福州工商学院《数值分析》2025-2026学年期末试卷

福州工商学院《数值分析》2025-2026学年期末试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1.牛顿迭代法在单根条件下收敛速度最快，其主要依据是函数在该根附近的泰勒展开式具有（）性质。

A.常数项B.线性项C.二次项D.高次项

2.在插值方法中，拉格朗日插值与牛顿插值的根本区别在于其构造插值多项式所使用的基函数形式。

A.正确B.错误

3.数值微分中，利用差分公式近似导数时，中心差分公式比向前差分公式具有更高的精度，这是因为中心差分公式避免了（）误差。

A.截断误差B.系统误差C.随机误差D.相对误差

4.在解线性方程组时，高斯消元法与LU分解法的本质区别在于前者需要重复计算消元过程中的常数项，而后者则通过分解矩阵直接得到L和U矩阵。

A.正确B.错误

5.在求解非线性方程时，二分法的主要优点是算法简单且收敛速度较快，但其缺点是要求函数在定义域内具有（）性质。

A.单调性B.连续性C.可导性D.可积性

6.在矩阵特征值问题中，幂法主要用于求解按模最大的特征值及其对应的特征向量，其基本思想是利用矩阵的重复幂次运算使得迭代向量逐渐逼近特征向量。

A.正确B.错误

7.在曲线拟合中，最小二乘法的主要目标是寻找一个拟合函数使得所有数据点与拟合函数的（）最小。

A.距离平方和B.距离立方和C.绝对差和D.均值

8.在数值积分中，辛普森公式比梯形公式具有更高的精度，这是因为辛普森公式使用了（）个基函数来近似被积函数。

A.2B.3C.4D.5

9.在常微分方程初值问题中，欧拉方法的主要缺点是收敛速度较慢，其原因是该方法的局部截断误差为（）阶。

A.一B.二C.三D.四

10.在迭代法中，雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法的主要区别在于前者在每次迭代时使用上一轮的旧值，而后者则使用当前轮的（）值。

A.部分新B.全部新C.部分旧D.全部旧

二、多项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1.以下哪些方法是求解线性方程组的直接法？（）

A.高斯消元法B.迭代法C.LU分解法D.QR分解法

2.在插值方法中，以下哪些性质是插值多项式必须满足的？（）

A.通过所有插值节点B.光滑性C.精度D.唯一性

3.数值微分中，以下哪些公式是常用的差分公式？（）

A.向前差分公式B.向后差分公式C.中心差分公式D.梯形公式

4.在矩阵特征值问题中，以下哪些方法是常用的特征值计算方法？（）

A.幂法B.奇异值分解C.QR算法D.豪斯霍尔德变换

5.在曲线拟合中，以下哪些方法是常用的拟合方法？（）

A.最小二乘法B.最小二乘法C.最小二乘法D.最小二乘法

三、（判断题、填空题）（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

1.判断题：在插值方法中，插值多项式的次数越高，其拟合效果越好。（）

2.判断题：在数值积分中，辛普森公式比梯形公式具有更高的精度。（）

3.判断题：在常微分方程初值问题中，欧拉方法比龙格-库塔方法具有更高的精度。（）

4.填空题：在解线性方程组时，高斯消元法的每一步消元过程都可以通过一个（）矩阵来实现。

5.填空题：在矩阵特征值问题中，幂法主要用于求解按模最大的特征值及其对应的特征向量，其收敛速度取决于矩阵的（）性质。

四、（材料分析题）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

材料一：已知函数f(x)=x^3-x-1，试用二分法求该函数在区间[1,2]内的一个根，要求误差不超过10^-4。

材料二：给定数据点（1,1），（2,3），（3,5），（4,7），试用拉格朗日插值法求f(2.5)的近似值。

1.请根据材料一，详细描述二分法的具体步骤，并计算最终的根的近似值。

2.请根据材料二，详细描述拉格朗日插值法的具体步骤，并计算f(2.5)的近似值。

五、（综合应用题）（本大题共2小题，每小题15分，共30分）

材料一：给定线性方程组Ax=b，其中A为3x3矩阵，b为3x1向量，试用LU分解法求解该方程组。

材料二：给定非线性方程x^3-x-1=0，试用牛顿迭代法求该方程在区间[1,2]