2026年山西省晋中市榆社县河峪中学、郝北中学等中考数学一模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026年山西省晋中市榆社县河峪中学、郝北中学等中考数学一模试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如果平时不注意爱护眼睛，就有可能形成近视.在验光时，验光师经常会以“***D”的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“-0.50D”，近视100度记录为“-1.00D”，等等.通常，近视超过200度时就要持续配戴眼镜进行视力矫正，有4位同学的验光记录如下，需要持续配戴眼镜的是（）A.-1.25D B.-0.75D C.-1.75D D.-2.25D2.在中华传统春节文化中，对称、平移、旋转等几何变换常被运用于年画、窗花、logo设计，以体现“圆满”“和谐”“循环”等美好寓意.以下四款中央广播电视总台春节联欢晚会主标识的图案（文字除外），最能体现平移变换的是（）A. B.

C. D.3.五台山位于山西省忻州市，是中华十大名山之一.其由五座山峰环抱而成，因峰顶平坦如台、无林木覆盖而得名.以下是五台山五座主峰的具体海拔数据：东台（望海峰）西台（挂月峰）南台（锦绣峰）北台（叶斗峰）中台（翠岩峰）2796米2773米2485米3061米2894米根据上述五座山峰的海拔数据，下列说法错误的是（）A.这五座山峰海拔的最大值与最小值相差576米

B.这五座山峰海拔的中位数为2796米

C.这五座山峰海拔的众数为2700米

D.这五座山峰海拔的平均数为2801.8米4.如图，在△ABC中，DE∥BC，已知AD=2，DB=3，DE=4，则BC的长为（）A.6

B.8

C.10

D.125.不等式x-3（x-2）≥4的解集在数轴上表示为（）A. B.

C. D.6.如图，已知BC是圆柱底面的直径，AB是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是（）A.

B.

C.

D.7.为开展跨学科实践活动，某小组准备了四款功能不同的AI智能辅助软件：“智学助手”“思维导图大师”“速记精灵”“解题通”.小聪和小明各自从这四款软件中随机选择一款，若选择每款软件的可能性相同，则下列事件中，发生可能性最大的是（）A.两人选择的软件完全相同

B.两人选择的软件完全不同

C.小明选中“思维导图大师”，小聪选中“解题通”

D.至少有一人选中“智学助手”8.食用油的沸点温度远高于水的沸点温度（100℃）.为了用刻度不超过100℃的温度计测量出某种食用油沸点的温度，在锅中倒入一些这种食用油，用煤气灶均匀加热，并每隔10s测量一次锅中油温，测得的数据如表：时间t/s010203040油温y/℃1030507090观察发现，烧了110s时，油沸腾了，估计这种食用油的沸点温度是（）A.200℃ B.230℃ C.260℃ D.290℃9.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是边BC上一点，将△ABE沿AE折叠，点B落在矩形内的点F处，连接CF，若△CEF是直角三角形，则BE的长为（）A.3

B.4

C.5

D.610.欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是:画Rt△ABC，使∠ACB=90°,BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=，则该方程的一个正根是（）

A.AC的长 B.AD的长 C.BC的长 D.CD的长二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.分解因式：x3-2x2+x=

．12.在平面直角坐标系中，将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA′，点A′的坐标为（-2，3），则点A的坐标为

.

13.如图，A、B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A、B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是

.

14.如图1，车轮为正方形的自行车可在特定路面上平稳行驶，且车轮中心到水平地面的距离保持不变.已知正方形车轮的边长为50cm,则图2中路面横截面最高点到水平地面的距离AD的长为

cm.

15.在△ABC中，BC=4，CA=5，AB=6，BD平分∠ABC，过点C作AC的垂线，交DB的延长线于点E，则线段CE的长为

.

三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题9分)

计算及化简：

（1）；

（2）（a+3）（a-2）-a（a+1）.17.(本小题9分)

为积极响应教育部关于“中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时”的号召，传承弘扬中华优秀体育文化，推动全民健身与校园体育深度融合，某校为更好地落实相关精神，了解学生参加体育活动情况，随机抽取部分学生进行问卷调查（调查问卷如下表），并对数据进行整理分析.部分信息如下：调查问卷1.你每天参加体育活动（含体育课）的时间（单位：小时）（_____）（单选）

A.0.5≤x＜1

B.1≤x＜1.5

C.1.5≤x＜2

D.x≥2

2.随着体育活动时间增加，学校拟增设特色体育项目，你希望增设的项目有（_____）（可多选）

E.球类F.田径类G.体操类H.传统武术类希望增设的活动项目统计表活动项目球类田径类体操类传统武术类百分比72%23%40%46%根据以上信息，解答下列问题：

（1）参与这次问卷调查的学生人数有______人；

（2）若该校共有1000名学生，请估计每天参加体育活动时间不低于2小时的学生人数；

（3）基于上述两项调查的数据，提炼一条信息，并向学校提出一条合理化建议.18.(本小题9分)

如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，CD=CE

（1）求证：OA=OB；

（2）已知AB=4，OA=4，求阴影部分的面积．19.(本小题9分)

为弘扬三晋文化，山西博物院推出独具山西特色的系列文创产品.已知一个“黄河魂”帆布包的进价比一个“霜红之韵”月色满裳杯垫的进价多5元，用200元购进帆布包的数量与用150元购进杯垫的数量相同.求一个帆布包和一个杯垫的进价各是多少元.20.(本小题9分)

学科实践

【情境再现】如图，春节前夕，小东借助斜靠在墙上的梯子，帮助爷爷张贴院门春联.

【数学眼光】使用梯子时，安全攀爬高度不仅与梯子长度有关，还与梯子和地面所成的角度有关.

【AI来助力】借助AI模拟分析可知：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足：50°≤α≤75°.

【数学思考】已知小东爷爷家的梯子长为3米，小东的身高为1.5米.

（1）使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙面？（结果精确到0.1米）

（2）若将梯子底端放在距离墙面1.5米处，小东能否安全使用这架梯子，将春联贴在3米高的院门上方？（请画出示意图，并解决上述问题.参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，）21.(本小题9分)

阅读与思考

小铭是个爱写数学周记的同学，下面是他的一篇周记.这周我们开始学习《锐角三角函数》一章，我不仅知道了锐角三角函数是在直角三角形中定义的，还知道了一些特殊角，比如30°，45°，60°角的三角函数值.当然，这些特殊锐角的三角函数值也是在直角三角形中求得的.不仅如此，因为老师不断用问题启发我们思考，我们还求出了15°角的正切值.老师还说，我们只有学会向自己提问题，思维品质才能得到提高.上课情况是这样的：

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=2.

老师的第一个问题：你能利用这个图作出15°角，且这个15°角在直角三角形中吗？

我们的思考：如图2，用尺规作出30°角的平分线，交AC于点D，则∠DBC=15°，且在Rt△DBC中.

我们的思路：只要求出DC的长度，则15°角的正切值可求.

我们又注意到DC垂直于BC，且BD是角平分线，由角平分线的性质以及等面积法，可以求出DC的长.

老师的第二个问题：这种方法得15°角容易想到，但计算量较大.认真观察图形，再想与角有关的知识，你还能通过什么方法得到15°角，且这个角在直角三角形中？

一阵寂静后，我的同桌自信地说：利用三角形的外角！

我们情不自禁把掌声送给了同桌.

老师的问题真厉害！我以后也要善于向自己提出问题，并努力去解决.请根据小铭同学的周记，回答下列问题：

（1）在上述周记中提到的角平分线的性质是______；

（2）请你在老师第二个问题的启发下，依据小铭同桌的思路在图1中画图，并求出15°角的正切值；

（3）请你参考小铭同学的数学周记内容，利用图3中的直角作出一个在直角三角形中的67.5°角（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并直接写出这个67.5°角的正切值.

22.(本小题9分)

综合与实践

【问题情境】在某沙漠化治理研究中，科研人员为了监测沙丘的移动和高度变化，选取了一个典型的新月形沙丘进行剖面测量.为了方便建模，他们将沙丘的纵向轮廓线近似看作一条抛物线.

【建立模型】科研人员以沙丘的最低点（同时也是沙丘与周围平地的交界点）为原点O，以水平地面为x轴，竖直方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.已知该沙丘轮廓线的最高点A距离地面10米，沙丘在平地上的跨度（即底端点O和点B之间的距离）为40米.

【问题解决】

（1）请求出描述该沙丘轮廓线的抛物线的函数表达式.

（2）为了固定沙丘防止移动，治沙工人计划在沙丘上部（最高点下方）铺设一条水平的草方格沙障.

①若要求沙障距离水平地面的高度为6米.请计算这条草方格沙障的长度（结果精确到1米，参考数据：）.

②为搭建稳固的水平沙障，需在沙丘轮廓线上对称安装两根立柱，立柱垂直于水平地面，底端固定在水平地面（即x轴）上，顶端贴合沙丘轮廓线.若施工要求左侧立柱顶端的高度是其到原点O（沙丘左侧最低点）水平距离的，请计算两根立柱之间的水平距离.23.(本小题12分)

综合与探究

问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景探索几何元素之间的关系.已知在矩形ABCD中，AB≤BC，E，F分别是AB，BC的中点，点G在BC边的延长线上，且，连接DE，DF，DG.

（1）特例分析：如图1，小睿同学画出了AB=BC时的图形，并提出如下问题，请你解答：猜想线段FG与EF的数量关系，并证明你的结论；

拓展探究：小玫同学继续进行探究.如图2，已知在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，她提出如下问题，请你解答：

（2）①求此时的值；

②将图2中的△DEF从当前位置开始，沿射线BC的方向平移得到△D′E′F′（其中点D′，E′，F′分别是点D，E，F的对应点），点P是平面内的一点，请直接写出以点D′，E′，G，P为顶点的四边形是菱形时，△DEF平移的距离.

1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】A

10.【答案】B

11.【答案】x（x-1）2

12.【答案】（-3，-2）

13.【答案】3

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】-5

-6

17.【答案】200

估计每天参加体育活动时间不低于2小时的学生有375人

由调查可知，大部分同学每天参加体育活动时间低于两小时，建议：学校多提供一些球场等活动场所，多提供学生活动时间

18.【答案】解：（1）连接OC，

∵AB与⊙O相切于点C

∴∠ACO=90°，

∵CD=CE

∴=，

∴∠AOC=∠BOC，

∴∠A=∠B

∴OA=OB，

（2）由（1）可知：△OAB是等腰三角形，

∴BC=AB=2，

∴sin∠COB==，

∴∠COB=60°，

∴∠B=30°，

∴OC=OB=2，

∴扇形OCE的面积为：=，

△OCB的面积为：×2×2=2，

S阴影=2-π．

19.【答案】一个杯垫的进价为15元，一个帆布包进价为20元．

20.【答案】使用这架梯子，最高可以安全攀上2.9米高的墙面

如图所示，根据题意，得在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3m，BC=1.5m，

小东能安全使用这架梯子将春联贴在3米高的大门上方

21.【答案】角平分线上的点到角两边的距离相等

如图，延长CB到E，使BE=BA，连接EA，则∠E=15°，

在Rt△ABC中，AB=2，∠ABC=30°，∠C=90°，

∴，

∵BE=AB=2，

∴，

∴在Rt△AEC中，，

∴

如图，以点C为圆心，一定长度为半径作圆，交已知两直角边于点B和点A，连接AB，则∠BAC=45°