河北邯郸开发区弘济学校2025-2026学年度高一第二学期第一次月考数学检测试卷 附答案

/2025-2026学年度高一第二学期第一次月考数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改正，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，，若，则实数（）A. B. C.2 D.4【正确答案】A【分析】直接根据向量平行得到关系式，解得答案.【详解】已知向量，，若，所以，则实数.故选：A.2.如图所示，中，等于（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】由题可知，再根据向量线性运算求解即可．详解】从题图上可看出，，而．故选：C．3.平面向量，满足，，则在上的投影向量为（）A B. C. D.【正确答案】B【分析】利用投影向量的公式即可求解.【详解】由在上的投影向量为，故选：B.4.设点是正三角形的中心，则向量，，是（）A.共起点的向量 B.模相等的向量 C.共线向量 D.相等向量【正确答案】B【分析】利用平面向量的相关概念判断.【详解】因为点是正三角形的中心，所以，，是模相等的向量；向量只有大小与方向两个要素，没有起点之说；这三个向量方向不同，不是共线向量；这三个向量方向不同，不是相等向量.故选：B5.中，，则一定是A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定【正确答案】C【分析】表示出向量的点乘，结合已知条件进行判定三角形形状【详解】因为中，，则，即，，角为钝角，所以三角形为钝角三角形故选本题考查了由向量的点乘判定三角形形状，只需运用公式进行求解，较为简单6.设，是向量，则“”是“或”的（）．A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】B分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为，可得，即，可知等价于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，无法得出或，例如，满足，但且，可知充分性不成立；综上所述，“”是“或”的必要不充分条件.故选：B.7.已知向量，若，则（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．【详解】因为，所以，，由可得，，即，整理得：．故选：D．8.已知向量满足，且，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】作出图形,根据几何意义求解.【详解】因为,所以,即,即,所以.如图,设,由题知,是等腰直角三角形,AB边上的高,所以,,.故选:D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，为两个单位向量，下列四个命题中正确的是（）A.与的模相等 B.如果与平行，那么与相等C.与共线 D.如果与平行，那么或【正确答案】AD【分析】根据单位向量，相等向量，共线向量的定义进行判断即可．【详解】由，为两个单位向量，，故A正确；如果与平行，则当与同向时，；则当与反向时，；即如果与平行，那么或，故B错误，D正确；，为两个单位向量，仅模长相等，但不一定共线，故C错误．故选：AD．10.已知向量，，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若与的夹角为，则D.若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是【正确答案】ABD【分析】利用向量共线的坐标表示判断A；利用垂直的坐标表示判断B；利用数量积的运算律求解判断C；求出投影向量的坐标判断D.【详解】向量，，对于A，由，得，因此，A正确；对于B，由，得，因此，B正确；对于C，与的夹角为，，，因此，C错误；对于D，与方向相反，则在上的投影向量为，D正确.故选：ABD11.已知是边长为的等边三角形，点在内（包括边界），则下列说法正确的是（）A. B.若，则C.若，则点P的轨迹长度为 D.若，则【正确答案】BCD【分析】利用平面向量数量积的定义可判断A选项；由平面向量的线性运算可得出，再利用平面向量数量积的运算性质可判断B选项；分析可知点的轨迹是以半径为，圆心角为的圆弧，结合扇形的弧长公式可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.【详解】对于A选项，，A错；对于B选项，若，则，所以，故，故，B对；对于C选项，，则点的轨迹是以半径为，圆心角为的圆弧，故点的轨迹长度为，C对；对于D选项，如下图所示：因为，，所以，解得，因为，故，所以，所以，D对.故选：BCD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，已知两个力，的大小和方向，则合力的大小为____________N；若在图示坐标系中用坐标表示合力，则合力的坐标为____________．【正确答案】①.②.【分析】运用向量坐标运算即可求解．【详解】因为，，所以合力，所以合力的大小为．故；．13.已知向量满足，的夹角为，则______.【正确答案】【分析】根据向量的模长公式直接代入求解即可.【详解】，故答案.14.已知是菱形内的一点（包括边界），且，则的最大值为__________．【正确答案】6【详解】分析：先建立直角坐标系，设点P(x,y),再求出的表达式，再利用数形结合求的最大值.详解：建立如图所示的直角坐标系，设是菱形内的一点（包括边界），所以A所以=，令z=,所以当直线经过点C(0,-)时，直线的纵截距最小，z最大.所以，故答案为6.点睛：（1）本题主要考查向量的坐标运算和数量街运算，考查线性规划的知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)解答本题的关键有两个，其一是建立直角坐标系，其二是想到线性规划的知识.四、解答题.本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知，,与的夹角为，求．（2）已知，，且与不共线．当为何值时，向量与互相垂直．【正确答案】（1）；（2）或.【分析】（1）由向量数量积的定义及运算律进行运算即可；（2）用数量积表示向量垂直进行运算求解即可.【详解】（1）原式.∴.（2）∵向量与互相垂直，且与不共线∴，解得，∴当为或时，向量与互相垂直．16.已知向量满足.（1）求向量与的夹角及向量在向量方向上的投影；（2）求的值；（3）若向量，求的值.【正确答案】（1）；1；（2）；（3）．【分析】（1）由求出两向量的夹角，再由射影定义可得；（2）利用公式可求得向量的模；（3）利用向共线定理，即若，则存在实数，使得成立，由此利用向量相等可得参数值．【详解】（1）因为，所以，所以，因为，所以.（2）；（3）因为，所以，所以，所以，解得.17.已知向量，，.（1）若点，，能构成三角形，求实数应满足的条件；（2）若为直角三角形，且为直角，求实数的值.【正确答案】（1）；（2）.【分析】(1)点，，能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线，利用向量共线的坐标公式计算即可．(2)为直角三角形，且为直角，则，利用向量的数量积坐标公式计算即可．【详解】（1）已知向量，，，若点，，能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线.，，故知，∴实数时，满足条件.（2）若为直角三角形，且为直角，则，∴，解得.本题考查平面向量共线的坐标公式和数量积的坐标运算，考查学生逻辑思维能力，属于基础题．18.如图所示，在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，且点．（1）求的大小．（2）设点是的中点，点在线段上运动（包括端点），求的取值范围．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）应用平行四边形得出，再应用平面向量夹角余弦公式计算求解；（2）设，应用平面向量的坐标运算结合数量积坐标运算求解.【小问1详解】由题意得．因为四边形是平行四边形，所以因为，所以．【小问2详解】设，其中，则．，故的取值范围是．19.如图，在中，，，点为和的交点，设，．（1）若，求，的值；（2）若，，与夹角为，①求的面积