垂直于弦的直径-初中-数学-说课

24.1.2垂直于弦的直径（第一课时）克拉玛依市第三中学周兴艳各位评委老师，大家好！我是克拉玛依市第三中学的数学教师周兴艳，我很珍惜这次难得的学习机会，恳请老师们对我的课提出宝贵的意见。我展示的课题是《垂直于弦的直径》，下面我将从教材分析、学情分析、教法学法选择以及相应的教学过程设计和板书设计五个方面进行阐述。教材分析（一）教材的地位与作用《垂直于弦的直径》是九年制义务教育人教版九年级数学第二十四章第一小节第二课时的内容。垂径定理反映了圆的重要性质，是圆轴对称性质的具体化，是证明线段相等、角相等、弧相等的重要依据，同时与直角三角形相结合，也为一些圆的计算和作图问题提供了方法和依据，所以，本节内容是本章的教学重点，也是教材的重点，起着承前启后的作用。教学目标【知识技能】本节课要让学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；并学会运用它们解决有关的证明、计算问题。【数学思考】通过“实验、观察、猜想、证明”等数学活动过程、体会探索问题的一般方法和转化的数学思想。【解决问题】通过垂径定理解决实际问题，、让学生感受到数学思考过程的条理性及解决问题的策略的多样性。【情感与态度】1.让学生在学习过程中体会到数学图形的对称美。2.在探索应用垂径定理过程中，让学生体验数学活动充满着探索与创造。（三）教学的重难点垂径定理是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据，因此，我确定本节课的教学重点是：垂径定理的应用。垂径定理的题设和结论比较复杂，容易混淆，理解起来比较困难。因此，我确定本节课的难点是：垂径定理的理解与应用。二、学情分析我所面对的学生是九年级的学生，经过两年的中学学习他们的认识水平大幅提高，抽象逻辑思维能力初步形成。三、教法与学法教法：动手操作、直观演示、引导发现相结合的教学方法，让学生经历“实验—观察—猜想—证明”的探索过程。学法：观察-分析-对比-归纳-证明。四、教学过程我的教学过程分为以下四个部分逐层展开：探究实验发现新知【实验一】1.准备圆形纸片；2.圆形纸片沿直径对折，观察。发现圆是什么对称图形？设计意图：让学生按照这些要求进行实验，学生很容易得到圆是轴对称图形。追问：圆的对称轴是什么？圆有几条对称轴？学生根据已有知识，总结出本节课的第一条结论，也是关键结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。（此时，我在黑板上板书所得结论）通过学生的动手实践和对问题的思考，强化学生认知结构中与本堂课有关的内容，引导发现圆的轴对称性，为探索垂径定理奠定基础，同时体会圆的对称美。【实验二】在圆形图片上画出弦AB和垂直于弦的直径CD，以及交点E和圆心O，猜想模型中含有哪些相等的线段、相等的弧？设计意图：根据圆的轴对称性，在规定时间内自己实验、观察、得出猜想，分组交流，激发了学生的学习兴趣。【对折动画演示】设计意图：让学生观察在这个过程中，模型中互相重合的部分是哪些？他们原来的位置有怎样的关系？这样的重合说明了什么？引导学生进一步整理自己的结论，在黑板上展示成果，得到垂径定理。通过圆的对折动画生动形象的演示，让学生更加直观的感受到垂径定理的结论：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。（板书）顺利的突破了本节课的难点之一：对垂径定理的理解。得到垂径定理以后，追问学生：若将“CD是直径”改成“OD是半径”或“OE是弦心距”，结论将如何?学生会发现仍然能得到平分弦的结论。设计意图：总结归纳，垂径定理的条件可以弱化为“过圆心的线垂直于弦”（此线不一定是直径，过圆心即可），体现了数学的化归思想。（二）即时训练巩固新知为了使学生达到对知识的深化理解，从而达到巩固提高的效果，我设计了阶梯式的四组题：【基础应用】1.如图，⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，CD⊥AB,圆心O到AB的距离为____．变1：如图，⊙O的半径为10cm，圆心O到AB的距离为6cm,CD⊥AB,弦AB的长为____．变2：如图，⊙O的半径为5cm，拱高DE为2cm，CD⊥AB,弦AB的长为____．变3：如图，弦AB的长为24cm，拱高DE为8cm，CD⊥AB,⊙O的半径____．设计意图：设计4道简单的与垂径定理相关的计算题让学生对垂径定理的应用有初步的感知，总结：已知过圆心的线垂直于弦时，半径、弦长、圆心到弦的距离、拱高四个条件，只要知道其中的任意两个条件，就可以得到另外两个的长度（知二得二）。让学生了解垂径定理和勾股定理有机结合构造直角三角形是计算弦长、半径、圆心到弦的距离、拱高等问题的方法，体现了数形结合思想和方程思想。抽象出基本数学模型—拱桥模型，创造性的使用了教材，体现了数学的模型思想。【实际应用】2.克拉玛依友谊大桥主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为300m,拱高(弧的中点到弦的距离)为4m，你能求出友谊桥主桥拱的半径吗？设计意图：播放克拉玛依友谊大桥迷人的夜景图片，激发了学生的爱乡情怀与学习热情。已知友谊大桥的弦长和对应的拱高，计算主桥拱的半径，首先要建立几何模型，画出符合题意的几何图形，刚好对应基础应用的第四题，学生已经做过，降低了本题的难度，因此直接找学生板书解题过程。本题解决了学生实际生活中的问题，加深了学生对本节内容的理解，拓展了学生的应用能力，更体现了数学来源于生活又服务于生活，达到了学以致用的目的。【拓展应用】（根据学情确定本练习是否进行）：3.已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证：AC=BD.变式一：已知如图，△OAB是等腰三角形，底边AB交圆O于C、D两点.求证：AC=BD.变式二：已知如图，线段AB是圆O的弦，点C、D在AB上，△OCD是等腰三角.求证：AC=BD.设计意图：设计3道与垂径定理相关的证明题，第一题是书上90页第9题，隐去大圆，连接OA、OB，得到变式一，连接OC、OD，隐去小圆，得到变式二。解题方法是多样的，学生容易应用三角形全等，过程比较麻烦。于是引导学生利用垂径定理，添加辅助线，过圆心0做OE⊥AB。这种添加辅助线的方法是解决这类与弦有关问题的常用方法，要让学生掌握。类比一题的解题方法，变式一、二迎刃而解。学生通过对比总结归纳：重要辅助线是过圆心作弦的垂线。通过一题多解和一题多变，体现了对比思想和最优化思想。【拔高应用】（根据学情确定本练习是否进行）：4.已知如图：在⊙O中，CD⊥AB，连接OC,CT平分∠OCD.求证:=.设计意图：由垂径定理得到弧相等，加深对定理的理解，进一步突破重难点。（三）归纳小结提高认识1.知识层面①圆的对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。②垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。2.应用层面①（由）垂径定理——构造Rt△——（结合）勾股定理——建立方程，求半径、弦长、弦心距、拱高等问题②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线。3.思想层面①数形结合、方程、转化、类比、对比、模型、最优化、化归等数学思想在实际操作中的应用。②圆的对称美。设计意图：用这种方法对课堂内容进行梳理，条理清晰，让知识点有机的结合在一起，发挥了学生的主体地位。（四）分层作业因材施教为了更好地因材施教，针对学生个体的差异，我将作业题分为必做题、探究题与选做题。必做题，面向全体，巩固所学。探究题应用分类思想解决，学生容易考虑不全。选做题就是“任意交换垂径定理中