湖南衡阳市第五中学2025-2026学年高二下学期4月l数学检测试卷 附答案

/高二阶段检测数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，请将答题卡上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线经过两点，，则此直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】先求直线斜率，再利用斜率和倾斜角的关系求出.【详解】因直线经过两点，，、则直线斜率，设直线的倾斜角为，即，因为，所以.故选：B.2.计算的值为（）A.114 B.99 C.142 D.198【正确答案】A【分析】由排列数和组合数的计算公式可得结果.【详解】．故选：A．3.下图是函数的导函数的图象，则函数的图象可能为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】根据导函数的正负决定原函数的增减性，从而可判断出函数图象【详解】解：导函数的正负决定原函数的增减，由导数图象知，原函数的单调性是递减、递增、递减，符合此规律的只有A，故选：A4.已知双曲线：，则双曲线的虚轴长与实轴长之比为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由题意得双曲线的标准方程，通过标准方程即可求得实轴长和虚轴长，进而可求虚轴长与实轴长之比.【详解】由题意得双曲线的标准方程为，则虚轴长为，实轴长为，所以其虚轴长与实轴长之比为，故选：A.5.正项等比数列的前项和为，若，，则（）A.9 B. C.9或 D.18【正确答案】C【分析】运用等比数列性质解题即可.【详解】正项等比数列的前项和为，若，则，则.又，则，即，即，则，化简，解得都满足题意.则或.故选：C.6.由组成没有重复数字的四位数中，偶数的个数是（）A.300 B.360 C.420 D.480【正确答案】C【分析】由最后一位数是0和最后一位不是0，两类情况讨论求解即可.【详解】最后一位数是0，偶数的个数是；最后一位不是0，偶数的个数是，所以一共有种.7.已知等差数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由等差数列前项和与等差数列的性质求，由求公差，再应用性质转化为代入求解可得.【详解】由，有，可得．故选：A．8.在四棱锥S-ABCD中，，，，则三棱锥S-ABD的体积为（）A. B. C.1 D.2【正确答案】C【分析】先根据向量的数量积判断和向量的关系，进而求出的面积，再求出点到平面的距离，最后根据三棱锥体积公式求解即可.【详解】，，，，，，根据三角形面积公式，设平面的法向量为，则，即，令，则，故平面的法向量为，又，则，故点到平面的距离为，则三棱锥的体积为.故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知二项式，则其展开式中（）A.的系数为84 B.各项系数之和为C.二项式系数之和为 D.二项式系数最大项是第4或5项【正确答案】ABD【分析】根据二项展开式的通项公式计算后可判断ACD的正误，利用赋值法可求各项系数之和，故可判断B的正误.【详解】的展开式的通项为，对于A，取，则，故的系数为，故A正确；对于B，因，令，则各项系数之和为，故B正确；对于C，二项式系数之和为，故C错误；对于D，二项式展开后共有8项，所以二项式系数最大项是是第4或5项，D正确；故选：ABD.10.在等比数列中，已知，，其前项和为，则下列说法中正确的是（）A. B. C. D.【正确答案】BC【分析】由等比数列的定义求得公比，从而求得，得通项公式，前项和，判断各选项．【详解】设等比数列的公比为，，，，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D错误．故选：BC．11.已知抛物线C：，过其焦点F的直线l与抛物线C交于A､B两点，抛物线C在点A，B处的切线交于点P，点M为线段AB的中点，点A在抛物线C的准线上的投影为，则（）A. B.轴C. D.【正确答案】BCD【分析】由题可得抛物线焦点为，准线为.对于A，设直线的方程为：，将直线方程与抛物线联立，由韦达定理可判断选项正误；对于B，由导数知识可得曲线在A，B两点处的切线方程，联立切线方程可得，据此可判断选项正误；对于C，由B分析可得，然后由题可得，然后由等面积法可判断选项正误；对于D，由抛物线定义可得是的角平分线，据此可判断选项正误.【详解】对于A，因为点，直线的斜率一定存在，设直线的方程为：，与抛物线：联立得：，所以，所以A错误；对于B，因为，则，因为，所以，则，所以曲线在点处的切线为：，即，同理，曲线在点处的切线为：，联立，解得，因为，所以，点与点的横坐标相同，所以轴，所以选项B正确；对于由B分析可得，所以，因为，当时，，所以，即；当时，点关于轴对称，即直线的斜率为0，此时，所以直线的斜率不存在，所以，综上，.所以，即，所以选项C正确；对于D，由C知，，又因为，由抛物线定义知，，即点到直线的距离等于到直线的距离，所以点在的角平分线上，即是的角平分线，所以，所以选项D正确.故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.二项式的展开式中的常数项为________．【正确答案】60【分析】利用展开式的通项公式，可求常数项.【详解】展开式的通项为．令，得，则的常数项为．故．13.已知圆：和圆：有3条公切线，则______.【正确答案】6【分析】由两圆有3条公切线，确定两圆外切，再由圆心距等于半径之和，列出等式求解即可.【详解】因为圆：，所以，；圆：，则其标准方程为：，则，，因为圆和圆有3条公切线，所以圆和圆外切，则，即，解得.故614.直线分别与曲线和直线相交于A，B两点，则的最小值为__________.【正确答案】【详解】如图所示，过点作垂直于直线，垂足为，因为直线与的斜率均为定值，所以为定值，设，则，当曲线在点处的切线平行于直线时，取得最小值，所以当取最小值时，取得最小值，令，则，所以，解得，即，所以当直线过点时，取得最小值，此时，联立，得，此时，所以的最小值为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.已知数列的前项和为.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用数列的通项和前n项和的关系求解；（2）利用裂项相消法即可求解.【小问1详解】解：且，有，当时，有，两式相减得，当时，由，适合，所以.【小问2详解】由（1）知，，所以.16.已知在处取得极值.（1）求实数a的值；（2）求在上的最值.【正确答案】（1）1（2）最小值为，最大值为.【分析】（1）由求得，并验证即可；（2）由（1）求导，确定函数单调性，即可求解.【小问1详解】因为，所以，因为在处取得极值，所以，即，解得.当时，，令，解得或，当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，所以1符合题意；【小问2详解】由（1）可知，，且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，所以函数的最小值为，最大值为.17.为庆祝3.8妇女节，某中学准备举行教职工排球比赛，赛制要求每个年级派出十名老师分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛．（1）高二年级一共有多少不同的分组方案？（2）若甲，乙两位男老师和丙，丁，戊三位女老师组成的队伍顺利夺得冠军，在领奖合影时从左到右站成一排，丙不宜站最右端，丁和戊要站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？【正确答案】（1）120种；（2）36种.【分析】（1）利用分类加法计数原理，结合平均分组问题列式计算.（2）按相邻问题及有位置限制问题，利用分步乘法计数原理列式计算即得.【小问1详解】两组都是3女2男的情况有（种）：一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有（种），所以总情况数为（种），故一共有120种不同的分组方案.【小问2详解】视丁和戊为一个整体，与甲、乙任取1个站最右端，有种，再排余下两个及丙，有种，而丁和戊的排列有种，所以不同排列方式的种数是.18.已知函数.（1）求函数的最大值；（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；（3）若函数在上恒成立，求实数的取值范围.【正确答案】（1）1（2）（3）【分析】（1）利用导数分析的单调性，进而求得函数的最大值；（2）根据题意，在上恒成立，参变分离后，通过（1）中所求，即可求得参数的范围；（3）将转化为在上恒成立，构造函数，讨论该函数的单调性，进而根据不同单调性的情况，分析是否在区间上恒成立，从而求得参数的范围.【小问1详解】，定义域为，，令，得，当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，且最大值为.【小问2详解】因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，即上恒成立，即，由（1）可知，的最大值为1，所以，即，所以实数的取值范围为.【小问3详解】若函数在上恒成立，即在成立，所以在上恒成立，令，则，因为，所以当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增，所以，所以时不符合题意；当时，令，①当时，即时，则恒成立，即在上恒成立，所以函数在上单调递减，所以，所以时符合题意；②当时，即时，令，则，因，所以，所以当时，，所以在上恒成立，即函数在上单调递增，所以当时，，所以时，不符合题意.综上所述，实数的取值范围为.19.设椭圆的左、右焦点分别为，，点为上异于长轴顶点的动点，且面积的最大值为.直线，分别交于点，，的周长为8.（1）求的方程；（2）证明：以，为焦点且经过点的双曲线也经过点；（3）设，当时，求的最大值.【正确答案】（1）或（2）证明见解析（3）【分析】（1）设，由的面积.得到，再结合的周长，即可