二项分布课件高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第七章随机变量及其分布7.4二项分布与超几何分布

7.4.1

二项分布湖南省祁阳市第一中学吴兰平1.离散型随机变量的方差：一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，3.方差的性质：则称为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X).2.方差的计算公式：复习回顾求离散型随机变量方差的步骤(1)明取值：理解随机变量X的意义，写出X的所有取值；(2)求概率：求出X取每个值的概率；(3)画表格：写出X的分布列；(4)求均值：计算E(X)；(5)求方差：计算D(X)．复习回顾思考：下列一次随机试验的共同点是什么？(1)掷一枚硬币;(2)检验一件产品;(3)飞碟射击;(4)医学检验.正面朝上；反面朝上合格；不合格中靶；脱靶阴性；阳性只包含两个结果我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.显然，n重伯努利试验具有如下共同特征:(1)同一个伯努利试验重复做n次；(2)各次试验的结果相互独立.我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.新知讲授思考：下面3个随机试验是否为n重伯努利试验?如果是，那么其中的伯努利试验是什么?对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大?重复试验的次数是多少?(1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次.(2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次.(3)一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件.随机试验是否为n重伯努利试验P(A)重复试验的次数(1)(2)(3)是是是0.50.80.0510320课堂探究追问:(1)伯努利试验与n重伯努利试验有何不同？(2)在伯努利试验中，我们关注什么？在n重伯努利试验中呢？(1)

伯努利试验做一次试验,n重伯努利试验做n次试验.(2)在伯努利试验中,我们关注某个事件A是否发生;在n重伯努利试验中,我们关注事件A发生的次数X

.课堂探究试验结果X的值用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1,2,3)，用下图的树状图表示试验的可能结果：

探究：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的?课堂探究

探究：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的?解：用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1,2,3)，则X的概率分布列为由于3次射击恰好1次中靶(2次中靶)的所有可能结果的概率相等，故为了简化表示，中靶次数X的分布列可表示为课堂探究连续射击4次，中靶次数X＝2的结果有中靶次数X的分布列为思考：如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些?写出中靶次数X的分布列.我们把上面这种分布称为二项分布.课堂探究一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p).课堂探究思考对比二项分布与二项式定理，你能看出它们之间的联系吗?服从二项分布的事件A恰好发生k次的概率正好是二项式定理展开式的第k＋1项，故有课堂探究X不服从二项分布X服从二项分布，X～B(3,0.4)X服从二项分布，X～B(5,0.9)X不服从二项分布下列随机变量服从二项分布吗？如果服从二项分布，其参数分别是什么？（1）10件产品中有4件次品，现在从这10件产品中不放回地依次抽取3件，X表示取得的次品数。（2）10件产品中有4件次品，现在从这10件产品中放回地依次抽取3件，X表示这三次中取得的次品数。（3）某射手击中目标的概率为0.9,连续5次射击中击中目标的次数为X。（4）某射手击中目标的概率为0.9,从开始射击到击中目标所需的射击次数X。牛刀小试随机变量X服从二项分布的三个前提条件：

(1)每次试验都是在同一条件下进行的；(2)每一次试验都彼此相互独立；(3)每次试验出现的结果只有两个，即某事件要么发生，要么不发生.只有这三个条件均满足时才能说明随机变量X服从二项分布，其事件A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率可用下面公式计算.总结提升例1：将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求:(1)恰好出现5次正面朝上的概率；(2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率.解：设A＝“正面朝上”，则P(A)＝0.5.用X表示事件A发生的次数，则X～B(10，0.5).(2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内等价于4≤X≤6，于是所求概率为(1)恰好出现5次正面朝上的概率为：典例精讲问题1.伯努利试验是什么？问题2.定义每个试验中“成功”的事件A是什么？事件A发生的概率是多少？问题4.重复试验的次数是多少？问题5.各次试验结果之间是否相互独立?问题6.事件A发生的次数与所落入格子的号码X-的对应关系是什么?问题7.是否满足二项分布？例2.如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.小球碰撞到小木钉后下落10小球碰撞到小木钉后向右落下0.5小球最后落入格子的号码X等于向右下落的次数是012345678910是典例精讲例2.如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.则小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，∴X~B(10,0.5)，X的概率分布图如下图：012345678910典例精讲典例精讲确定二项分布模型的步骤一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下：(1)明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率P(A)；(2)明确重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；(3)设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X~B(n,p).二项分布的应用非常广泛.例如，生产过程中的质量控制和抽样方案；参加某保险人群中发生保险事故的人数；试制药品治愈某种疾病的人数；感染某种病毒的家禽数等；都可以用二项分布来描述.总结提升例3.甲、乙两名选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是5局3胜制对甲更有利？①3局2胜制中“甲胜”的情况：②5局3胜制中“甲胜”的情况：3:0——赛3局，甲连胜3局；3:1——赛4局，最后1局甲胜，前3局甲胜2局，乙胜1局；3:2——赛5局，最后1局甲胜，前4局甲胜2局，乙胜2局；解法一解法1符合比赛实际规则,比较容易理解,但不符合二项分布的特征。比赛局数越多，对实力较强者越有利.2:0——赛2局，甲连胜2局；2:1——赛3局，最后1局甲胜，前2局甲乙各胜1局；因为p2>p1，所以5局3胜制对甲有利.典例精讲例3.甲、乙两名选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是5局3胜制对甲更有利？①3局2胜制：不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X~B(3，0.6).②5局3胜制：不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，则X~B(5，0.6).解法二解法2用二项分布求解,解法较简单,但不易理解.比赛局数越多，对实力较强者越有利.因为p2>p1，所以5局3胜制对甲有利.典例精讲例3.甲、乙两名选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是5局3胜制对甲更有利？思考：为什么假定赛满3局或5局不影响甲最终获胜的概率？第1局第2局第3局最终获胜者解法1中P(甲胜)解法2中P(甲胜)甲胜甲胜甲胜甲胜0.620.63乙胜0.62×0.4甲胜甲胜0.62×0.4甲胜乙胜甲胜甲胜甲胜0.62×0.4乙胜以3局2胜制为例当甲先胜2局时,第3局甲是胜是输并不影响甲最终获胜的概率.

同样,采用5局3胜制赛满5局,若前3局获胜,那后2局的胜负并不影响甲获胜,若前4局胜3局,那第5局的胜负也不影响甲获胜.典例精讲诸葛亮VS臭皮匠团队

诸葛亮解出题目的概率为0.9,3个臭皮匠各自独立解出题目的概率都为0.6，皮匠中至少有一个人解出题目，即胜出。列出皮匠中解出题目的分布列。并计算诸葛亮和3个皮匠团队哪个胜出的概率更大？X0123P解：假设3个臭皮匠中解出题目的人数为X，X=0,1,2,3.故X~B(3,0.6)所以臭皮匠胜出的可能性较大牛刀小试

对于一个离散型随机变量，除了关心它的概率分布列外，我们还关心它的均值和方差等数字特征，因此，一个服从二项分布的随机变量，其均值和方差也是我们关心的.

探究假设随机变量X服从二项分布B(n,p)，那么X的均值和方差各是什么?我们知道，抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”的概率为0.5，如果掷100次硬币，期望有100×0.5＝50次正面朝上.根据均值的含义，对于服从二项分布的随机变量X,我们猜想E(X)＝np.

我们不妨从简单开始,先考察n较小的情况.(1)当n＝1时，X分布列为P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，则有E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).(2)当n＝2时，X分布列为P(X＝0)＝(1－p)2,P(X＝1)＝2p(1－p),P(X＝2)＝p2.E(X)＝0×(1－p)2＋1×2p(1－p)＋2p2＝2p.D(X)＝02×(1－p)2＋12×2p(1－p)＋22×p2－(2p)2＝2p(1－p).由此可猜想，

若X~B(n,p)，则有课堂探究若X~B(n,p)，则有下面对均值进行证明.证明：课堂探究解：课本76页1.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数.(1)求X的分布列；(2)E(X)＝_______，D(X)＝_________.巩固练习解：课本77页2.鸡接种一种疫苗后,有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗,求:(1)没有鸡感染病毒的概率；(2)恰好有1只鸡感染病毒的概率.巩固练习解：课本77页3.判断下列表述正确与否，并说明理由:(1)12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数X~B(12,0.25)；(2)100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中