新人教版九年级上册旋转专题练习

新人教版九年级上册旋转专题练习旋转是平面几何中的一种重要变换，它不仅丰富了我们对图形运动的认识，也为解决几何问题提供了新的视角和方法。在九年级上册的学习中，旋转与我们之前学过的平移、轴对称共同构成了初中阶段图形变换的核心内容。本专题将围绕旋转的基本概念、性质及其应用展开练习，旨在帮助同学们深化理解，提升运用旋转思想解决实际问题的能力。一、知识梳理与回顾在开始练习之前，我们先来回顾一下旋转的核心知识点，这是解决一切旋转问题的基础。1.旋转的定义：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。2.旋转的三要素：旋转中心、旋转方向（顺时针或逆时针）、旋转角。3.旋转的性质：*对应点到旋转中心的距离相等。*对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。*旋转前、后的图形全等（对应线段相等，对应角相等）。*图形的旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。这些性质是我们解决旋转问题时进行推理和计算的依据，务必熟练掌握。二、典型例题精析通过对典型例题的分析，我们可以更好地理解旋转的应用，学习解题思路和方法。例题1：旋转基本性质的应用题目：如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后得到△ADE。若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，求∠BAC的度数。思路点拨：首先，根据旋转的性质，我们知道旋转前后的图形全等，即△ABC≌△ADE。因此，对应角相等，对应边相等。我们需要找出图中的对应角和对应边。点A是旋转中心，所以点B的对应点是D，点C的对应点是E。由此可知，∠BAC的对应角是∠DAE，∠E的对应角是∠C。已知∠E=70°，所以∠C=∠E=70°。∠CAE是旋转角吗？或者说，∠CAE与旋转角有什么关系？因为AC旋转后得到AE，所以∠CAE就是旋转角（或其补角，需根据旋转方向判断，但题目中已说明是顺时针旋转一定角度得到，且∠CAE=65°，故旋转角即为65°）。因此，∠BAD=∠CAE=65°（对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角）。又因为AD⊥BC，所以∠ADB=90°（注意，AD是AB旋转后的对应边，所以AD=AB，△ABD是等腰三角形吗？这里先不急于下结论，我们先看在△ADC中，是否能找到有用的信息。或者在△ABD中。）在Rt△ADC中（因为AD⊥BC），∠ADC=90°，∠C=70°，所以∠DAC=180°-90°-70°=20°。而∠DAE=∠BAC（对应角相等），∠DAE=∠DAC+∠CAE=20°+65°=85°，所以∠BAC=85°。解答过程：∵△ABC绕点A旋转得到△ADE，∴△ABC≌△ADE，∠CAE为旋转角。∴∠C=∠E=70°，∠BAC=∠DAE。∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°。在Rt△ADC中，∠DAC=90°-∠C=90°-70°=20°。∵∠CAE=65°，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=20°+65°=85°。∴∠BAC=∠DAE=85°。答：∠BAC的度数为85°。例题2：利用旋转构造全等解决问题题目：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，∠EAF=45°。求证：EF=BE+DF。思路点拨：要证明EF=BE+DF，通常可以考虑“截长补短”的方法。但本题中给出了∠EAF=45°，而正方形的内角为90°，∠BAD=90°，所以∠EAF恰好是∠BAD的一半。这提示我们可以考虑利用旋转，将△ADF或△ABE旋转一定角度，使分散的线段BE和DF集中到一起。考虑将△ADF绕点A顺时针旋转90°，因为AD=AB，旋转后AD会与AB重合，点F会落在CB的延长线上，设为点F'。这样，DF=BF'，AF=AF'，∠DAF=∠BAF'。此时，∠EAF'=∠BAE+∠BAF'=∠BAE+∠DAF。因为∠EAF=45°，∠BAD=90°，所以∠BAE+∠DAF=90°-45°=45°，即∠EAF'=45°=∠EAF。在△EAF和△EAF'中，AF=AF'，∠EAF=∠EAF'，AE=AE，所以△EAF≌△EAF'（SAS），因此EF=EF'。而EF'=BE+BF'=BE+DF，所以EF=BE+DF。解答过程：证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°至△ABF'的位置。∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=90°。由旋转性质知：△ADF≌△ABF'，∴∠DAF=∠BAF'，DF=BF'，AF=AF'，∠ABF'=∠D=90°。∵∠ABC=90°，∴∠ABF'+∠ABC=180°，即点F'、B、E在同一条直线上。∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°。∴∠EAF'=∠BAE+∠BAF'=∠BAE+∠DAF=45°=∠EAF。在△EAF和△EAF'中，AF=AF'，∠EAF=∠EAF'，AE=AE，∴△EAF≌△EAF'（SAS）。∴EF=EF'。∵EF'=BE+BF'=BE+DF，∴EF=BE+DF。三、专题练习题（一）基础巩固1.选择题(1)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.等边三角形B.平行四边形C.正五边形D.圆(2)点P(3,-2)绕原点O顺时针旋转90°后的对应点P'的坐标是（）A.(-2,-3)B.(2,3)C.(-3,2)D.(3,2)(3)如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠AOB=30°，则∠AOD的度数是（）A.50°B.60°C.70°D.80°2.填空题(4)一个图形绕某点旋转后，如果能与自身重合，那么这个图形叫做________图形，这个点叫做它的________。(5)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，将△ABC绕点A顺时针旋转60°到△AB'C'的位置，连接C'B，则∠AC'B的度数为________。3.解答题(6)如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,1)、B(3,1)、C(2,3)。①将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB₁C₁，请画出△AB₁C₁，并写出点B₁、C₁的坐标。②求出线段AB在旋转过程中所扫过的图形的面积（结果保留π）。（二）能力提升4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为△ABC内一点，且AD=AC，∠CAD=30°。求证：BD=CD。5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACE。连接DE，求证：△ADE是等边三角形。6.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD的面积为24，求AC的长。（三）拓展延伸7.已知：如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5。求∠APB的度数。四、参考答案与提示（一）基础巩固1.(1)D；(2)B；(3)A（提示：∠AOC为旋转角80°，∠AOB=30°，则∠BOC=∠AOC-∠AOB=50°，∠AOD=∠AOB+∠BOD，而∠BOD=∠AOC=80°？不，仔细看图，O、A、D是否共线？或∠AOD=∠COD-∠AOC？需根据具体图形，一般此类题∠AOD=∠AOC+∠COD-∠AOB？此处应为∠AOC是旋转角80°，即∠BOD=80°，∠AOB=30°，则∠AOD=∠AOB+∠BOD=30°+80°=110°？哦，之前思路有误，正确应为：△OAB≌△OCD，所以∠AOB=∠COD=30°，旋转角∠AOC=∠BOD=80°。∠AOD=∠AOC+∠COD=80°+30°=110°？题目选项中没有110°。看来最初的图形理解可能有误。若题目选项为A.50°，则可能是∠BOC的度数。原题可能是问∠BOC，则∠BOC=∠AOC-∠AOB=80°-30°=50°，选A。此处提醒同学们审题和观察图形的重要性。）2.(4)中心对称，对称中心；(5)15°（提示：连接BB'，通过等边三角形和等腰三角形性质求解）。3.(6)①图略，B₁(1,3)，C₁(-1,2)；②线段AB扫过的图形是以A为圆心，AB长为半径，圆心角为90°的扇形。AB=2，面积为(90/360)π×2²=π。（二）能力提升4.提示：将△ACD绕点C逆时针旋转90°得到△BCE，连接DE。可证△CDE为等腰直角三角形，△BDE为等边三角形，从而BD=BE=CD。5.提示：由旋转性质得AD=AE，∠DAE=120°？不，旋转角是120°，所以∠DAE=120°，又AB=AC，D是BC中点，AD平分∠BAC，∠BAD=60°，所以∠DAE=∠BAD+∠BAE=60°+(∠BAC-∠CAE)？不，△ABD绕A逆时针旋转120°得到△ACE，所以旋转角∠DAE=120°，AD=AE，故△ADE是等腰三角形，有一个角是120°，不是等边三角形。哦，题目条件是∠BAC=120°，旋转120°，则∠BAD=∠CAE，∠BAC=∠DAE=120°。AD=AE，所以△ADE是顶角为120°的等腰三角形。若要证等边，可能题目条件或我的理解有误。原题“将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACE”，则AD的对应边是AE，所以AD=AE，旋转角∠DAE=120°，故△ADE是等腰三角形，顶角120°。若题目是旋转60°，则为等边三角形。请同学们仔细核对题目。若原题无误，则可能我的提示有误，或者题目结论应为“等腰三角形”。此处暂按原题，提示：AD=AE，∠DAE=120°。6.提示：将△ABC绕点A顺时针旋转90°至△ADE的位置，可证点C、A、E共线，四边形ACDE是正方形（或等腰直角三角形），面积等于四边形ABCD面积24，从而AC²=24，AC=2√6。（三）拓展延伸7.提示：