福建龙岩市连城县第一中学2025-2026学年高一下学期3月数学检测试卷 附答案

/连城一中2025-2026学年下期高一年级月考1数学试卷一、选择题：共8小题，共40分.每小题只有一项是符合题目要求的.1.若，，则的坐标为（

）.A. B. C. D.【正确答案】C【分析】由向量减法的坐标运算即可得解.【详解】因为，，所以.故选：C.2.已知复数满足，则（）A.1 B. C. D.4【正确答案】A【分析】根据复数的除法运算以及模长公式计算可得结果.【详解】由，可得，所以.故选：A3.已知，为单位向量，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由题意可求得，进而可求得.【详解】因为，所以，所以，又因为，为单位向量，所以，所以，又因为，所以.故选：B.4.已知平面向量，则在方向上的投影向量坐标为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据向量的坐标运算结合投影向量的定义运算求解.【详解】因为，则，所以在方向上的投影向量坐标为.故选：B.5.设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形【正确答案】D【分析】根据计算得出角，因为利用正弦定理和余弦定理得到，从而判断三角形形状.【详解】因为，所以，则，因为，所以，又，所以，由，所以，，所以为等腰直角三角形.故选：D.6.已知为所在平面内的一点，，则（）A B. C. D.【正确答案】C【分析】根据图形的几何性质分解向量即可得解.【详解】如图所示，由题意得.故选：C.7.如图，某区域地面有四个5G基站，分别为，，，.已知，两个基站建在河的南岸，距离为，基站，在河的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】先通过和分别用正弦定理求出、的长度，再在中用余弦定理求出的长度.【详解】在中，，由正弦定理，即，得km.在中，，，故，由正弦定理，即，得km.在中，由余弦定理，代入得，故km.故选：A8.已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（）A B. C. D.4【正确答案】B【分析】先用平方去掉条件中的绝对值号，通过解不等式求出，再用向量的三角不等式求最小值.【详解】平方去绝对值号，由，则，根据向量与的条件可得，化简可得，令，由于函数开口向上，所以需要满足，所以.观察所求式子内部，两者相减可将约掉，所以可用向量的三角不等式求解，即，又，则的最小值为三、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（）A.和 B.和C.和 D.和【正确答案】BC【分析】根据向量是否共线，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A，假设，则使得，因为不共线得且，则无解，故，不共线可作一组基底；对于B，因为，所以，不能作为基底；对于C，因为，所以，不能作为基底；对于D，假设，则使得，则因为不共线得且，则无解，故和不共线可作为一组基底.故选:BC.10.已知复数，下列说法正确的是（）A. B.若，则C. D.若，则为纯虚数【正确答案】ACD【分析】利用共轭复数的定义判断选项A；举反例即可判断选项B；由复数模的运算性质判断选项C；由复数的乘方运算即可判断选项D.【详解】设，对于A，由，则，而，则，故A正确；对于B，举例，满足，但，无法比较大小，故B错误；对于C，由复数模的运算性质可知，，故C正确；对于D，由，则，而，可得，则，则为纯虚数，故D正确．故选：ACD11.在斜三角形中，，则（）A.角B为钝角 B.C.若，则 D.的最大值为【正确答案】ACD【分析】对于A，利用诱导公式结合正弦函数的图象推得或，分析即得；对于B，根据两函数值的符号即可判断；对于C，利用正弦定理即可判断；对于D，将待求式中的角都用角的三角函数式表示，利用三角恒等变换、换元将其化成二次函数，结合二次函数的图象性质即得.【详解】对于A，由可得，因，则，则，或，即或，因为斜三角形，故，即角B为钝角，故A正确；对于B，由A项已得角B为钝角，则，因，故，即B错误；对于C，由正弦定理，，又，代入解得，故C正确；对于D，由上分析可得：，,故，设，又,则，则，则，且，则，故当时，的最大值为,故D正确.故选：ACD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知是虚数单位，则___________．【正确答案】0【分析】根据虚数单位的幂次的运算性质，分别计算、、、的值，再将它们相加.【详解】根据虚数单位的幂次的运算性质得：，，，故故答案为.13.中，为边的中线，，，，则中线的长为_________.【正确答案】##【分析】先由三角形构建平行四边形，使转化为，然后在根据余弦定理求，即可.【详解】如图，以边,为邻边做平行四边形，因为边的中线，则由平行四边形性质知共线，且，在平行四边形中，，，在中，由余弦定理得：，所以，，故14.如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是______．【正确答案】【分析】根据数量积的运算律及向量数量积定义计算求解.【详解】如图，取的中点，，而，所以．故四、解答题（本题共5小题，共77分）15.已知向量，且.（1）求向量；（2）若，求向量的夹角的正弦值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据向量平行和垂直的坐标表示，列出方程，求出参数，求出结果；（2）根据向量加法的坐标表示，和向量夹角的余弦值的坐标表示，求出向量夹角的余弦值，根据同角三角函数关系，求出正弦值.【小问1详解】因为，且，所以，.解得，所以；【小问2详解】设向量的夹角的大小为，.由题意可得，，，所以，得.16.在中，角，，所对的边分别为，，，且，，．（1）求的面积；（2）求边长及的值．【正确答案】（1）（2），【分析】（1）利用平方关系和面积公式求解即可.（2）利用余弦定理和正弦定理求解即可.【小问1详解】由，且，则，所以．【小问2详解】由，则，又，则．17.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）点为线段的中点，且，，求的值．【正确答案】（1）（2）1【分析】（1）根据正弦定理可得，即可求出角的大小；（2）利用中点向量公式和余弦定理求解即可．【小问1详解】由得，所以，因为是锐角，所以；【小问2详解】点是中点，且，，平方得，即，由余弦定理：，即，联立解得：的值为1．18.我们把由平面内夹角成的两条数轴构成的坐标系称为“广义坐标系”．如图1，分别为正方向上的单位向量．若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记．已知向量的“广义坐标”分别为．（1）求的“广义坐标”；（2）求向量与的夹角的余弦值；（3）以O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”．【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1），故，得到“广义坐标”为；（2）计算出，，，故；（3）平面直角坐标系中，，设，得到方程组，求出，故向量的“广义坐标”为.【小问1详解】由题意得，故，故的“广义坐标”为；【小问2详解】由题意得，，故，，故，，故，所以向量与的夹角的余弦值为；【小问3详解】在平面直角坐标系中，，设，向量在平面直角坐标系中的坐标为，所以，所以，解得，故向量的“广义坐标”为.19.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求C；（2）若，求周长的取值范围；（3）若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围．【正确答案】（1）；（2）；（3）.分析】（1）应用正弦边角关系，结合诱导公式、二倍角正弦公式化简得，即可求角；（2）法一：应用余弦定理、基本不等式得，进而有，结合三角形三边关系求范围；法二：应用正弦定理得三角形周长，再应用三角形内角性质及三角恒等变换得，最后应用正弦函数的性质求范围；（3）设，，应用正弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换得，再应用正弦函数的性质求范围.【小问1详解】由已知及正弦边角关系得，因为，所以，而，所以，，，所以，，故，即；【小