江苏南京市燕子矶中学2025-2026学年高一下学期期初开学考试数学检测试卷 附答案

/2025-2026高一下期初数学调研（分值：120分）一、单选题（40分）1.已知集合，，则（）A B. C. D.【正确答案】D【分析】解不等式得到集合，然后求交集即可.【详解】由题意得或，所以.故选：D.2.（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由诱导公式进行求解.详解】.故选：B3.已知关于x的函数（，且）的图象恒过定点A，则点A的坐标为（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】根据指数函数的性质判断.【详解】令，则，所以函数图象恒过定点.故选：D.4.“”是函数在R上单调递增的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【详解】由函数在R上单调递增，可得，解得，则“”是函数在R上单调递增的必要不充分条件.5.已知，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由诱导公式及两角差的正弦公式求得，再根据二倍角公式即可求解．【详解】因为，所以．6.函数的最大值为（）A. B. C.1 D.【正确答案】D【分析】先利用三角恒等变换整理得，换元令，结合二次函数求最值.【详解】由题意可得：，令，则的对称轴为，∴当时，取到最大值，故函数的最大值为.故选：D.7.一种药在病人血液中量保持及以上才有疗效，而低于病人就有危险.现给某病人静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了保持疗效，那么从现在起到再次向病人注射这种药的最长间隔时间(精确到)为（）（参考数据：，）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】设最长间隔时间为，根据条件得到，利用对数函数的单调性及对数的运算，得到，再利用换底公式，即可求解.【详解】设从现在起到再次向病人注射这种药的最长间隔时间为，由题有，即，所以，故选：A.8.已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】注意到原题条件等价于当时，恒成立，当时，恒成立，故当时，，从而得，由此结合基本不等式即可求解.【详解】设，，因为，所以当时，；当时，；时，；由不等式恒成立，得或，即当时，恒成立，当时，恒成立，所以当时，，则，即，则当时，，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为．故选：C．二、多选题（18分）9.下列化简正确的是（）A.B.C.D.【正确答案】AC【详解】A选项，由，得，即，故A正确；B选项，，故B错误；C选项，，故C正确；D选项，，故D错误.10.已知函数，若，且，则（）A. B. C. D.【正确答案】AC【分析】作出函数的图象，根据题意分类讨论，可确定的范围，可判断,由，利用对数的运算可得，可判断D.【详解】由题意得，作出其图象如图：∴在上，函数是减函数；在上，函数是增函数；∵，∴若，则，不合题意，∴，C正确；若，则，也不合题意，∴，A正确；结合图象可知b可大于1，可小于1或等于1，B错误；由，可得，故，D错误，故选：方法点睛：根据函数的解析式特征，脱去绝对值符号，结合对数函数图象，即可作出的图象，然后要分类讨论数形结合，确定的范围，即可确定答案.11.若,且,则（）A. B.C. D.【正确答案】ABD【分析】根据基本不等式求出,将代入,结合即可得选项A的正误;将写为,再进行分离常数,用基本不等式即可得选项B的正误;将写为,代入,结合即可得选项C的正误;对进行分离常数化简可得,再用“1”的代换,即可得选项D的正误.【详解】解:因为,,所以,解得,当且仅当时取等号,所以,故选项A正确;因为,当且仅当,即时取等号,故选项B正确;因为,,故选项C错误;因为,因为,所以,所以,当且仅当,即时取等号,所以,即,故选项D正确.故选：ABD三、填空题（15分）12.某扇形的圆心角为2弧度，周长为4cm，则该扇形面积为_____cm2．【正确答案】1【详解】设该扇形的半径为，根据题意，因为扇形的圆心角为弧度，周长为，则有，，故答案为.13.函数的单调递增区间是______．【正确答案】【分析】根据复合函数单调性“同增异减”的性质，结合函数定义域求解即可.【详解】由题意知，解得或，即函数定义域为.令，则原函数可看作与的复合函数，因为函数是单调递减函数，所以要使单调递增，则需单调递减，由二次函数的对称轴为，可得函数的单调递减区间为，因为定义域为，所以函数的单调递增区间是.14.已知函数，设a为正实数，若方程有实数解，则a的取值范围是______．【正确答案】【分析】根据分段函数的定义域要求，分四种情况分别讨论即可.【详解】情况1:，则，所以方程即为，解得，不符合；情况2:，则，所以方程即为，所以，两边平方得，值域为；情况3:，当

时，由于

，则

，则，所以方程即为，解得，不符合；情况4:，不可能，因.综上，a的取值范围是.四、解答题（47分）15.已知.（1）求的值；（2）若，求的值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用同角三角函数之间的基本关系式求得，再利用两角和的余弦公式即可求出结果；（2）根据平方关系可求得再进行角的转化即，之后利用两角差的余弦公式进行求解可得出.【小问1详解】由，可得；所以；即【小问2详解】由可得，又，所以由可得即值为16.已知函数为定义在上的偶函数.（1）求实数的值；（2）令，判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（3）若对恒成立，求实数的取值范围.【正确答案】（1）（2）单调递增，证明见解析（3）【分析】（1）由偶函数的定义求解参数的值即可；（2）先判断出函数的单调性，利用函数的单调性的定义证明即可；（3）对恒成立，分离参数，转化为对恒成立.令，求解其最小值即可.【小问1详解】由于函数为上的偶函数，所以对恒成立，即，对恒成立，即对恒成立，整理得，对恒成立且，所以.【小问2详解】由（1），故，在上单调增，证明如下：任取，且，则.因为，所以，，则.所以，即，因此，函数在上单调递增.【小问3详解】由题得对恒成立，即对恒成立，因为，所以，则且对恒成立.设，令，因为，所以.则，因为在上单调递增，则，且函数在上单调递减.故.因此，，又，则实数a的取值范围是.17.已知函数（，，）的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）若函数在区间上不单调，求实数m的取值范围；（3）若方程的解为，（），求的值．【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据图像的特点即可求出；（2）先求出函数的单调区间，再根据函数在区间上不单调列式即可；（3）先求出方程的解为，之间的关系，再利用三角函数的性质即可求出.【小问