上海市静安区回民中学2025-2026学年第二学期高二年级数学学科阶段(1)测试题 附答案

/上海市回民中学2025学年第二学期高二年级数学学科阶段（1）测试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.直线与直线垂直，则实数___________.【正确答案】【分析】根据两直线垂直列方程，化简求得的值.【详解】由于，所以.故2.已知直线则直线与的夹角是________．【正确答案】【分析】将直线方程化为斜截式方程，进而求得倾斜角，再求解夹角即可.【详解】解：将直线方程化为斜截式方程得，所以直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，所以直线与的夹角是故3.若直线l经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的2倍，则直线l的方程为_____【正确答案】【分析】先求得直线的斜率，然后根据点斜式方程直接可得.【详解】由已知设直线的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为.因为，所以又直线l经过点，因此，所求直线方程为，即.故4.两条平行直线：与之间的距离是____【正确答案】##【分析】根据两平行线的距离公式计算即可.【详解】，根据两平行线的距离公式可知故答案为:5.已知圆与圆，则两圆的位置关系是______.【正确答案】内切【分析】依题意，求出两圆的圆心距和半径后即可判断.【详解】因为圆，圆，所以圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，所以，所以两圆的位置关系为内切.故内切.6.已知椭圆的两个焦点坐标分别是，且该椭圆经过点，则椭圆的标准方程为________________【正确答案】【分析】根据椭圆的定义求标准方程或者用待定系数法求标准方程.【详解】解法一：因为椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为．因为椭圆的两个焦点坐标分别是，，且点在椭圆上，所以由椭圆的定义知，所以，又因为，所以.因此所求椭圆的标准方程为．解法二：因为椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为，因为椭圆的两个焦点坐标分别是，，所以，从而——①，

又因为点在椭圆上，所以——②，

由①②解得或（舍去），因此，所求椭圆的标准方程为．故7.若线段的端点，点在圆：上运动.则线段中点的轨迹方程______【正确答案】【分析】通过中点坐标公式建立点与中点的坐标关系，将点的坐标用的坐标表示后代入已知圆方程，化简得到中点的轨迹方程.【详解】设，，由于是线段的中点，所以，将代入圆，得整理得.8.已知圆，过点作圆的切线，则切线方程为______．【正确答案】或【分析】先根据斜率否存在设直线方程再结合点到直线距离求参即可.【详解】由题意知在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为，所以切线方程为，所以，所以，所以，所以切线方程为．综上，切线方程为或.故或.9.若实数满足，则的取值范围是______【正确答案】【分析】将求的取值范围转化为直线与圆的位置关系问题，进而求解即可.【详解】可化为，圆心坐标为，半径为.令，即，则表示直线的纵截距，如图.圆心到直线的距离为.直线与圆有交点的条件为，即，解得，所以的取值范围为.10.某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需要一个吊杆吊起桥面，则吊杆A2P2的长为________________（精确到0.01m）．【正确答案】5.39m【分析】建立平面直角坐标系，分别设圆的一般式方程以及标准式方程，代入计算，即可得到结果.【详解】以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，易知点A，B，P坐标分别为．方法一：设圆拱所在的圆的方程是.因为点A，B，P在所求的圆上，所以，解得故圆拱所在的圆的方程是.方法二：设圆的半径为，则，得.则圆心纵坐标为，.将点的横坐标代入上述方程，解得（负值舍去）；即吊杆的长约为.故11.数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，则中垂线所在直线的方程为______．【正确答案】【详解】已知，设中点为，则，由斜率公式可得，设中垂线所在直线斜率为，则，解得，故中垂线所在直线的方程为，一般式为．12.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点不与重合.则的最小值是___________【正确答案】##0.36【分析】分情况讨论，当时，，当时，根据直线方程确定，利用勾股定理得到,结合基本不等式即可求得结果.详解】直线过定点，直线过定点，①当时，过定点的直线方程为，过定点的直线方程为，两直线垂直，此时，所以；②当时，直线的斜率为，直线的斜率为，因为，所以两直线垂直，即点可视为以为直径的圆上的点，因为点不与点或点重合，为直角三角形，且，所以当且仅当时等号成立，综上，故的最小值为.二、单项选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.已知下列命题：①直线的倾斜角为，则此直线的斜率为；②直线的斜率为，则直线的倾斜角为；③直线的倾斜角为，则.上述命题中不正确的是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【正确答案】D【分析】根据倾斜角、斜率的知识对个命题进行分析，由此确定正确答案.【详解】①，时，直线的斜率不存在，①错误.②，，直线的倾斜角为，不是，②错误.③，当时，，③错误.所以不正确的是①②③.故选：D14.“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（）条件A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既非充分又非必要【正确答案】B【分析】由方程表示焦点在y轴上的椭圆得解出即可求解.【详解】由题意有，所以“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的必要非充分条件，故选：B.15.已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】先根据直线的方向向量和法向量之间的关系写出直线的方向向量；再根据直线倾斜角、斜率和方向向量之间的关系分类讨论，结合基本不等式即可求解.【详解】由直线的法向量为可得：直线的方向向量可取为.当时，，此时直线垂直于轴，.当时，直线的斜率，则当时，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时；则当时，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时；综上可得：的取值范围是.故选：B.16.在平面直坐标系中，点，定义为点之间的极距，已知点是直线上的动点，已知点是圆上的动点，则P，Q两点之间距离最小时，其极距为（）A.1 B. C. D.【正确答案】C【分析】先分析出极距的含义，就是直角三角形中较小的直角边的大小.先用几何法求出PQ的最小值，再求P，Q两点之间的极距.【详解】如图示：在平面直角坐标系内，，作出直角三角形,则由极距的定义知，就是直角三角形中较小的直角边的大小.因为点是直线上的动点，是圆上的动点，要使PQ最小，则，最小，此时.设直线l交x轴于A，交y轴于B,因为直线l的斜率为-2，所以过P作轴，过Q作轴，则,所以在直角三角形中，P，Q两点之间的极距即为RQ,设，则,所以，解得：，即，所以P，Q两点之间的距离最小时的极距为故选：C（1）数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.（2）距离的最值的计算方法有两类：①几何法：利用几何图形求最值；②代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值.三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21厘每题18分.）17.已知直线，直线.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值，并求平行直线和之间的距离.【正确答案】（1）或（2），距离为【分析】（1）由垂直得到，解出的值；（2）由平行得到，解出或，分别检验是否重合，再由平行线间距离公式求距离.【小问1详解】因为，所以，即，解得或，所以实数的值为或.【小问2详解】因为，所以，即，解得或，当时，，即，此时与重合，不合题意；当时，即，即，，符合题意，此时平行直线和之间的距离.18已知直线，点.（1）直线关于点对称的直线的方程：（2）以为圆心，3为半径作圆，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程.【正确答案】（1）（2）或【分析】（1）设为直线上的任意一点，先求出点关于点的对称点，再代入直线的方程即可求解；（2）根据圆的几何性质可求得圆心到直线的距离为1，再分直线的斜率不存在、存在两种情况讨论求解即可.【小问1详解】设为直线上的任意一点，而点关于点的对称点为，则在直线上，代入直线得，，即，则直线关于点对称的直线的方程为.【小问2详解】由题意，直线被圆截得的弦长为，而圆的半径为，则圆心到直线的距离为.当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为3，不满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，则，解得或，所以直线的方程为或.19.如图，已知圆方程为，直线方程为，过点的一条动直线与直线相交于点.（1）若直线与夹角为，求直线的方程；（2）若直线与圆相交于两点，是弦中点，求点的轨迹.【正确答案】（1）或（2）点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆且在圆内的部分【分析】（1）利用两直线夹角公式求出直线的斜率，再求直线方程即可.（2）利用垂径定理得到，根据向量垂直的坐标表示结合直线与圆的位置关系即可求出点的轨迹.【小问1详解】圆可化为，圆心坐标为，半径为.直线：，斜率为.设直线的斜率为，则，即，解得或.当时，直线方程为，即；当时，直线方程为，即；所以直线方程为或.【小问2详解】设，因为是弦中点，所以，所以.又，，所以，即，整理得.因为直线与圆相交于两点，所以点应在圆的内部.所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆且在圆内的部分.20.已知直线与直线（1）若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上截距之和为0，求直线的方程；（2）若点，点为直线过的定点，点为直线过的定点，圆是以为直径的圆.求过点的直线与圆相交的斜率范围.【正确答案】（1）或（2）【分析】（1）先代入点求得，再分截距为0与不为0两类，分别用斜截式、截距式求解直线方程.（2）先通过分离参数法求两直线的定点，确定圆的方程，再设直线斜率，利用圆心到直线的距离不大于半径列不等式，求解斜率的取值范围.【小问1详解】将代入，得，故.当直线过原点时，设方程为，代入得，方程为.当直线不过原点时，设方程为，代入，得，所以直线的方程为.综上所述，直线的方程为或.【小问2详解】对，整理为，令，故定点.对，令得，故定点.圆以为直径，圆心为，半径，方程为.设过的直线为，即.由相交条件得，，两边平方并化简得，解得或，所以斜率范围是.21.疫情期间，作为街道工作人员的王阿姨和李叔叔需要上门排查外来人员信息，王阿姨和李叔叔分别需走访离家不超过200米、k米的区域，如图，、分别是经过王阿姨家（点）的东西和南北走向的街道，且李叔叔家在王阿姨家的东偏北方向，以点O为坐标原点，、为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知健康检查点（即点）和平安检查点（即点）是李叔叔负责区域中最远的两个检查点.（1）求出k，并写出王阿姨和李叔叔负责区域边界的曲线方程；（2）王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，需在姑山路（直线）上碰头见面，你认为在何处最为便捷、省时间（两人所走的路程之和最短）？并给出理由.【正确答案】（1），，；（2）【分析】（1）求圆的标准方程，可设出圆心，利用圆上两点距离到圆心相等，可算得圆心和半径.（2）可先求圆心O关于的对称点P,找到直线PC与l的交点，即为所求.【详解】（1）易知，王阿姨负责区域边界的曲线方程为：李叔叔家在王阿姨家的东偏北方向，设李叔叔家所在的位置为，离和距离相等故故即故故李叔叔负责区域边界的曲线方