2026年江苏省南通市海门实验中学中考数学一模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026年江苏省南通市海门实验中学中考数学一模试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A.x≠1 B.x＞1 C.x≥1 D.x≤12.若a：b：c=2：3：7，且a-b+3=c-2b，则c值为何？（）A.7 B.63 C. D.3.5张不同卡片分别写有数字2，3，4，5，6，从中任意取出3张，则这三张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（）A. B. C. D.4.如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是（）A.24

B.16

C.4

D.25.如图，已知△ABC，∠C=90°，∠A=30°，AC=，动点D在边AC上，以BD为边作等边△BDE（点E、A在BD的同侧），在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线为（）

A. B.2 C. D.6.若关于x的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x1-x1x2+x2=1-a，则a的值是（）A.-1 B.1 C.1或-1 D.27.如图，P为等腰三角形ABC内一点，过P分别作三条边BC、CA、AB的垂线，垂足分别为D、E、F．已知AB=AC=10，BC=12，且PD：PE：PF=1：3：3．则四边形PDCE的面积为（）A.10

B.15

C.

D.8.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（m,n），B（m+4，n-2）是函数图象上的两点，过点B作x轴的垂线与射线OA交于点C.若BC=8，则k的值为（）A.4

B.6

C.

D.89.如图，下面是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8个“树枝”，…，照此规律，图A6比图A2多出“树枝”（）

A.32 B.56 C.60 D.6410.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，D是以点A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值（）A.14

B.7

C.9

D.6二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。11.若一次函数y=3x-6的图象与x轴交于点（m，0），则m=

．12.数据-5，6，4，0，1，7，5的极差为______．13.如图，小岛A在港口P的南偏东45°方向、距离港口81海里处．甲船从A出发，沿AP方向以9海里/h的速度驶向港口；乙船从港口P出发，沿南偏西60°方向，以18海里/h的速度驶离港口．现两船同时出发，当甲船在乙船的正东方向时，行驶的时间为______h．（结果保留根号）14.关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是______．15.若1≤x≤3时，二次函数y=2x2-3ax+4的最小值为-23，则a=______．16.如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为______．

17.如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q.若PE=1，，则AD的长是

.

18.如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将矩形纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，若B（1，2），则点D的横坐标是______．

​​​​​​​三、解答题：本题共8小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题12分)

计算：

（1）.

（2）已知关于x的方程x2+2（a-1）x+a2-7a-4=0的两根为x1、x2，且满足x1x2-3x1-3x2-2=0.求的值.

（3）.20.(本小题12分)

育才中学九年级1班为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加全校举行的“绳彩飞扬”1分钟跳绳比赛，对他们进行了1分钟跳绳训练测试，10次测试的成绩如下（单位：次）：

甲：186，184，185，191，190，192，196，196，198，202；

乙：180，183，195，198，202，181，195，196，208，182.

为了比较两人的成绩，制作如下统计分析表：平均数中位数众数方差甲192191.5a32.2乙192b19587.2（1）填空：a=______，b=______.

（2）根据以上数据，请至少选择两个统计量作为选拔依据，说明应选拔哪位同学参加比赛.21.(本小题12分)

如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=120°，BD=520m，∠D=30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A，C，E三点在一直线上（取1.732，结果取整数）？22.(本小题12分)

已知，一次函数y=x+2与y=-x+4分别与x轴相交于点A和点D，与y轴相交于点B和点C，两直线相交于点E，连接OE．

（1）求点E的坐标；

（2）点F是线段AE上一点，且线段OF把△AOE的面积分成1：4两部分，请求出符合条件的点F的坐标．23.(本小题12分)

如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点A的坐标为（8，0），AB∥OC，直线经过点B、C.

（1）点C的坐标为（______，______），点B的坐标为（______，______）；

（2）设点P是x轴上的一个动点，若以点P、A、C为顶点的三角形是等腰三角形，求点P的坐标.

（3）如图2，直线l经过点C，与直线AB交于点M，点O关于直线l的对称点O′，连接并延长CO′，交直线AB于第一象限的点D.当CD=10时，求直线l的解析式.

24.(本小题12分)

如图，在平面直角坐标系中，A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E．已知CD=8，抛物线经过O，E，A三点．

（1）求直线OB的函数表达式；

（2）求抛物线的函数表达式；

（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P，O，A，E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个．25.(本小题12分)

如图①已知抛物线y=ax2-3ax-4a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴的交点E．

（1）抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为______，点A的坐标为______；

（2）若以E为圆心的圆与y轴和直线BC都相切，试求出抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，如图②Q（m，0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′．在图②中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．

26.(本小题12分)

如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，8），点

B（b，t）在直线x=b上运动，点D、E、F分别为OB、0A、AB的中点，其中b是大于零的常数．

（1）判断四边形DEFB的形状．并证明你的结论；

（2）试求四边形DEFB的面积S与b的关系式；

（3）设直线x=b与x轴交于点C，问：四边形DEFB能不能是矩形？若能．求出t的值；若不能，说明理由．

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】C

10.【答案】B

11.【答案】2

12.【答案】12

13.【答案】9（-1）

14.【答案】x3=-4，x4=-1

15.【答案】5

16.【答案】28

17.【答案】9

18.【答案】-

19.【答案】6

2

x≤-1

20.【答案】（1）196，195；

（2）从平均数和方差来看，甲、乙两名同学成绩的平均数相同，甲的方差小于乙的方差，说明甲同学的成绩比乙的成绩稳定，可选拔甲同学参加比赛（答案不唯一）．

21.【答案】解：∵∠ABD=120°，∠D=30°，

∴∠AED=120°-30°=90°，

在Rt△BDE中，BD=520m，∠D=30°，

∴BE=BD=260m，

∴DE==260≈450（m）．

答：另一边开挖点E离D450m，正好使A，C，E三点在一直线上．

22.【答案】解：（1）联立，

解得，

∴点E的坐标为（，）；

（2）设F点的坐标为（m，n），

∵线段OF把△AOE的面积分成1：4两部分，E的坐标为（，），

∴=或=，

解得n=或，

代入y=x+2得，=m+2或=m+2，

解得m=-或m=，

∴点F的坐标为（-，）或（，）．

23.【答案】解：（1）0，6；8，；

（2）AC==10，

①若AP=AC，则点P的坐标为（-2，0）或（18，0）；

②若CA=CP，则点P的坐标为（-8，0）；

③若PA=PC，设点P的坐标为（m，0），则m2+62=（8-m）2，

解得m=，故点P的坐标为（，0）；

综上，点P的坐标为（-2，0）或（18，0）或（-8，0）或（，0）；

（3）如图2，过C点作CN⊥AB于N，

∵AB∥OC，

∴∠OCM=∠DMC，

由题意∠DCM=∠OCM，

∴∠DCM=∠DMC，

∴CD=MD=10，

∵OC=6，

∵CN=OA=8，

∴DN==6，

∴NM=10-6=4，

∴AM=2，

∴M（8，2），

设l解析式y=kx+b，则，解得．

∴直线l的解析式为：y=-x+6；

24.【答案】解：（1）连接OC，如图1所示，

∵OA是⊙O的直径，

∴∠OBA=90°，

∴OB⊥AC，

又∵AB=BC，

∴OB是AC的垂直平分线，

∴OC=OA=10，

在Rt△OCD中，OC=10，CD=8，

∴OD=6，

∴C（6，8），B（8，4）

∴OB所在直线的函数关系为y=x，

（2）∵E点的横坐标为6，

∴E点纵坐标为3，

即E（6，3），

抛物线过O（0，0），E（6，3），A（10，0），

∴设此抛物线的函数关系式为y=ax（x-10），把E点坐标代入得：

3=6a（6-10），

解得a=-．

∴此抛物线的函数关系式为y=-x（x-10），即y=-x2+x；

（3）设点P（p，-p2+p），

①若点P在CD的左侧，延长OP交CD于Q，如右图2，

OP所在直线函数关系式为：y=（-p+）x

∴当x=6时，y=-p+，即Q点纵坐标为-p+，

∴QE=-p+-3=-p+，

S四边形POAE

=S△OAE+S△OPE

=S△OAE+S△OQE-S△PQE

=•OA•DE+QE•OD-•QE•Px•

=×10×3+×（-p+）×6-•（-p+）•（6-p），

=-p2+p+15，

②若点P在CD的右侧，延长AP交CD于Q，如右图3，

P（p，-p2+p），A（10，0）

∴设AP所在直线方程为：y=kx+b，把P和A坐标代入得，

，

解得．

∴AP所在直线方程为：y=x+，

∴当x=6时，y=•6+=P，即Q点纵坐标为P，

∴QE=P-3，

∴S四边形POAE

=S△OAE+S△APE

=S△OAE+S△AQE-S△PQE

=•OA•DE+•QE•DA-•QE•（Px-6）

=×10×3+•QE•（DA-Px+6）

=15+•（p-3）•（10-p）

=p2+4p

=-（p-8）2+16，

∴当P在CD右侧时，四边形POAE的面积最大值为16，此时点P的位置就一个，

令-p2+p+15=16，解得，p=3±，

∴当P在CD左侧时，四边形POAE的面积等于16的对应P的位置有两个，

综上所知，以P、O、A、E为顶点的四边形面积S等于16时，相应的点P有且只有3个．

25.【答案】（1）（，0）；（-1，0）；

（2）如图①中，设⊙E与直线BC相切于点D，连接DE，则DE⊥BC，

∵DE=OE=，EB=，OC=-4a，

∴DB===2，

∵tan∠OBC==，

∴=，

∴a=-，

∴抛物线解析式为y=-x2+x+3．

（3）如图②中，由题意∠M′CN=∠NCB，

∵MN∥OM′，

∴∠M′CN=∠CNM，

∴MN=CM，

∵直线BC解析式为y=-x+3，

∴M（m，-m+3），N（m，-m2+m+3），作MF⊥OC于F，

∵sin∠BCO==，

∴=，

∴CM=m，

①当N在直线BC上方时，-x2+x+3-（-x+3）=m，

解得：m=或0（舍弃），

∴Q1（，0）．

②当N在直线BC下方时，（-m+3）-（-m2+m+3）=m，

解得m=或0（舍弃），

∴Q2（，0），

综上所述：点Q坐标为（，0）或（，0）．

26.【答案】解：（1）四边形DEFB是平行四边形．

证明：∵D、E分别是OB、OA的中点，

∴DE∥AB，同理，EF∥OB，

∴四边形DEFB是平行四边形；

（2）解法一：∵S△AOB=×8×b=4b，

由（1）得EF∥OB，∴△AEF∽△AOB，

∴=（）2，即S△AEF=S△AOB=b，同理S△ODE=b，

∴S=S△AOB-S△AEF-S△ODE=4b-b-b=2b，即S=2b（b＞0）；

解法二：如图，连接BE，S△AOB=×8×b=4b，

∵E、F分别为OA、AB的中点，

∴S△AEF=S△AEB=S△AOB=b，

同理S△EOD=b，

∴S=S△AOB-S△AEF-S△ODE=4b-b-b=2b，

即S=2b（b＞0）；

（3）解法一：以E为圆心，OA长为直径的圆记为⊙E，

①当直线x=b与⊙E相切或相交时，若点B是切点或交点，则∠ABO=90°，由（1）知，四边形DEFB是矩形，

此时0＜b≤4，可得△AOB∽△OBC，

∴=，即OB2