上海市华东师范大学附属天山学校2025-2026学年高三下学期高考数学模拟试题（3月份） 附答案

/2026年上海市长宁区华东师大附属天山学校高考数学模拟试卷（3月份）一、单项选择题：本大题共4小题，共18分.1.已知直线，.则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【正确答案】A【分析】求出时，或，从而得到是的充分不必要条件.【详解】当时，直线的斜率为，的斜率为，又，所以，充分性成立；直线，，若，则有，解得或，必要性不成立.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.2.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中真命题是（）A.若，，则B.若，，，则C若，，则D.若，，，，则【正确答案】C【分析】ABD可举出反例；C选项，由线面平行的性质得到，由线面垂直得到，从而得到.【详解】A选项，，，则可能平行，也可能异面，也可能相交，A错误；B选项，，，，则可能平行，也可能相交，B错误；C选项，如图，，，，由线面平行的性质得到，因为，，所以，则，C正确；D选项，满足，，，，则或相交，如图，满足，，，，但相交，D错误.故选：C3.有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取两次，每次取个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则（）．A.甲与乙相互独立 B.乙与丙相互独立C.甲与丙相互独立 D.乙与丁相互独立【正确答案】A【分析】根据题意分别求出事件的概率，再根据相互独立满足的概率公式判断即可.【详解】由题意得，甲，乙，丙，丁.对于A，甲乙，所以甲乙甲乙，所以甲与乙相互独立，故A正确；对于B，乙丙，所以乙丙乙丙，所以乙与丙不是相互独立，故B不正确；对于C，甲丙，所以甲丙甲丙，所以甲与丙不是相互独立，故C不正确；对于D，乙丁，所以乙丁乙丁，所以乙与丁不相互独立，故D不正确.故选：A.4.对于无穷数列，给出如下三个性质：①；②对于任意正整数，都有；③对于任意正整数，存在正整数，使得定义：同时满足性质①和②的数列为“s数列”，同时满足性质①和③的数列为“t数列”，则下列说法正确的是（）A.若为“s数列”，则为“t数列”B.若，则为“t数列”C.若，则为“s数列”D.若等比数列为“t数列”则为“s数列”【正确答案】C【分析】设，可判定A错误；对于，分为奇数和为偶数，不存在，使得，可判定B错误；若，推得满足①②，可判定C正确；设，取，可判定D错误.【详解】设，此时满足，也满足，，即，，为“s数列”，因为，所以A错误；若，则，满足①，，令，若为奇数，此时，存在，且为奇数时，此时满足，若为偶数，此时，则此时不存在，使得，所以B错误；若，则，满足①，，，因为，所以，，满足②，所以C正确；不妨设，满足，且，，当为奇数，取，使得；当为偶数，取，使得，所以为“数列”，但此时不满足，，不妨取，则，而，则为“数列”，所以D错误.故选：C.二、填空题：本题共12小题，共54分.5.不等式的解集是______．【正确答案】【详解】由.所以不等式的解集是.6.在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则______．【正确答案】##【分析】先求出点到原点的距离，再根据三角函数定义即可求解.【详解】由题意，角的终边经过点，所以，所以.7.若复数是的一个根，则_____.【正确答案】【分析】设设，，代入中，得到方程组，求出，求出模长.【详解】由题意得，设，，则，即，所以，因为，所以，故，故.故8.二项式的展开式中的系数等于__________.【正确答案】5【分析】首先写出展开式的通项，再令求出，最后代入计算可得.【详解】二项式展开式的通项为，，令，解得，所以，所以展开式中的系数为.故9.将个数据按照从小到大的顺序排列如下:，若该组数据的分位数为22，则______________．【正确答案】21【分析】根据百分位的计算求解即可.【详解】因为，所以分位数是第4、5个数据的平均数，所以，解得.故10.公差为的等差数列，，如果、、成等比数列，求数列的通项______.【正确答案】或【分析】根据题设条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可得出数列的通项公式.【详解】因为，可得①，因为、、成等比数列，所以，即，整理可得②，联立①②可得或，当，时，；当，时，数列为常数列，此时.综上所述，或.11.已知函数的图象在处的切线与直线平行，则______．【正确答案】【详解】由求导得，则，因为函数的图像在处的切线与直线平行，所以，即，解得．12.将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在家庭的不同安排方法数有__________种.【正确答案】【分析】按照家庭被分配到一人或两人，进行分类讨论.详解】由题可分以下两种情形：①家庭只有志愿者甲，另外人分配到其他的个特殊家庭，每个家庭至少安排一名志愿者，此时有种；②家庭除了甲还有另一名志愿者，另外人分配到其他的个特殊家庭，每个家庭至少安排一名志愿者，此时有种.故志愿者甲恰好被安排家庭共有种不同安排方法.故答案为.13.若向量在向量上的投影向量为，且，则向量与向量夹角大小为______．【正确答案】【分析】先求，再求，再利用平面向量的数量积求两向量的夹角.【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以.又，所以.所以，又，所以，即向量与向量夹角为.14.已知在上是严格增函数，且该函数在上有最小值，那么的取值范围是___________．【正确答案】【分析】根据条件，结合的图像与性质即可求出结果.【详解】当时，，又因为在上是严格增函数，所以且，即，，又，取，得到，当时，，又，所以，又该函数在上有最小值，所以，得到，综上所述，故答案为.15.在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为___________．【正确答案】【分析】先根据三棱锥的体积，求三棱锥的高，再根据三棱锥的几何性质，确定三棱锥外接球球心的位置和外接球的半径，利用球的表面积公式求面积.【详解】如图：在中，，，所以.取中点，则为外接圆的圆心，且外接圆半径为.连接，因为，所以.又（）.所以，即.又平面，，所以平面.所以.所以三棱锥外接球的球心在线段上，设为，再设三棱锥外接球的半径为，在中，，，,由.所以三棱锥外接球的表面积为.故16.定义：若，则称是函数的倍伸缩周期函数．设，且是的2倍伸缩周期函数．若对于任意的，都有，则实数m的最大值为__________【正确答案】##【分析】确定函数解析式，得到时，，考虑和两种情况，得到不等式，解得答案.【详解】依题意，，当时，，则，当时，，，，于是，当时，恒成立；当时，，，即，由，解得或，即或，观察图象知，当时，恒有，依题意，，所以实数m的最大值为.故三、解答题：本题共5小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱，的中点，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）由线面平行的判定定理即可证明；（2）以点为坐标原点，、、分别为、、轴，如图建立空间直角坐标系.求出直线的方向向量和平面的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案.【小问1详解】证明：在四棱锥中，取的中点，连接、，因为是的中点，所以，且.又因为底面是正方形，是的中点，所以，且.所以.所以四边形是平行四边形，所以.由于平面，平面，所以平面.【小问2详解】因为底面是正方形，所以.又因为平面.所以以点为坐标原点，、、分别为、、轴，如图建立空间直角坐标系.，，，，，.，，设平面的法向量为.有：即令，则，所以..设直线与平面所成角为.有.所以直线与平面所成角的正弦值为.18.已知向量，设函数.（1）当时，求函数的值域;（2）已知在中，内角的对边分别为，若，且，求面积的最大值.【正确答案】（1）（2）1【分析】（1）利用向量数量积公式和三角恒等变换得到，整体法求解函数的值域；（2）在（1）基础上，结合得到，由勾股定理和基本不等式得到，进而得到三角形面积的最大值．【小问1详解】，，当时，，，所以函数的值域为.【小问2详解】由（1）可知，又，所以，因为，所以，故，因为，由可知，，由基本不等式得，解得，当且仅当时，等号成立，故三角形面积，即面积最大值为1.19.垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏，同时能提高资源循环利用的效率．目前上海社区的垃圾分类基本采用四类分类法，即干垃圾，湿垃圾，可回收垃圾与有害垃圾．某校为调查学生对垃圾分类的了解程度，随机抽取100名学生作为样本，按照了解程度分为A等级和B等级，得到如下列联表：男生女生总计A等级402060B等级202040总计6040100（1）根据表中的数据回答：学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关（规定：显著性水平）？附：，其中，．（2）为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛．每局比赛由二人参加，主持人A和B轮流提问，先赢局者获得奖项并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人A提问甲赢的概率为，主持人B提问甲赢的概率为，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．现抽签决定第一局由主持人A提问．（i）求比赛只进行3局就结束的概率；（ii）设为结束比赛时甲赢的局数，求的分布和数学期望．【正确答案】（1）无关（2）（i）；（ii）分布列见解析，【分析】（1）计算的值，再与进行比较即可得结论；（2）（i）由相互独立事件概率的乘法公式可直接求出答案；（ii）先由相互独立事件概率的乘法公式求出，则分布列可得，再由期望公式求数学期望即可.【小问1详解】提出原假设:学生对垃圾分类的了解程度与性别无关，确定显著性水平，由题意得，可得，由，且，所以接受原假设，学生对垃圾分类的了解程度与性别无关.【小问2详解】（i）比赛只进行3局就结束，甲赢得比赛的概率为比赛只进行3局就结束，乙赢得比赛的概率为，故比赛只进行3局就结束的概率为；（ii）的可能取值为，，即进行了3场比赛，且乙赢得比赛，故，，即进行了4场比赛，且乙赢得比赛，前3场中，甲赢得1场比赛，乙第4场赢，故，，即进行了5场比赛，且乙赢得比赛，前4场中，甲赢得2场比赛，乙第5场赢，故，，即最后甲赢得比赛，由概率性质得，所以分布为0123故数学期望为.20.已知椭圆C：的焦距为，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）设与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点（异于椭圆顶点），点P为线段MN的中点，为坐标原点．①若点P在直线上，求证：线段的垂直平分线恒过定点，并求出点的坐标；②求证：当的面积最大时，直线OM与ON的斜率之积为定值．【正确答案】（1）（2）①证明见解析，；②直线OM与ON的斜率之积为.【分析】（1）根据焦距和所过点联立方程组求解即可；（2）设出直线方程并与椭圆方程联立，①根据中点公式及垂直平分线方程化简即可证明并得到定点；②利用弦长公式和点到直线距离公式，表示出三角形面积，并借助重要不等式得到三角形面积最大时，直线方程中的参数满足的条件，由此化简直线OM与ON的斜率之积即可得出定值.【小问1详解】因为焦距为，即，所以，又因为椭圆过点，所以，解得，所以椭圆C的方程为.【小问2详解】由题意知，直线l斜率存在，设直线l方程为，设.由得，，.①因为点P为线段的中点，点P在直线上，所以，即，.所以.所以线段MN的垂直平分线方程为，即，即.故线段的垂直平分线恒过定点.②由弦长公式得，坐标原点到直线的距离为，所以的面积为.当且仅当，即时等号成立.所以.所以直线OM与ON的斜率之积为定值.21.已知函数，.（1）求函数在点处的切线方程；（2）对任意的时，恒成立，求实数的取值范围；（3）记，若，且，求证.【正确答案】（1）（2）（3）证明见解析【分析】（1）对求导，得到为切线斜率，再求解得切点纵坐标，再根据直线方程得切线方程；（2）构造函数，对求导，得到，利用导数与函数的单调性间的关系，可得，再分和两种情况讨论，即可求解；（3）根据的条件变形，将（其中）用含的式子表示，并代入中，通过分析化简后表达式的符号即可得证.【小问1详解】解：因为，所以，所以，又因为，所以在点处的切线方程为，即；【小问2详解】解：因为，所以，设，，则，，令，，则，可得在上为增函数，即在上为增函数，所以，当时，，此时在上为增函数，故，即，所以，符合题意．当时，，因为在上为增函数，当时，，故存在满足，则在上单调递减，在上单调递增，因此当时，，不合题意；综上所述，实数a的取值范围为．【小问3详解】证明：由题意得，，所以，由可得，所