高中数学：第九章　§9-3　一元线性回归模型及其应用

§9.3一元线性回归模型及其应用

【考试要求】1.了解样本相关系数的统计含义2了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模型

参数的最小二乘估计方法.3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.变量的相关关系

⑴相关关系：两个变量有关系,但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度,

这种关系称为相关关系.

⑵相关关系的分类：正相关和负相关.

(3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附

近，我们就称这两个变量线性相关.

2.样本相关系数

n__

Z(为一])(>,»-y)

0尸_/“_•

yz区-T)2yjt保一7)2

⑵当r>0时，称成对样本数据正出去；当re。时，称成对样本数据负相关.

(3)MW1；当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|”越接近0时，成对样本

数据的线性相关程度越弱.

3.一元线性回归模型

(1)我们将；=葭+；称为丫关于x的经验回归方程，

H__—

Z(即一x)Cv/-y)

Ar-l

其中<Y(%,—T)2

i=l

AA_

y-bx.

(2)残差：观测值减去预测道称为残差.

【常用结论】

1.经验回归直线过点(工，7).

2.求,时，常用公式/=+------

Zd-〃x

!=1

3.【回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进吁估计或推断，得出的结论都可能犯

错误.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“义”）

（1）相关关系是一种非确定性关系.（J）

（2）散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段.（J）

AAA

（3）经验回归直线y=Z?x+a至少经过点（即，）」），（孙）2）,…，（,%,加）中的一个点.（X）

（4）样本相关系数的绝对值越接近1,成对样本数据的线性相关程度越强.（V）

【教材改编题】

1.在对两个变量x，丁进行回归分析时有下列步骤：

①对所求出的经验回归方程作出解释：②收集数据（即，y）,i=l,2,…，〃：③求经验回归方

程；④根据所收集的数据绘制散点图.

则下列操作顺序正确的是（）

A.①②④③B.③@④①

C.②③0@D.②®®①

答案D

解析根据回归分析的思理，可知对两个变量羽丁进行回归分析时，应先收集数据（H,V）,

然后绘制散点图，再求经检回归方程，最后对所求的经验回归方程作出解释.

2.对于x,y两变量，有四组成对样本数据，分别算出它们的样本相关系数，•如下，则线性

相关性最强的是（）

A.-0.82B.0.78C.-0.69D.0.87

答案D

解析由样本相关系数的绝对值|“越大，变量间的线性相关性越强知，各选项中r=0.87的绝

对值最大.

3.某单位为了了解办公楼用电量M度）与气温M℃）之间的关系，随机统计了四个工作日的用

电量与当天平均气温，并制作了对照表：

气温（C）181310-1

用电量（度）24343864

由表中数据得到经验回归方程），=-2x+m当气温为一4℃时，预测用电量约为（）

A.68度B.52度

C.12度D.28度

答案A

解析由表格可知A=10,），=40,

A

根据经验回归直线必过（；，亍）得a=40+20=60,

A

・•・经验回归方程为），=—2x+60,

A

因此当X=-4时，），=68.

■探究核心题型

题型一成对数据的相关性

例1（1）（2023.保定模拟）已知两个变量x和），之间有线性相关关系，经调查得到如下样本数

据：

X34567

y3.52.41.1-0.2_1.3

根据表格中的数据求得经验回归方程为;=£+；则下列说法中正确的是（）

AAAA

A.〃>0,b>0B.«>0,b<0

AAAA

C.a<0,b>0D.a<0,b<0

答案B

解析由已知数据可知），随着工的增大而减小，则变量x和），之间存在负相关关系，所以信0.

——1——IAA

又x=§X（3+4+5+6+7）=5,y=§X（3.5+2.4+1.1—0.2—1.3）=1.1,即1.1=5〃+°,所

AA

l^a=lA-5b>0.

⑵对两个变量x，），进行线性相关分析，得到样本相关系数〃=0.8995,对两个变量〃，。进

行线性相关分析，得到样本相关系数/2=-0.9568,则下列判断正确的是（）

A.变量x与），正相关，变量〃与。负相关，变量x与），的线性相关性较强

B.变量x与），负相关，变量〃与。正相关，变量x与），的线性相关性较强

C.变量x与），正相关，变量〃与。负相关，变量〃与。的线性相关性较强

D.变量x与），负相关，变量〃与。正相关，变量〃与。的线性相关性较强

答案C

解析依题意，得八=0.8995,/2=-0.9568,

所以X,丁正相关，〃，。负相关，|门|〈|闻＜1,

所以小。的线性相关性较强.

思维升华判定两个变量知关性的方法

（1）画散点图：若点的分布从左下角到右上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上角到右

下角，则两个变量负相关.

⑵样本相关系数：当r＞0时，正相关；当Z0时，负相关；仍越接近1,相关性越强.

AA

⑶经脸回信方程：当占＞0时，正相关；当从0时，负相关.

跟踪训练I（I）某公司2017〜2022年的年利润M单位：百万元）与年广告支出M单位：百万

元）的统计资料如表所示：

年份201720182019202020212022

利润X12.214.6161820.422.3

支出y0.620.740.810.8911.11

根据统计资料，则利润中位数（）

A.是16,x与y有正相关关系

B.是17,x与），有正相关关系

C.是17,x与），有负相关关系

D.是18,x与），有负相关关系

答案B

解析由题意知,利润中位数是空”=17・而日随着总利润Y的增加,广告支出y也在增

加，故x与y有正相关关系.

（2）已知相关变量x和y的散点图如图所示，若用），=〃”!1收1幻与拟合时的样本相关

系数分别为〃，-2则比较小/2的大小结果为（）

■

12345678x

A.r\>r2B.门=/*2

C.r\<nD.不确定

答案C

解析由散点图可知，用y="ln伏㈤拟合比用），=&＞+岳拟合的程度高，故I川＞|火卜

又因为x,），负相关，所以一门＞一r2,即，

题型二回归模型

命题点1一元线性回归模型

例2（2023・蚌埠模拟）某商业银行对存款利率与日存款总量的关系进行调研，发现存款利率

每上升一定的百分点，日均存款总额就会发生一定的变化，经过统计得到下表：

利率上升百分点X0.10.20.30.40.5

日均存款总额），（亿元）0.20.350.50.650.8

⑴在给出的坐标系中画出上表数据的散点图;

（2）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出），关于X的经验回归方程;=>+小

⑶已知现行利率下的日均存款总额为0.625亿元，试根据⑵中的经验回归方程，预测日均存

款总额为现行利率卜.的2倍时，利率需上升多少个百分点？

'Z.Xiyj—nxy

A尸1AA55

参考公式及数据：①b二-------------,a=y-bx,②£x；y=0.9,£3=0.55.

v。—7尸1尸1

解（1）如图所示.

().9

0.8

().7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

().1

0().10.2().30.40.50.6x

——

(2)由表格数据可得x=TX(0.1+0.2+0.3+0.44-0.5)=03,y=gX(0.2+0.35+0.5+0.65+

0.8)=0.5,

a音孙-5x），09-5X03X0.5

PRB==0.55-5X0.3X0.3=1-5*

''^'£V2_572

f-1

A__A__

a=y—bx=0.5—1.5X0.3=0.05,

A

故y=L5x+0.05.

⑶设利率需上升x个百分点，

由（2）得，0.625X2=1.5x4-0.05,解得x=0.8,

所以预测利率需上升0.8个百分点.

命题点2非线性回归模型

例3（2023・保山模拟）某县为了解乡村经济发展情况，对全县乡村经济发展情况进行调研，

现对2013年以来的乡村经济收入），（单位：亿元）进行了统计分析，制成如图所示的散点图，

其中年份代码工的值1—10分别对应2013年至2022年.

9G乡村经济收入y（亿元）

80.***

70.・・・・

6（）.,

01234567891（）年份代码x

⑴若用模型①②,=。+以区拟合y与x的关系，其样本相关系数分别为n=0.8519,

,2=0.9901,试判断哪个模型的相关程度更强？

（2）根据（1）中相关程度更强的模型，求），关于x的经验回归方程（系数精确到0.01）,并估计该

县2026年的乡村经济收入（精确到0.01）.

参考数据：4=而，I=而斗,行23.606,523.742,灰23.873.

10_10_10__10__

ytE(为一%)2S(fi—t)2E(Xi-x)-(jr—y)2(ti-t)&-y)

J=1/=1/=!/=i

72.652.25126.254.52235.4849.16

参考公式：对于一组数据（八，yi）,。2,>,2）,…，（tn,%），经脸回归方程>=”中的斜率和

截距的最小二乘估计公式分别为〃=----------------,

f=l

A__A

a-y—ht.

解(1)因为，2更接近1,所以y=〃+/M的相关程度更强.

(2)根据题中所给数据得；=；+),

io__

Z(lI)(.y/-y)

八/=,4916

所以6=J=452^10,88,

£9-7)2-

1=1

A

则472.65-10.88X2.25=48.17,

所以非线性经验回归方程为y=48.17+10.8队&,

2026年的年份代码为14,

A

当x=14时，＞'=48.17+10.88X^14^88.88,

所以估计该县2026年的乡村经济收入为88.88亿元.

思维升华求经验回归方程的步躲

由一出Q轴与M城区一初犷刃,;

党"“)2的值：

利用公式计算£,另

写出经验回归方程9=标+£：

跟踪训练2(2022.南K充模拟)某特色餐馆开通了某APP的外卖服务，在一周内的某特色菜外

卖份数M单位：份)与收入)，(单位：元)之间有如下的对应数据：

外卖份数M份)24568

收入y(元)3()40605()70

(I)在给出的坐标系中画出数据散点图;

8

7\lz

61

5n

4

I/

3

I/

2n

1H

02468K

(2)请根据以上数据用最小二乘法求出收入)，关于份数x的经验回归方程;

(3)据此估计外卖份数为12时，收入为多少元.

55

参考数据公式：£6=145,以第=1380,

L（为一人）（y-y）Z眇L〃A-y

Ai=\r=l

b=------------------------=------------------

y（Xi-x）2一〃x2

a=y-bx.

解(1)作出散点图如图所示.

8

7H

651

A/

4n

3n

2

n

1

H

(2)由表格数据得，x==5,

—30+40+60+50+70

），=--------c--------=50,

5__________

£孙一5xy

；,=,I38O-5X5X5O

则nlQ二一二=145—5X5?=6.5,

2^-5X2

尸1

AA

a=~-b~=50-6.5X5=17.5,

因此，所求经验回归方程为；=6.5x+175

A

(3)当x=12时，y=12X6.5+17.5=95.5,

即外卖份数为12时，预测收入为95.5元.

题型三残差分析

例4(1)(多选)下列说法正确的是()

A.在经验回归方程;^=—0.85x+2.3中，当解释变后x每增加1个单位时，响应变京；平均减

少2.3个单位

B.在经验回归方程)，=一0.85犬+2.3中，相对于样本点(1,1.2)的残差为一0.25

C.在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好

D.若两个变量的决定系数R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好

答案BCD

解析对于A,根据经验回归方程，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y平均减少

0.85个单位，故A错误;

对于B,当解释变量x=l时，响应变量y=L45,则样本点(1,1.2)的残差为-0.25,故B正确；

对于C,在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，说明拟合精度越高，即拟合效

果越好，故C正确；

对于D,由决定系数R2的意义可知，R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，

故D正确.

(2)新能源汽车的核心部件是动力电池，电池占了新能源整车成本的很大•部分，而其中的原

材料碳酸锂又是电池的主要成分.从2020年底开始，碳酸锂的价格不断升高，如表是2022

年某企业的前5个月碳酸锂的价格与月份的统计数据：

月份代码X12345

碳酸锂价格N万元/kg)0.50.61m1.5

根据表中数据，得出)，关于工的经验回归方程为；，=0.28x+；根据数据计算出在样本点(5,1.5)

处的残差为一0.06,则表中m=.

答案1.4

AA

解析由题设，1.5—)，=1.5-(0.28X5+幻=-0.06,

A

可得a=0.16.

—0.5+0.6+I+〃?+1.53.6+m

=5=-5~*

2AI

n

所以0.28X3+0.16=^s\

可得6=1.4.

思维升华检脸回归模型的拟合效果的两种方法

(1)残差分析：通过残差分析发现原始数据中的可疑数据，判断所建立模型的拟合效果.

(2)收分析：通过公式计算R2,R2越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好；R2越小，

残差平方和越大，模型的拟合效果越差.

跟踪训练3(1)下列命题是真命题的为()

A.经验回归方程；=£+；一定不过样本点

B.可以用样本相关系数「来刻画两个变量x和3，线性相关程度的强弱，r的值越小，说明两

个变量线性相关程度越弱

C.在回归分析中，决定系数网=0.80的模型比决定系数收=0.98的模型拟合的效果要好

D.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

答案D

解析对于A,经验回归方程不一定经过其样本点，但一定经过（；，7）,所以A是假命题；

对于B,由样本相关系数的意义，当仍越接近。时，表示变量了与x之间的线性相关程度越

弱，所以B是假命题；

对于C,用决定系数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，所以C

是假命题；

对FD,由残差的统计学意义知，D是真命题.

（2）女高中生的体重Mkg）关于身高x（cm）的经验回归方程是），=0.75x—75.5,则此方程在样本点

（160,46）处的残差是.

答案L5

A

解析由题意得y=0.75工一75.5,

A

当x=160时，），=0.75X160—75.5=44.5,

此方程在样本点（160,46）处的残差为46-44.5-1.5.

课时精练

区基础保分练

1.下列有关线性回归的说法，不正确的是（）

A.具有相关关系的两个变量不是因果关系

B.散点图能直观地反映数据的相关程度

C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系

D.任一组数据都有经验回归方程

答案D

解析根据两个变量具有相关关系的概念，可知A正确；

散点图能直观地描述呈相关关系的两个变量的相关程度，且回归直线最能代表它们之间的相

关关系，所以B,C正确；

具有相关关系的成对样本数据才有经验回归方程，所以D不正确.

2.对于样本相关系数，下列说法错误的是（）

A.样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关的正负性

B.样本相关系数可以是正的，也可以是负的

C.样本相关系数「仁[一1,1]

D.样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强

答案D

解析样本相关系数的绝对值越接近1,成对样本数据的线性相关程度越强，故D错误.

3.（2023・运城模拟）在线性回归模型中，变量x与J，的•组样本数据对应的点均在直线y=g

X（yi-y1）2

+1上，R2=I--------------,则改等于（）

xcv,-7）2

1=1

115

A-C-

42-2

答案C

解析因为样本数据对应的点均在一条直线上，

所以R2=l.

4.（多选）某工厂研究某种产品的产量M单位：吨）与所需某种材料），（单位：吨）之间的相关关

系，在生产过程中收集4组数据如表所示.根据表中数据可得经验回归方程为；=0.7x+）

则下列四个说法中正确的为（）

X3467

y2.5345.9

A.变量x与），正相关

B.与x的样本相关系数r<0

C.a=0.35

D.当产量为8吨时，预测所需材料约为5.95吨

答案ACD

解析因为经验回归方程）=0.7x+a,

所以变量x与呈正相关，

所以样本相关系数r>0,故A正确，B错误;

3+4+6+72.5+3+4+59

由表格可得x4=5,=3.85,

则0.7X5+a=3.85,解得"=0.35,故C正确;

A

所以经脸回归方程为），=0.7x+0.35,

A

当.1=8时，y=0.7X8+0.35=5.95,

即产量为8吨时，预测所需材料约为5.95吨，故D正确.

5.（多选）（2023・唐山模拟）某制衣品牌为使成衣尺寸更精准，选择了10名志愿者，对其身高（单

位：cm）和臂展（单位：cm）进行了测量，这10名志愿者身高和臂展的折线图如图所示.已知

这10名志愿者身高的平均值为176cm,根据这10名志愿者的数据求得臂展〃关于身高。的

A

经验I可归方程为〃=l.2o—34,则下列结论正确的是()

身高一臂展

A.这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差

B.这10名志愿者的身高和臂展呈负相关

C.这10名志愿者臂展的平均值为176.2cm

D.根据经验回归方程可估计身高为160cm的人的臂展为158cm

答案AD

解析对于选项A,因为这10名志愿者臂展的最大值大于身高的最大值，而臂展的最小值小

于身高的最小值，所以这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差，故A正确；

对于选项B,因为1.2>0,所以这10名志愿者的身高和臂展呈正相关关系，故B错误；

对于选项C,因为这10名志愿者身高的平均值为176cm,所以这10名志愿者臂展的平均值

为1.2X176-34=177.2(cm),故C错误；

对于选项D,若一个人的身高为160cm,则由经验回归方程;=1.2。-34,可得这个人的臂展

的估计值为158cm,故D正确.

6.色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表口：已

知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且;=0.8工+小现有一对测量数据为

(30,23.6),则该数据的残差为()

A.-0.96B.-0.8C.0.8D.0.96

答案C

—21+23+25+27—15+18+19+20

解析由题意可知,x=------4------=24,y=4=18,

将(2418)代入)，=0.81+〃,

即18=08X24+。,解得。=一1.2,

所以了=0.8工一1.2,

当x=30时，y=0.8X30-1.2=22.8,

所以该数据的残差为23.6—22.8=0.8.

7.某智能机器人的广告费用M万元)与销售额.v(万元)的统计数据如表所示:

广告费用M万元)2356

销售额兴万元)28314148

根据此表可得经验回归方程为；=5x+；据此模型预测广告费用为8万元时销售额为

________万元.

答案57

，曰一24-3+5+6—28+31+41+48

解析由表格,得1=---------=%），=-------5------=37,

所以37=5X4+〃，即4=17,

所以预测当广告费用为8万元时，销售额为5X8+17=57(万元).

8.已知变量％和变量y的•组随机观测数据为(2,30),(4,40),(5,60),(6,50),(8,70).如果y

关于x的经验回归方程是;：=65t+17.5,那么当％=5时，残差等于.

答案10

解析由已知条件可知，当x=5时，观测值为60,

A

将x=5代入经验回归方程y=6.5_r+17.5,

A

可得y=6.5X5+17.5=50,

所以残差等于60-50=10.

9.假设关于某种设备的使用年限M单位：年)与所支出的维修费用y(单位：万元)有如下统计

资料：

X23456

y2.23.85.56.57.0

已知会?=90,玄衿140.8,必通=112.3,回*8.9,、色F.4.

;=1:=1:=I

⑴求X,J；

(2)计算)，与x的样本相关系数4精确到0.001),并判断该设备的使用年限与所支出的维修费

用的相关程度.

S(为-xy)^Xiy.-nxy

附：样本相关系数r=八_”_

3)2.8—亍)2yj^xr-nx2）（莓*一〃y2）

5—2+3+4+5+6

解(1)工=------5------=%

—2.2+3.8+5.5+6.5+7.O

y=v=5.0.

5-

(2)£i»—5xy=112.3-5X4X5=12.3,Lvr-5X2=90-5X42=10,

I-i

5-

4,一5y140.8-5X52=15.8,

5____

£H)L5xy

”__________2___________________12.312.312.33、

所以r=/s_/5心石衣彘二环历T屈3q°987,

A*5不、/ZK-572

/•接近I,说明该设备的使用年限与所支出的维修费用之间具有很高的相关性.

10.(2022•全国乙卷)某地经过多年的环境治理，口将荒山改造成了绿水青山.为估计林区

某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：n?)

和材积量(单位：m)得到如下数据：

样本号i12345678910总和

根部横截

0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

面积Xi

材积量y.0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并计算得£了=。038，4)彳=1.6158,却⑤=。2474.

(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均•棵的材积量：

(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；

(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和

为186m2.已知树木的材枳量与其根部横截面枳近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树

木的总材枳量的估计值.

n__n____

J.X)(>7-y)^Xiyi-nxy____

酎：样本相关系数r=in—“_=/”_“_，W-896

(XLx喀GLy)2Nx2)副一〃y2)

P1.377.

解(1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值A-=^=0.06(m2),

样本中10棵这种树木的材积量的平均值

y=ii^=0.39(m3),

据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06m2,平均一棵的材积量为0.39m\

10____

£物一10xy

i-i

⑵——I

/10_10_

'八涓一10”)(»¥—10),2)

__________0.2474-10X0.06X0.39________

一人(0.038—10*0.062)义(1.6158—10X0.392)

0.0134一0.0134

=^0.0001896"OT77"0-97-

(3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Km3,

又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比,

丁丹0.06186

3J^039="y-*

解得Y=\209.

则该林区这种树木的总材积量的估计值为1209m3.

应综合提升练

11.(多选)针对某疾病，各地医疗机构采取了各种有针对性的治疗方法，取得了不错的成效,

某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示，由表格可得)，关于R的经

验回归力程为；=61十；，则下列说法正确的是()

周数㈤12345

治愈人数2173693142

A.a=4

A

B.a=-8

C.此I可归模型第4周的残差为5

D.估计第6周治愈人数为220

答案BC

解析设f=『，则y=6/+〃，

由已知得7=£X(1+4+9+16+25)=U,

一1

>'=7X(2+17+36+93+142)=58,

所以。=58—6乂11=-8,故A错误，B正确；

A

在y=6『一8中，令x=4,

A

得），4=6x42-8=88,

所以此回归模型第4周的残差为＞4—）U=93—88=5,故C正确；

A

在），=6/-8中，令x=6,

A

得%=6X62-8=208,故D错误.

12.2020年，全球开展了某疫苗研发竞赛，我国处于领先地位，为了研究疫苗的有效率，在

某地进行临床试验，对符合一定条件的10000名试验者注射了该疫苗，一周后有20人感染,

为了验证疫苗的有效率，同期，从相同条件下未注射疫苗的人群中抽取250