第2课时计数原理的综合应用课件2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第2课时计数原理的综合应用人教A版选择性必修三【学习目标】1.进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的联系与区别.2.能根据具体问题的特征,选择两种计数原理解决一些实际问题.【素养达成】逻辑推理数学运算类型一

组数与编号问题(数学运算、逻辑推理)【典例1】(一题多变)[母题]通常,我国民用汽车号牌的编号由两部分组成,第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号,第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号,如图所示.其中,序号的编码规则为:(1)由10个阿拉伯数字和除O,I之外的24个英文字母组成;(2)最多只能有2个英文字母.如果某地级市发牌机关采用5位序号编码,那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌?【解析】由号牌编号的组成可知,这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数.根据序号编码规则,5位序号可以分为三类:没有字母,有1个字母,有2个字母.第1类:当没有字母时,序号的每一位都是数字,确定一个序号可以分5个步骤,每一步都可以从10个数字中选1个,各有10种选法.根据分步乘法计数原理,这类号牌张数为10×10×10×10×10=100000.第2类:当有1个字母时,这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位,这类序号可以分为五个子类.当第1位是字母时,分5个步骤确定一个序号中的字母和数字:第1步,从24个字母中选1个放在第1位,有24种选法;第2~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置,各有10种选法.根据分步乘法计数原理,号牌张数为24×10×10×10×10=240000.同样,其余四个子类号牌也各有240000张.根据分类加法计数原理,这类号牌张数一共为240000+240000+240000+240000+240000=1200000.第3类:当有2个字母时,根据这2个字母在序号中的位置,可以将这类序号分为十个子类:第1位和第2位,第1位和第3位,第1位和第4位,第1位和第5位,第2位和第3位,第2位和第4位,第2位和第5位,第3位和第4位,第3位和第5位,第4位和第5位.当第1位和第2位是字母时,分5个步骤确定一个序号中的字母和数字:第1,2步都是从24个字母中选1个分别放在第1位、第2位,各有24种选法;第3~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置,各有10种选法.根据分步乘法计数原理,号牌张数为24×24×10×10×10=576000.同样,其余九个子类号牌也各有576000张.于是,这类号牌张数一共为576000×10=5760000.综合以上分类,根据分类加法计数原理,这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为100000+1200000+5760000=7060000.[变式]若在母题原有编码规则的基础上,增加“字母不能重复”,那么该地级市发牌机关最多能发放多少张汽车号牌?【解析】由号牌编号的组成可知,这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数.根据序号编码规则,5位序号可以分为三类:没有字母,有1个字母,有2个字母.(1)当没有字母时,与母题相同,这类号牌张数为100000.(2)当有1个字母时,与母题相同,号牌张数为1200000.(3)当有2个字母时,根据这2个字母在序号中的位置,可以将这类序号分为十个子类:第1位和第2位,第1位和第3位,第1位和第4位,第1位和第5位,第2位和第3位,第2位和第4位,第2位和第5位,第3位和第4位,第3位和第5位,第4位和第5位.当第1位和第2位是字母时,分5个步骤确定一个序号中的字母和数字:第1步是从24个字母中选1个放在第1位,有24种选法;第2步是从23个字母中选1个放在第2位,有23种选法;第3~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置,各有10种选法.根据分步乘法计数原理,号牌张数为24×23×10×10×10=552000,同样,其余九个子类号牌也各有552000张.于是,这类号牌张数一共为552000×10=5520000.综合(1)(2)(3),根据分类加法计数原理,这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为100000+1200000+5520000=6820000.【总结升华】常见的组数(或编号)问题及解题原则(1)常见的组数(或编号)问题:奇数、偶数、整除数、各数位上的和或数字间满足某种特殊关系等.(2)常用的解题原则:①明确题目条件对数字的要求,针对这一要求通过分类、分步进行组数;②注意特殊数字对各数位上数字的要求;③先分类再分步从特殊数字或特殊位置进行组数.【即学即练】从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为(

)A.24

B.18

C.12

D.6【解析】选B.由于题目要求是奇数,那么对于此三位数可以分成两种情况:奇偶奇,偶奇奇.如果是“奇偶奇”的情况,个位有3种情况,十位有2种情况,百位有2种情况,共12种;如果是“偶奇奇”的情况,个位有3种情况,十位有2种情况,百位不能是0,只有一种情况,共6种,因此总共有12+6=18(个)奇数.√类型二

选(抽)取与分配问题(数学运算、逻辑推理)【典例2】(一题多解)高三年级的四个班到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂进行社会实践,其中甲工厂必须有班级去,每班去哪个工厂可自由选择,则不同的分配方案有(

)A.360种

B.420种C.369种

D.396种√【解析】选C.方法一(直接法):以甲工厂分配班级情况进行分类,共分为四类:第1类,四个班级都去甲工厂,此时分配方案只有1种情况;第2类,有三个班级去甲工厂,剩下的一个班级去另外四个工厂,其分配方案共有4×4=16(种);第3类,有两个班级去甲工厂,另外两个班级去其他四个工厂,其分配方案共有6×4×4=96(种);第4类,有一个班级去甲工厂,其他三个班级去另外四个工厂,其分配方案有4×4×4×4=256(种).综上所述,不同的分配方案有1+16+96+256=369(种).方法二(间接法):先计算四个班级自由选择工厂的总数,再扣除甲工厂无人去的情况,即5×5×5×5-4×4×4×4=369(种)方案.【总结升华】选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法(1)当涉及对象数目不大时,一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法.(2)当涉及对象数目很大时,一般有两种方法:①直接法:若抽取是有顺序的就按分步进行;若按对象特征抽取的,则按分类进行.②间接法:去掉限制条件计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.【即学即练】某单位把5个“先进个人奖”分给3个部门,每个部门至少1个名额,那么不同的名额分配方案总数为(

)A.6 B.10 C.15 D.21【解析】选A.5个名额分给3个部门,每个部门至少1个名额,存在两类分配方式,即2,2,1和3,1,1.若分配方式为2,2,1,则只需从3个部门中抽取1个部门分配1个名额即可,有3种可能;若分配方式为3,1,1,则只需从3个部门中抽取1个部门分配3个名额即可,有3种可能.综上,共有3+3=6(种)方案.√类型三

涂色(种植)问题(数学运算、逻辑推理)【典例3】(1)(易错·对对碰)用五种不同的颜色分别给A,B,C,D四个区域涂色,要求相邻区域必须涂不同颜色,允许同一种颜色多次使用.①若A,B,C,D四个区域如图1所示,则不同的涂色方法共有

种.

②若A,B,C,D四个区域如图2所示,则不同的涂色方法共有

种.

【解析】①按区域分四步:第1步,A区域有5种颜色可选;第2步,B区域有4种颜色可选;第3步,C区域有3种颜色可选;第4步,D区域也有3种颜色可选.由分步乘法计数原理,共有5×4×3×3=180(种)不同的涂色方案.②分两类情况:当A,D区域涂色相同时,B,C区域分涂色相同和涂色不同两类,按A→B→D→C的顺序涂色有:5×4×1×(1+3)=80(种);当A,D区域涂色不相同时,B,C区域分涂色相同和涂色不同两类,按A→B→D→C的顺序涂色有:5×4×3×(1+2)=180(种),所以不同的涂色方案共有80+180=260(种).答案:①180

②260(2)用6种不同颜色的粉笔写黑板报,板报设计如图所示,要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔,则该板报共有多少种不同的书写方案?【解析】完成这件事可分四步:第一步,“英语角”用的粉笔颜色有6种不同的选法;第二步,“语文学苑”用的粉笔颜色不能与“英语角”用的粉笔颜色相同,有5种不同的选法;第三步,“理综世界”用的粉笔颜色与“英语角”和“语文学苑”用的粉笔颜色都不相同,有4种不同的选法;第四步,“数学天地”用的粉笔颜色只要与“理综世界”用的粉笔颜色不同即可,有5种不同的选法.由分步乘法计数原理可知,该黑板报共有6×5×4×5=600(种)不同的书写方案.【总结升华】解决涂色问题的常用方法(1)按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析.(2)以颜色为主分类讨论,适用于“区域”“点”“线段”等问题,用分类加法计数原理分析.提醒:种植问题可类比涂色问题进行解答.【即学即练】在如图所示的5个区域内种植花卉,每个区域种植1种花卉,且相邻区域种植的花卉不同,若有6种不同的花卉可供选择,则不同的种植方法种数是(

)A.1440

B.720

C.1920

D.960√【解析】选C.如图,设5个区域分别是A,B,C,D,E.第1步,选择1种花卉种植在