河北省石家庄市河北正中实验中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学检测试卷 附答案

/河北省石家庄市河北正中实验中学2025−2026学年高二上学期期中考试数学试卷一、单选题1．某中学有教职工140人，其中35岁及以上的有40人，从这140名教职工中随机抽取一人，则抽到35岁以下教职工的概率为（

）A． B． C． D．2．已知，若一组数据1，2，，，4的平均数为2，则该组数据的中位数为（

）A．1.5 B．2 C．2.5 D．33．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，，则 D．若，，则4．某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的500名学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间内的学生有（

）

A．80名 B．100名 C．120名 D．140名5．若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．6．若直线与圆相交于，两点，则的最小值为（

）A． B． C． D．7．某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票，六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以表示“在甲抽奖箱中抽奖中奖的事件”，表示“在乙抽奖箱中抽奖中奖的事件”，表示“两次抽奖均未中奖的事件”，下列结论中不正确的是（

）A．B．与相互独立C．D．与互斥8．已知圆C：和两点，若圆C上存在点P，使得为直角，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知三条直线不能构成三角形，则实数的取值可以是（

）A． B． C． D．210．已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（

）A． B．平面C．与所成角的余弦值为 D．动点P的轨迹长为11．已知圆和直线，则下列说法正确的是（

）A．当时，直线被圆截得的弦长为B．当时，圆上到直线的距离为的点有个C．当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积最小值为D．当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则直线恒过定点三、填空题12．已知，，且与垂直，则的值为___________.13．过点作直线l，使它被直线和截得的线段被点P平分，则直线l的斜率为______．14．在中，三个内角的对边分别为，是钝角，，则的最大值是__________.四、解答题15．在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求角B的大小；（2）若的面积为且，求的周长．16．已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动.(1)求线段AB的中点P的轨迹C2的方程：(2)设圆C1与曲线C2的交点为M，N，求线段MN的长．17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点分别为的中点.（1）求证:平面·（2）直线与平面所成的角正弦值；（3）求平面与平面夹角的余弦值.18．2025年3月14日（第六个国际数学日），某校开展了“站播台”、“史探秘”、“日海报”、“徽设计”、“帽设计”共5项挑战活动，每名学生至少参与其中一项活动.为了解该校上述活动的参与情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表：挑战活动参与人数站播台史探秘日海报徽设计帽设计高一8045557545高二4060608040高三1550402030通过样本估计该校全体学生参与活动的情况.（1）从5项活动中随机选择1项，估计此项活动全校参与的人数大于该校总人数的一半的概率；（2）从该校高一年级和高二年级中各随机选取2名学生，求这4名学生中恰有2名学生参与“徽设计”的概率；（3）假设高一某班参加挑战活动的情况如下：挑战活动站播台史探秘日海报徽设计帽设计参与人数79已知，当数据，，，，的方差最小时，写出，，的取值.（结论不要求证明）19．已知圆过点．（1）求圆O的方程；（2）过点的直线l与圆O交于A，B两点，设点，求面积的最大值，并求出此时直线l的方程．

答案1．【正确答案】B【详解】由题意，抽到35岁以下教职工的概率为.故选B2．【正确答案】B【详解】由题，得，因为，所以或或，所以当该组数据为：，中位数为2，当该组数据为：，中位数为2，综上该组数据的中位数都为2，故选B.3．【正确答案】C【详解】解：对于A，若，，则与可能平行，可能相交，也可能异面，所以A错误；对于B，若，，则直线与平面可能垂直，可能平行，也可能相交不垂直，所以B错误；对于C，若，，，则，所以C正确；对于D，若，，则与可能平行，也有可能直线在平面内，所以D错误，故选C4．【正确答案】B【详解】由频率分布直方图可知，解得，所以成绩在区间内的学生有名.故选B.5．【正确答案】C【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即，所以，这个球的表面积为.故选C.6．【正确答案】C【详解】可化为，令直线恒过定点，该点在圆内，当时，最小，此时.故选C.7．【正确答案】D【详解】由题意可知：，，，，因为在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，可知事件A和事件B相互独立，故B正确，D错误；可得，故A正确；又因为，所以，故C正确；故选D.8．【正确答案】B【详解】圆C：的圆心，半径为1，由，可知点P在以AB为直径的圆M上，圆心，半径为m．点P在圆C上，即圆C和圆M有交点，，又，解得：．故选B．9．【正确答案】ABC【详解】由已知，设，，，由可知，直线相交于点，直线恒过定点，因为三条直线不能构成三角形，所以；；经过点；①当时，，，所以，解得；②当时，，，所以，解得；③当经过点时，，所以实数的取值集合为.故选ABC.10．【正确答案】BCD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式、空间向量数量积的运算性质逐一判断即可.【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，

则，所以，由平面，得，即，化简可得：，所以动点P在直线上，对于选项A：，所以与不垂直，所以A选项错误；对于选项B：平面平面，所以平面，B选项正确；对于选项C：，C选项正确；对于选项D：动点P在直线上，且P为侧面上的动点，则P在线段上，，所以，D选项正确；故选BCD.11．【正确答案】ACD【详解】由圆知：圆心，半径；对于A，当时，圆心到直线的距离，直线被圆截得的弦长为，A正确；对于B，当时，圆心到直线的距离，，圆上到直线的距离为的点有个，B错误；对于C，为圆的两条切线，，，，，，当时，取得最小值，四边形面积的最小值为，C正确；对于D，设是圆上一点，圆方程可整理为：；当或时，在处切线的斜率为，在处切线方程为：，又，整理可得该切线方程为：；当或，在处切线满足方程；综上所述：在圆上一点处的切线方程为；设，则直线，直线，设，则，坐标满足方程，即直线方程为：；为直线上的动点，，直线，整理可得：，令，解得：，直线恒过定点，D正确.故选ACD.12．【正确答案】【详解】因为，，所以，，因为与垂直，所以，解得：，所以的值为.13．【正确答案】/【详解】设与l的交点为，设与l的交点为，则由题意知，线段被点平分，所以，解得，所以，，所以直线l的斜率为.14．【正确答案】【详解】∵，∴，∴，∵是钝角，∴，则，又∵为三角形内角，，∴，因为在上单调递减，∴，，∴，∵，∴，令，，设，所以当时，函数取最大值，.15．【正确答案】（1）（2）【详解】（1）因为，由正弦定理可得．即，因为，所以．所以．因为，，所以，因为，所以．（2）因为，所以，由余弦定理得，由，可得，所以，所以的周长为．16．【正确答案】(1)；(2)【详解】（1）设点P的坐标为，点A的坐标为，由于点B的坐标为，且点P是线段AB的中点，所以，，于是有①，因为点A在圆上运动，即②，把①代入②，得，整理得，所以点P的轨迹的方程为．（2）将圆与圆的方程相减得，由圆的圆心为，半径为1，且到直线的距离，则.17．【正确答案】（1）见详解（2）（3）【详解】（1）取的中点，连接，则，因为四棱锥的底面为正方形，且，则，故四边形是平行四边形，即得.又平面，不在平面内，所以平面.（2）连接，因为平面，则直线与平面所成的角为.因为为正方形，所以，在直角三角形中，因为，则，故.即直线与平面所成的角的正弦值为.（3）如图，以D为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，则，.所以.设平面的法向量为，则，故可取.因为平面，面，所以，因为，平面，所以平面，故为平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，则.即平面与平面夹角的余弦值为.18．【正确答案】（1）（2）（3）见详解【详解】（1）设“从5项活动中随机选择1项，此项活动全校参与的人数大于该校总人数的一半”，根据题意，5项活动中，参与的人数大于该校总人数的一半的有：史探秘，日海报，徽设计，则．（2）从该校高一年级中随机选取1名学生参与“徽设计”的概率为，从高二年级中随机选取1名学生参与“徽设计”的概率为，设“从高一年级随机选取2名学生，高二年级随机选取2名学生，这4名学生中恰有2名学生参与徽设计”，则．（3）由，则数据，，，，的平均数为，则数据，，，，的方差为，则的值集中在8.2附近时方差最小，又，，此时的值