上海市长征中学2025-2026学年高二上学期第二次质量调研（12月月考）数学检测试卷 附答案

/上海市长征中学2025−2026学年高二上学期第二次质量调研（12月月考）数学试卷一、填空题1．已知事件A，其对立事件记为，若，则_________．2．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为__________．3．抛掷3枚质地均匀的硬币，最多1枚正面朝上的概率为______.4．某射击运动员亚运会上女子10米气步枪个人项目决赛最后淘汰赛阶段5次射击取得的成绩（单位：环）1234510.310.310.410.710.8则该组数据的方差是______.（近似到0.001）5．在等差数列中，若，求公差的值是_________．6．已知圆锥的底面半径为1，高为，求圆锥的表面积_________7．管理人员为了了解某水库里大概有多少条鱼，拖网打捞出1000条鱼，在鱼身处打上一个不会掉落的印记，再放回水库，一个月后再次捕捞1000条鱼，发现其中有20条有印记的鱼，问：这个水库里大概有______条鱼．8．甲、乙两人进行射击训练，他们中靶的概率分别为、，若两人同时独立射击，则恰有一人不中靶的概率为______.9．已知为无穷等比数列，，数列满足，则__________．10．甲、乙两人下棋，每局甲获胜的概率为0.6，某一天两人要进行一场三局两胜的比赛，各局的胜负之间是独立的，最终胜者赢得100元奖金．第一局比赛甲胜，后因为有其他要事而中止比赛．按照两人最终获胜的可能性大小的比例来分配奖金，则甲能获得__________元．11．如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则上坡段铁路的长度为______________公里.12．在由连接正方体的任意两个顶点形成的所有直线中，任意选取两条直线，则这两条直线垂直的概率是________．二、单选题13．某校有学生1800人，为了解学生的作业负担，学校向学生家长随机抽取了1000人进行调查，其中70%的家长回答他们孩子每天睡眠时间大致在6-7小时，28%的家长回答他们孩子回家做作业的时间一般在3-4小时，下列说明正确的是（

）.A．总体是1000 B．个体是每一名学生C．样本是1000名学生 D．样本容量是100014．已知平面，，两两垂直，直线a，b，c满足，，，则直线a，b，c不可能满足以下哪种关系（

）A．两两垂直 B．两两异面 C．两两相交 D．两两平行15．如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，，且,则异面直线与的夹角的余弦值为（

）A． B． C．0 D．无法确定16．设数列的前项和为，若对任意正整数，总存在正整数，使得，有结论：①可能为等差数列；②可能为等比数列．关于以上两个结论，正确的判断是（

）A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立三、解答题17．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.（1）求证：数列{an＋1}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式.18．某微小企业员工的年龄分布茎叶图如图所示：（1）求该公司员工年龄的平均数和第百分位数；（2）从该公司员工中随机抽取一位，记所抽取员工年龄在区间内为事件，所抽取员工年龄在区间内为事件，判断事件与是否互相独立，并说明理由.19．某学校为了获得该校全体高中学生的体育锻炼情况，按男､女学生的比例分别抽样调查了48名男生和27名女生的每周锻炼时间．通过计算得到男生每周锻炼时间的平均数为7.6小时，方差为7；女生每周锻炼时间的平均数为6.4小时，方差为8．（1）若该校男生总数为1280，求该校学生总数；（2）若所选27名女生每周锻炼时间从小到大排列后的第9至第13个数据依次为5､5.3､5.6､5.8､5.9，求所选女生样本的第40百分位数；（3）求所有样本数据的平均数和方差（精确到0.001）．20．如图，在正四棱锥中，底面边长为2，高为4．（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求二面角的大小．21．已知数列满足（为正整数）．（1）设是公差为2的等差数列．当时，求的值；（2）设．求正整数，使得对一切正整数，均有；（3）设．当时，求数列的通项公式．

答案1．【正确答案】0.7/【详解】事件A的对立事件为，，则．2．【正确答案】【详解】点关于轴的对称点的坐标为.3．【正确答案】/0.5【详解】抛掷3枚质地均匀的硬币，恰好一枚正面朝上的概率为，没有正面朝上的概率为，两个事件互斥，所以最多1枚朝上的概率为.4．【正确答案】/【详解】由题设中的统计数据，可得数据的平均数为，则数据的方差为.5．【正确答案】1【详解】是等差数列，设首项是，公差为，，，解得．6．【正确答案】【详解】根据题意，求得母线长，即可用圆锥的表面积公式求得结果.设圆锥的母线长为，则，所以圆锥的表面积为.7．【正确答案】【详解】令这个水库里大概有条鱼，由题意有，可得条.8．【正确答案】/【详解】因为甲、乙两人进行射击训练，他们中靶的概率分别为、，若两人同时独立射击，恰有一人不中靶，则甲中乙不中或甲不中乙中，故所求事件的概率为.9．【正确答案】【详解】设的公比为，为无穷等比数列，则当时，，，，化简整理得，解得或（，舍去），，，是首项，公比的无穷等比数列，．10．【正确答案】84【详解】乙最后获胜的情况为第二局、第三局必须乙胜，其概率为：，即甲最终获胜的概率为，乙最终获胜的概率为，故甲的奖金为元.11．【正确答案】32【详解】沿母线将圆锥的侧面展开，如图：

记为上的任意一点，作，垂足为，连接，由的长为，得，由两点间线段最短，知观光铁路为图中线段，而，则，上坡即到山顶的距离越来越小，下坡即到山顶的距离越来越大，因此上坡段的铁路，即图中的线段，由，得.12．【正确答案】【详解】任意两个顶点形成条直线，所有任意两条直线共有对，12条侧棱中，对每一条侧棱有12条直线与其垂直，12条面对角线中，对每一条面对角线有8条直线与其垂直，4条体对角线中，对每一条体对角线有6条直线与其垂直，所以，这两条直线垂直的概率是．13．【正确答案】D【详解】A：总体是1800学生每天睡眠时间和作业时间，故A错误；B：个体是每一名学生每天睡眠时间和作业时间，故B错误；C：样本是1000名学生每天睡眠时间和作业时间，故C错误；D：样本容量是1000，故D正确.故选D.14．【正确答案】D【详解】如图1，可得，，可能两两垂直，故A正确；如图2，可得，，可能两两相交，故C正确；如图3，可得，，可能两两异面，故B正确；

对D，设，且与均不重合，假设：，由可得：，，又，可知，，又，可得：，因为两两互相垂直，可知与相交，即与相交或异面，若与或重合，同理可得与相交或异面，可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行，故D错误.故选D.15．【正确答案】A【详解】四棱柱的底面为平行四边形，因为，且由，，，又由，所以，所以，所以.故选A.16．【正确答案】C【详解】对于①，取，则，满足题设，①成立；对于②；假设存在，，公比为，当时，，，则，当时，对任意正整数，不存在正整数m，使得，当时，，要使，则需，即，由为常数，为确定的正整数，得是确定的数，而为任意正整数，是变量，且当趋近于无穷大的正整数时，趋近于）或趋近于无穷大（），因此②不成立.故选C17．【正确答案】（1）见详解；（2）an＝2n－1.【详解】（1）利用等比数列的定义可证明数列{an＋1}是等比数列；（2）求出数列{an＋1}的通项公式，进而可得数列{an}的通项公式．【详解】（1）∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)．由a1＝1，知a1＋1≠0，∴an＋1≠0.∴＝2(n∈N＋)．∴数列{an＋1}是首项为，公比为2的等比数列．（2）由（1）知an＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.18．【正确答案】（1）年龄的平均数为，第百分位数为；（2）事件、相互独立，理由见详解【详解】（1）该公司员工年龄（单位：岁）由小到大依次为：、、、、、、、、、、、，年龄的平均数为；该公司共有名员工，因为，故该公司员工年龄的第百分位数为.（2）解：由茎叶图可知，，，事件为“抽取员工的年龄为岁”，则，所以，，所以，事件、相互独立.19．【正确答案】（1）2000；（2）5.6；（3）平均数为7.168，方差为7.692.【详解】（1）设该校学生总数为，依题意，，解得，所以该校学生总数为2000.（2）由，得所选女生样本的第40百分位数为第11个数5.6.（3）所有样本数据的平均数；所有样本数据的方差为.20．【正确答案】（1）；（2）.【详解】（1）在正四棱锥中，连接，取中点，连接则为正方形的中心，平面，是直线与平面所成的角，由，得，而，在中，，所以直线与平面所成角的大小为.（2）在中，过作于，连接，由≌，