形平行四边形面积=底•高

面积•底•高

棱锥平面多边形三角形=L

2

面积=』•(上底+下底)•高

棱台平面多边形梯形

2

知识点诠释：

求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表

面积.

知识点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积

圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面

展开为平面图形，再去求其面积.

1、圆柱的表面积

(1)圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为尸，母线长/,那么这

个矩形的长等于圆柱底面周长C=2〃，宽等于圆柱侧面的母线长/（也是高），由此可得S皿加i=C/=2^r/.

-------------

I

*<2eJ~2^

（2）圆柱的表面积：S同柱表=2;n/+2乃尸/=2»厂（厂+/）.

2、圆锥的表面积

（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为八母

线长为/,那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长。=疗，半径等于圆锥侧面的母线长为/,由此可得它的侧

面积是S掰椎例=-Cl=7irl.

2

（2）圆锥的表面积：S圆锥表=兀/+乃”.

3、圆台的表面积

（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环.如果圆台的上、下底面半径

分别为『、厂，母线长为/,那么这个扇形的面积为不（/+r）I,即圆台的侧面积为卡/（/+r）7.

（2）圆台的表面积：耳研台表二〃（厂'"+厂~+尸'/+〃）.

知识点诠释：

求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它

们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系.

知识点三、柱体、锥体、台体的体积

1、柱体的体积公式

棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和面方的乘积，即/加=S/?.

圆柱的体积：底面半径是尸，高是〃的圆柱的体积是/双柱=5/?=乃产〃.

综上，柱体的体积公式为V=Sh.

2、锥体的体积公式

棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是s,而是儿那么它的体积/惟二;S4.

圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S,高是从那么它的体积%雄=，S6；如果底面积半径是小用加z

3

表示S,则=-7rr2h.

3

综上，锥体的体积公式为P

3

3、台体的体积公式

棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S'、S,高是〃，那么它的体积是

匕始二；%£+.+*')•

圆台的体枳：如果圆台的上、下底面半径分别是,♦'、八高是/?,那么它的体积是

台=，〃(S+底+S')=L成(7.2+rr'+k2).

33

综上，台体的体积公式为P=g/?(S+JW+S).

知识点四、球的表面积和体积

1、球的表面积

(1)球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积.

(2)球的表面积

设球的半径为七则球的表面积公式S怵=4nR?.

即球面面积等于它的大圆面积的四倍.

2、球的体积

设球的半径为凡它的体积只与半径A有关，是以及为自变量的函数.

4

球的体积公式为限=一兀R-

坏3

【考点剖析】

考点一：棱柱、棱锥、棱台的表面积

例1.(2023•全国・高一)如图所示，正六棱锥被过棱锥高尸。的中点0’且平行于底面的平面所截，得到

正六棱台00'和较小的棱锥PO'.

（1）求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比；

（2）若大楂锥八？的侧棱长为12cm,小棱谁的底面边长为4cm,求截得的棱台的侧面面枳和表面积.

例2.（2023•全国-高一课时练习）已知四面体S-ABC的棱长为a，各面均为等边三角形，求它的表面积.

考点二：棱柱、棱锥、棱台的体积

例3.（2023•全国-高一课时练习）已知一个六棱锥的高为10cm,底面是边长为6cm的正六边形，求这

个六棱锥的体积.

例4.（2023•安徽•安庆一中高一期中）已知一个三楼台的上、下底面分别是边长为2和4的正三角形,

侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、卜底面面积之和，求棱台的高和体枳.

考点三：圆柱、圆锥、圆台的表面积

例5.（2023•重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）如图，梯形48C。满足48〃。，48C=90。，”=2后,

BC=T,Z5/1D=30°,现将梯形48CQ绕/出所在直线旋转一周，所得几何体记为Q.求。的表面积S.

例6.（2023•陕西•西安市华山中学高一阶段练习）西安市建造圆锥形仓库用于储存粮食，已建的仓库底

面直径为12m,高为4m.随着西安市经济的发展，粮食产量的增大，西安市拟建一个更大的圆锥形仓库，以

存放更多的粮食.现有两种方案：一是新建的仓库底面半径比原元大2m（高不变）；二是高度增加4m（底

面直径不变）.分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积：

例7.（2023•全国•高一课时练习）如图，直三楂柱的高为6cm,底面三角形的边长分别为

3cm,4cm,5cm.以上、下底的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分形成的几何体的表面积.

考点四：圆柱、圆锥、圆台的体积

例8.（2023•全国-高一课时练习）如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2,且在这个圆锥中有一个

高为x的圆柱.

（1）求出此圆锥的侧面积;

（2）用x表示此圆柱的侧面积表达式；

（3）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积.

例9.（2023•河北•邯山区新思路学本文化辅导学校高一阶段练习）蒙占包是蒙占族牧民居住的一种房子,

建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活.蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示.一个

普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示.已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米,

底面直径为6米.

图I图2

（1）求该蒙古包的侧面积:

（2）求该蒙占包的体积.

考点五：球的表面积与体积

例10.（2023•全国•高三专题练习）在中，AC=后,AB=3,BC=2，M,N,P分别为4C,AB、BC中

点,将A/BC沿MMNP.A"折起得到三棱锥S-MA伊，三棱锥S-,MVP外接球的表面积为

例11.（2023•广东揭阳•高三期末）已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球O,则圆柱的表面积与

球。的表面积之比为（）

A.3:4B.1:2C.372:8D.不能确定

例12.（2023•全国•高三专题练习）正四面体488的俯视图为边长为1的正方形（两条对角线一条是

虚线一条是实线），则正四面体/AC。的外接球的表面积为（）

A.—B..C.3乃D.12/r

22

【真题演练】

1.（2023,全国•必考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.

已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为］40.0km,水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为

18C.0km2,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，

增加的水量约为（77=2.65）（）

A.1.0xl09m3B.1.2x10、/C.1.4xl09m3D.1.6xl09n?

2.（2023•全国•高考真题）己知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3百和4石，其顶点都在同一球

面上，则该球的表面枳为（）

A.100兀B.1287rC.1447tD.192K

3.（2023•全国高考真题（理））甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积

分别为际和S乙，体积分别为乙和〃.若衿2,则，=（）

＞乙，乙

A.石B.2aC.MD.

4

4.（2023•全国•高考真题）正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为（）

A.20+12^B.28及C.yD.

5.（2023•北京・高考真题）某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平

面二积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：mm）.24h降雨量的等级划分如下:

24h降雨量（精确到01）

等级1200mmT

••••••••••••

小雨0.1-9.9

中雨10.0~24.9

大雨25.0~49.9

暴雨50.0-99.9

••••••...

在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200mm,高为300mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程

中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如图所示），贝!这24h降雨量的等级是

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

6.（2023•全国•高考真题（文））已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30笈则该圆锥的侧面积为.

7.（2023•山东•高考真题）已知球的直径为2,则该球的体积是.

8.（202箝浙江•高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：cm2）为2n.且它的侧面积展开图是一个半的•则

这个圆锥的底面半径（单位：cm）是.

9.（2023•江苏•高考真题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底

面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半径为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是cn?.

【过关检测】

1.（2023•陕西•蒲城县蒲城中学高一期末）棱长都是1的三棱锥的表面积为（）

A.£B.2百C.3x/3D.4石

2.（2023•广东•广州市第二中学高一阶段练习）已知圆锥的底面积为1,表面积为3,则它的侧面展开

图的圆心角力（）

—2乃—4乃一5”

BcD

A•冗-T-T-T

3.（2023•广东•饶平县第二中学高一期中）把一个铁制的底面半径为4,侧面枳为与乃的实心圆柱熔化

后铸成一个球，则这个铁球的半径为（）

A.TB-x/3C.2D.八

4.（2023•河北•高一期中）已知圆锥的体积为:S/?,其中S为圆锥的底面积，〃为圆锥的高.现有一个

空杯子，盛水部分为圆锥（底面半径为3cm,高为6cm）,现向杯中以6ml/s的速度匀速注入水，则注水/

5.（2023•河南•商丘市第一高级中学高一阶段练习）中国古代数学的瑰宝《九章第术》中记载了一种称

为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一

个如下图所示的“曲池”，其高为3,力4,底面，底面扇环所对的圆心角力行长度为部长度的3倍,

且线段力8=CZ）=2,则该“曲池”的体积为（）

6.（2023•山东•临沂二十四中高一阶段练习）如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱［4=8.若侧

CF1

面〃1田出水平放置时，液面恰好过AC,BC,AiCi，々G的三等分点处，—当底面48C水平放置

C/13

时，液面高为（）

G

7.（2023•安徽省岳西县汤池中学高一阶段练习）圆台O。'的母线长为3,两底面半径分别为1,2,则圆

台。O'的侧面积为（）

A.3兀B.9兀C.10兀D.147r

8.（2023•安徽池州•高一期中）已知正三棱锥P-/18C的四个顶点都在球O的球面.匕其侧棱长为2血，

底面边长为4,则球。的表面积是（）

A.3271B.32力冗C.24拒兀D.24兀

9.（多选题）（2023•广东•深圳市华美外国语（国际）学校高一期中）下列命题正确的是（）

A.将棱台的侧棱延长后必交于一点B.绕直角三角形H勺一边旋转一周得到的几何体是圆锥

C.若一个球的表面积扩大一倍，则该球的体积扩大2拉倍D.在棱长为1的正方体48CQ-4SGA中，

四面体/Cg乙的体积为g

10.（多选题）（2023•全国•高一课时练习）若一个直角三角形的两条直角边长分别为3与4,则以其直

角边为旋转轴.旋转而成的空间图形的侧面积为（）

A.12”B.15"C.20万D.25乃

11.（多选题）（2023•全国•高一课时练习）（多选）已知某正方体的外接球上有一个动点该正方

体的内切球上有一个动点N,若线段MV的最小值为由-1，则下列说法正确的是（）

A.正方体的外接球的表面积为12万B.正方体的内切球的体积为与

C.正方体的棱长为2D.线段的最大值为

12.（多选题）（2023•黑龙江•大庆实验中学高一期末）中和殿足故宫外朝二大殿之一，位于紫禁城太

和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒（cuan）尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部

分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧棱长为4"m，侧面与底面所成的锐二面角为0,

这个角接近30。，若取。=30。，贝］下列结论正确的是（）

A.正四棱锥的底面边长为24mB.正四棱锥的高为46m

C.正四棱锥的体积为768en?D.正四棱锥的侧面积为96VJm2

13.（2023•全国•高一专题练习）将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为