厦门大学《数值分析》2025-2026学年期末试卷

厦门大学《数值分析》2025-2026学年期末试卷厦门大学《数值分析》2025-2026学年期末试卷

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1.牛顿迭代法在单根区间内收敛的充分条件是函数在该区间内具有怎样的导数特性？

A.导数恒大于零B.导数恒小于零C.导数符号不变且不为零D.导数符号变化

2.在插值理论中，拉格朗日插值与牛顿插值的根本区别在于？

A.插值基函数的形式B.插值点的选择C.插值多项式的阶数D.插值误差的估计方法

3.数值积分中，辛普森公式的核心思想是？

A.将积分区间等分B.采用二次多项式近似C.利用泰勒展开D.基于矩形法则的改进

4.在求解线性方程组时，高斯消元法与LU分解的主要区别在于？

A.矩阵分解的复杂性B.对称性处理C.迭代次数D.稳定性

5.迭代法收敛速度的量度通常使用？

A.收敛阶B.收敛域C.截断误差D.相对误差

6.在数值微分中，中心差分公式相较于向前差分和向后差分的主要优势是？

A.计算量更小B.精度更高C.实现更简单D.适用范围更广

7.在求解常微分方程初值问题时，欧拉方法与龙格-库塔方法的主要区别在于？

A.时间步长选择B.显式与隐式特性C.内存需求D.刚性问题处理

8.奇异值分解（SVD）在矩阵分析中的核心作用是？

A.矩阵求逆B.矩阵近似C.特征值计算D.线性方程组求解

9.在非线性方程求根问题中，二分法相较于牛顿法的优势在于？

A.不需要导数信息B.收敛速度更快C.对初始值要求更低D.实现更复杂

10.在蒙特卡洛方法中，随机数生成的核心要求是？

A.均匀分布B.无记忆性C.独立性D.可重现性

二、多项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1.数值稳定性通常与哪些因素相关？

A.算法设计B.计算精度C.输入数据的规模D.硬件浮点数表示

2.插值方法在工程应用中的主要挑战包括？

A.龙伯拉斯现象B.插值节点选择C.计算效率D.数值微分误差放大

3.数值积分方法的收敛性通常需要满足哪些条件？

A.被积函数的连续性B.积分区间的有限性C.积分精度的要求D.步长选择的合理性

4.线性方程组求解的迭代法主要包括？

A.高斯消元法B.雅可比迭代法C.SOR迭代法D.GMRES方法

5.常微分方程数值解法的适用范围包括？

A.刚性方程B.隐式方法C.显式方法D.稳定性分析

三、（判断题、填空题、简答题综合）（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

在数值分析中，判断下列说法的正误，并简要说明理由。（20分）

1.填空题（10分）

请解释什么是数值稳定性，并举例说明数值不稳定性可能导致的问题。

简答题（10分）

比较泰勒级数展开与数值插值方法在函数逼近中的优缺点，并说明它们各自适用的场景。

四、（材料分析题）（本大题共1小题，共20分）

材料一：考虑如下常微分方程初值问题

dy/dx=-2xy,y(0)=1

分别用欧拉方法（步长h=0.1）和改进欧拉方法（即梯形法则）求解x=0.5时的近似解，并比较两种方法的误差。（10分）

材料二：已知函数f(x)=sin(x)在区间[0,π]上的积分，试用复合辛普森公式（将区间分为4等份）计算其近似值，并分析可能存在的误差来源。（10分）

五、（综合应用题）（本大题共1小题，共25分）

材料一：给定矩阵A=[[3,1],[1,3]]，试用Householder变换方法将其分解为QR形式，并解释每一步骤的几何意义。