辽宁省大连市高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 利用导数研究函数的极值（2）教学设计 新人教B版选修2-2

辽宁省大连市高中数学第一章导数及其应用1.3利用导数研究函数的极值（2）教学设计新人教B版选修2-2科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）课程基本信息1.课程名称：辽宁省大连市高中数学第一章导数及其应用1.3利用导数研究函数的极值（2）

2.教学年级和班级：高一年级（1）班

3.授课时间：2022年9月15日星期四上午第二节课

4.教学时数：1课时核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学建模能力。通过导数概念的应用，学生能够学会从几何直观到代数运算的转化，发展数学思维。此外，通过解决实际问题的过程，学生将提升解决复杂问题的能力，增强对数学与实际生活联系的认识，同时培养严谨的科学态度和合作学习的精神。教学难点与重点1.教学重点，

①理解函数极值的概念，并能准确地找出函数的驻点和导数的零点。

②掌握如何通过导数的符号变化来判断函数的单调性和极值点。

③能够运用导数解决实际问题，如最大值和最小值问题的应用。

2.教学难点，

①正确理解导数的几何意义，将其与函数的局部性质联系起来。

②掌握如何处理导数等于零的驻点以外的点，特别是非驻点处的极值判断。

③在复杂函数中，识别和分析导数与极值之间的关系，尤其是当导数变化复杂时，如何有效判断极值点。

④将导数知识应用于解决实际问题，尤其是在实际问题中如何建立合适的数学模型，并利用导数分析模型的行为。教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：通过教师的系统讲解，帮助学生建立导数概念的基本框架，确保学生对基本概念有清晰的理解。

2.讨论法：组织学生分组讨论，鼓励他们提出问题并共同解决，提高学生的合作能力和问题解决能力。

3.实例分析法：通过具体实例的讲解和分析，让学生理解导数在解决实际问题中的应用，增强学生的实践能力。

教学手段：

1.多媒体演示：利用PPT展示函数图像和导数变化情况，直观地展示导数与函数性质的关系。

2.互动软件：使用数学软件进行动态演示，让学生通过操作直观感受导数的变化，加深理解。

3.网络资源：引导学生利用网络资源查找相关案例，拓展知识面，并培养自主学习的习惯。教学过程设计（一）导入环节（5分钟）

1.创设情境：展示生活中常见的曲线变化场景，如抛物线运动轨迹、建筑物的设计曲线等，引导学生思考曲线变化背后的数学原理。

2.提出问题：引导学生思考如何描述曲线在某一点处的局部变化，从而引出导数的概念。

3.学生互动：请学生分享生活中的实例，讨论导数在生活中的应用，激发学生的学习兴趣。

（二）讲授新课（25分钟）

1.导数概念：介绍导数的定义，通过极限的思想阐述导数的几何意义，让学生理解导数描述的是函数在某一点的瞬时变化率。

2.导数的计算：讲解导数的计算方法，包括导数的定义法、求导法则等，通过实例演示，使学生掌握求导的基本技巧。

3.导数的性质：介绍导数的基本性质，如可导性、连续性、可导与连续的关系等，帮助学生理解导数的内在规律。

4.导数与函数性质的关系：讲解导数与函数单调性、极值的关系，通过实例分析，使学生掌握如何利用导数判断函数的性质。

（三）巩固练习（15分钟）

1.练习题目：布置与新课内容相关的练习题，包括选择题、填空题和解答题，让学生在练习中巩固所学知识。

2.学生讨论：分组讨论练习题目，鼓励学生提出自己的解题思路，共同解决难题。

（四）课堂提问（5分钟）

1.课堂提问：针对新课内容，提出几个关键问题，引导学生深入思考，提高学生的思维能力。

2.学生回答：请学生回答问题，教师点评并给予指导。

（五）师生互动环节（10分钟）

1.教师提问：针对新课内容，提出几个开放性问题，引导学生发散思维，培养学生的创新意识。

2.学生提问：鼓励学生提出自己在学习过程中遇到的问题，教师解答并给予指导。

（六）核心素养拓展（5分钟）

1.结合实际：引导学生将所学知识应用于实际问题，如工程设计、经济分析等，培养学生的实际应用能力。

2.数学文化：介绍导数在数学发展史上的地位，激发学生对数学学科的兴趣。

教学时间分配：

导入环节：5分钟

讲授新课：25分钟

巩固练习：15分钟

课堂提问：5分钟

师生互动环节：10分钟

核心素养拓展：5分钟

总用时：45分钟教学资源拓展1.拓展资源：

-函数的极值在实际生活中的应用：介绍极值在物理学、经济学、工程学等领域的应用实例，如物理学中的能量最小化问题、经济学中的利润最大化问题、工程学中的结构优化问题等。

-导数的几何意义拓展：探讨导数在曲线切线斜率、曲线凹凸性、曲线拐点等几何性质中的应用。

-高阶导数的概念和应用：介绍高阶导数的定义、计算方法以及在函数性质分析中的应用，如拐点的判断、函数的凹凸性分析等。

-微分方程的基本概念和求解方法：介绍微分方程的基本概念，如一阶微分方程、二阶微分方程等，以及常见的求解方法，如分离变量法、积分因子法等。

2.拓展建议：

-鼓励学生阅读相关科普书籍，如《数学之美》、《数学与生活》等，了解数学在各个领域的应用。

-建议学生参加数学竞赛或相关活动，如数学建模竞赛、数学奥林匹克等，提升数学思维和解决问题的能力。

-引导学生关注数学期刊和学术网站，如《数学进展》、《中国数学教育》等，了解数学领域的最新研究成果。

-鼓励学生参与科研项目，如数学建模、数学实验等，将所学知识应用于实际问题，提高实践能力。

-建议学生利用网络资源，如在线课程、教育平台等，拓展学习内容，加深对导数及其应用的理解。

-组织学生进行小组讨论，分享各自的学习心得和发现，促进知识的交流和共享。

-鼓励学生撰写数学小论文，对导数及其应用进行深入研究，提高学术写作能力。典型例题讲解1.例题：已知函数\(f(x)=x^3-3x+2\)，求函数的极大值和极小值。

解题步骤：

-求导数：\(f'(x)=3x^2-3\)

-令导数等于零，求驻点：\(3x^2-3=0\)，解得\(x=\pm1\)

-分析导数的符号变化，确定极值点：当\(x<-1\)或\(x>1\)时，\(f'(x)>0\)；当\(-1<x<1\)时，\(f'(x)<0\)

-计算\(x=-1\)和\(x=1\)处的函数值：\(f(-1)=2\)，\(f(1)=0\)

-结论：\(f(x)\)在\(x=-1\)处取得极大值2，在\(x=1\)处取得极小值0。

2.例题：已知函数\(f(x)=\frac{x^2}{2}-x+1\)，求函数在区间\([0,2]\)上的最大值和最小值。

解题步骤：

-求导数：\(f'(x)=x-1\)

-令导数等于零，求驻点：\(x-1=0\)，解得\(x=1\)

-分析导数的符号变化，确定极值点：在\(x=1\)处，\(f'(x)=0\)

-计算\(x=0\)，\(x=1\)，\(x=2\)处的函数值：\(f(0)=1\)，\(f(1)=\frac{1}{2}\)，\(f(2)=1\)

-结论：函数在区间\([0,2]\)上的最大值为1，最小值为\(\frac{1}{2}\)。

3.例题：已知函数\(f(x)=e^x-x\)，求函数的极值。

解题步骤：

-求导数：\(f'(x)=e^x-1\)

-令导数等于零，求驻点：\(e^x-1=0\)，解得\(x=0\)

-分析导数的符号变化，确定极值点：当\(x<0\)时，\(f'(x)<0\)；当\(x>0\)时，\(f'(x)>0\)

-结论：\(f(x)\)在\(x=0\)处取得极小值1。

4.例题：已知函数\(f(x)=\ln(x)-x\)，求函数的极值。

解题步骤：

-求导数：\(f'(x)=\frac{1}{x}-1\)

-令导数等于零，求驻点：\(\frac{1}{x}-1=0\)，解得\(x=1\)

-分析导数的符号变化，确定极值点：当\(x<1\)时，\(f'(x)>0\)；当\(x>1\)时，\(f'(x)<0\)

-结论：\(f(x)\)在\(x=1\)处取得极大值-1。

5.例题：已知函数\(f(x)=x^3-6x^2+9x\)，求函数的极值。

解题步骤：

-求导数：\(f'(x)=3x^2-12x+9\)

-令导数等于零，求驻点：\(3x^2-12x+9=0\)，解得\(x=1\)或\(x=3\)

-分析导数的符号变化，确定极值点：当\(x<1\)或\(x>3\)时，\(f'(x)>0\)；当\(1<x<3\)时，\(f'(x)<0\)

-计算\(x=1\)和\(x=3\)处的函数值：\(f(1)=4\)，\(f(3)=0\)

-结论：\(f(x)\)在\(x=1\)处取得极大值4，在\(x=3\)处取得极小值0。教学反思与改进教学反思是教师成长的重要环节，通过反思，我们可以更好地了解自己的教学效果，发现不足，从而改进教学方法。以下是我对本次“利用导数研究函数的极值”一课的教学反思：

1.教学效果评估：课后，我会通过观察学生的课堂表现、作业完成情况以及测试成绩来评估教学效果。我关注的是学生是否能够理解导数的概念，是否能够运用导数判断函数的极值，以及是否能够将所学知识应用于解决实际问题。

2.教学不足之处：在教学过程中，我发现有些学生对导数的概念理解不够深入，对导数的计算和应用不够熟练。此外，部分学生在解决实际问题时，缺乏建模的能力。

3.改进措施：

-深化概念教学：通过引入更多实例，帮助学生理解导数