湖南衡阳市衡阳县第五中学2025-2026学年高一下学期3月月考数学检测试卷 附答案

/衡阳县五中2026年上学期高一3月月考数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题四个选项中只有一项符合题目要求.1.已知集合，则（）A. B.C D.【正确答案】B【分析】由集合的并集运算即可求解【详解】因为，所以，故选：B2.在平面直角坐标系中，已知角的终边上有一点，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】先根据三角函数定义求出，再由正切二倍角公式求解即可.【详解】由题意可得，又.故选：C3.函数是指数函数，则a的值为（）A. B.1 C. D.1或【正确答案】A【分析】直接根据指数函数的定义可得所求值.【详解】因为函数是指数函数，所以且，即且，解得.故选：A.4.已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（）A.–2 B.–1 C.1 D.2【正确答案】D【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.【详解】，，令，则，整理得，解得，即.故选：D.本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.5.已知函数，则图像有如下性质（）A.关于点中心对称 B.关于直线轴对称C.关于点中心对称 D.关于点中心对称【正确答案】D【分析】根据解析式可得，故可得正确选项.【详解】由题意，函数的定义域为，且，故，故图像关于点中心对称，故选：D.6.已知正数a，b满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】方法一：将所求因式通分后利用基本不等式计算即可.方法二：将所求因式配凑后利用基本不等式计算即可.方法三：根据柯西不等式计算即可.【详解】方法一：因为，所以，因为a，b为正数，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以，故的最小值为；方法二因为，所以，因为a，b为正数，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以，故的最小值为.方法三：因为，所以由柯西不等式得，当且仅当，即时取等号，故的最小值为.7.在中，若，则的形状一定是A.等边三角形 B.不含60°的等腰三角形C.直角三角形 D.钝角三角形【正确答案】C【分析】结合三角形的性质，对等式进行恒等变换，可以得到，进而求出角是直角，即可选出答案．【详解】由题意知，，，所以题中等式可转化为：，即，则，故，所以角为直角，即的形状一定是直角三角形．故答案为C.本题考查了三角形性质，及三角恒等变换，属于基础题．8.已知函数，则不等式解集是（）．A. B.C. D.【正确答案】D【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结果.【详解】因为，所以等价于，在同一直角坐标系中作出和的图象如图：两函数图象的交点坐标为，不等式的解为或.所以不等式的解集为.故选：D.本题考查了图象法解不等式，属于基础题.二、选择题，本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知角的终边在第四象限，则的终边可能在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【正确答案】BCD【分析】根据角的终边在第四象限，得，即，然后分类讨论，再结合象限角定义可判断.【详解】由为第四象限角，得，得，令，时，，，得的终边在第四象限；令，时，，，得的终边在第二象限，令，时，，，得的终边在第三象限，故选：BCD.10.若函数，且）是指数函数，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.【正确答案】AC【分析】根据指数函数的定义求出函数解析式，再对选项作出判断．【详解】解：因为函数是指数函数，所以，所以，所以，所以，，故B、D错误，A．C正确．故选本题考查指数函数的定义，及函数值的求解，属于基础题．11.为了得到函数的图象，只需把正弦曲线上所有的点（）A.先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原米的，纵坐标不变B.先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C.先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度D.先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度【正确答案】AC【分析】根据三角函数图象平移、变换求解解析式方法即可判断选项．【详解】正弦曲线先向右平移个单位长度，得到函数的图象，再将所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，故A正确，B错误；先将正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数图象，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，故C正确，D错误．故选：AC.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.【正确答案】【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.【详解】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，即：，解得.故．本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13.在中，角的对边分别为，且，若点是的中点，，则__________.【正确答案】3【分析】根据题意利用余弦定理求，代入运算求解即可.【详解】在中，因，，由余弦定理可得：，在中，由余弦定理可得：，因为，即，可得，解得.故3.14.已知实数，且，则的最小值是__________.【正确答案】16【分析】变形后，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】因为，且，故，所以，当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值是16.故16四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合.（1）若中只有一个元素，求的值，并求集合；（2）若中至多有一个元素，求的取值范围.【正确答案】（1）的值为或者，当时，；当时，.（2）【分析】（1）谈论和两种情况，当时，，解出即可；（2）方程无解时，且，解出不等式，结合（1）中的结论，即可求得.【小问1详解】当，集合，当时，，解得此时，综上可知，的值为或者，当时，；当时，.【小问2详解】当集合中无元素时，方程无解，则且，解得，又当中只有一个元素时，或者故中至多有一个元素时，的范围为或者，所以的取值范围为16.已知函数且是定义在上的奇函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若，且，求函数在上的值域.【正确答案】（1）（2）【分析】(1)利用奇函数的性质确定参数，由判断函数单调性，结合奇函数性质转化不等式，再根据定义域列不等式组求解，得到不等式的解集；(2)由求出底数，通过换元法将转化为关于的二次函数，根据的取值范围确定的区间，再利用二次函数的单调性求解值域.【小问1详解】由为定义在上的奇函数，得，即，故，.由，结合，得，故.在上单调递增，且.由，得.所以，解得.所以不等式的解集为.【小问2详解】由，整理得，解得（舍去），故.，令，则，故.当时，单调递增，得.函数，开口向上，对称轴为.当时，；当时，，故函数在上的值域为.17.某企业生产某款空调预计全年需投入固定成本万元，生产千台空调，需另投入资金万元，且，经测算，当生产千台空调时需另投入的资金为万元．已知每台空调的售价为万元，且当年生产的空调能全部销售完．（1）求该企业生产并销售该款空调所获年利润（单位：万元）关于年产量（单位：千台）的函数关系式．（2）当年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？（注：利润销售额成本）【正确答案】（1）（2）当年产量为千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为万元【分析】（1）由题意可知时，，代入函数中可求出，然后由年利润等于销售总额减去投入资金，再减去固定成本，可求出年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式，（2）分别当和求出函数的最大值，比较即可得答案【小问1详解】当时，，解得，故，当时，；当时，.所以.【小问2详解】当时，，所以当时，有最大值，最大值为；当时，，当且仅当，即当时，有最大值，最大值为.因为，所以当年产量为千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为万元.18.在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，在①；②.两个条件中任选一个，补充在下面问题中（将选的序号填在横线处），已知，______．（1）若，求b；（2）求面积S的最大值．【正确答案】（1）选①或②，都有（2）【分析】（1）若选①，根据两角差余弦公式得到，若选②，根据余弦定理得到，再利用正弦定理求解即可.（2）利用余弦定理结合基本不等式求解最值即可.【小问1详解】若选①，则所以，即由，，得，可得，所以．若选②，则所以，由，得中，由正弦定理，可得.【小问2详解】中，，所以，即解得，当且仅当取等号．所以面积，所以当时，面积S取得最大值.19.已知函数，．（Ⅰ）求函数的最小正周期和最大值；（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位长度，得到图象．若对任意，当时，都有成立，求实数的最大值．【正确答案】（Ⅰ）函数的最小正周期为，最大值是（Ⅱ