小学二年级数学下册：有余数除法的理解与应用练习课教案

小学二年级数学下册：有余数除法的理解与应用练习课教案

  一、教材解析与单元整体架构

  本节课隶属于“有余数的除法”这一核心单元，是该单元起始新授课后的首节专项练习课。在苏教版教材的编排体系中，本单元是学生从理解“等分”的除法，迈向认识“分后有剩余”这一数学现实的关键阶梯，为后续学习多位数的除法试商、周期规律等知识奠定了不可或缺的认知与算理基础。本节课的练习内容，旨在巩固除法竖式的规范书写，深化对“余数”概念本质的理解，并初步探索“余数必须比除数小”这一核心规律。教材通过层次递进的习题，将操作感知、表象建立与抽象推理有机结合，引导学生从具体分物活动中提炼数学模型，再用模型解决实际问题，完成从具体到抽象，再从抽象回到具体的思维循环。本课时在整个单元中起着承上启下的作用，既是对基础概念和技能的夯实，又是对数学思想方法（如建模思想、归纳思想）的初步渗透，其教学效果直接关系到学生能否顺利构建完整的除法认知结构。

  二、学情分析与认知起点研判

  教学对象为小学二年级下学期学生。他们的思维正处于以具体形象思维为主，并逐步向抽象逻辑思维过渡的关键期。在前序学习中，学生已经熟练掌握了表内乘除法，能够进行平均分的操作，并初步接触了包含除和等分除的两种情境。对于除法竖式，学生处于刚刚学习的阶段，书写格式和计算步骤的熟练度与准确性有待加强。在认知上，学生可能存在的困难与误区包括：其一，对“余数”的意义理解表面化，仅将其视为“剩下的”，难以与除法算式的意义紧密关联；其二，在竖式计算中，容易混淆商的位置，或忘记写余数；其三，对“余数比除数小”的规律，多数学生可能停留在机械记忆层面，缺乏通过大量操作与观察后自主发现、归纳的理解过程。因此，本节课的教学设计必须充分尊重学生的认知规律，提供丰富的操作素材和可视化工具，让学生在“分一分”、“画一画”、“写一写”、“想一想”的系列活动中，实现算理与算法的统一，突破从直观感知到抽象理解的瓶颈。

  三、教学目标确立（三维整合导向）

  基于课程标准、教材核心及学生认知发展需求，确立如下整合性教学目标：

  （一）知识与技能维度

  1.通过系统练习，使学生进一步掌握有余数除法的竖式计算方法，能准确、熟练地列出竖式，求出商和余数，确保书写格式规范。

  2.巩固对有余数除法意义的理解，能根据情境正确列出除法算式（包括横式和竖式），并解释算式中每个数的含义。

  3.通过观察、比较、归纳，使学生深刻理解并牢固掌握“余数必须比除数小”的规律，并能运用此规律初步判断除法计算是否正确，或解决简单推理问题。

  （二）过程与方法维度

  1.经历从实物操作、图形表征到数学符号表达的抽象过程，发展学生的数感、符号意识和几何直观能力。

  2.在探索“余数比除数小”规律的过程中，引导学生经历观察、猜想、验证、归纳的数学探究过程，初步培养归纳推理能力和模型思想。

  3.通过解决具有层次性和开放性的实际问题，培养学生提取数学信息、分析数量关系、灵活选择策略并解决问题的能力。

  （三）情感态度与价值观维度

  1.在合作探究与交流分享中，体验数学活动的探索性与创造性，增强学习数学的自信心和合作意识。

  2.感受有余数除法与生活的紧密联系，体会数学的应用价值，培养用数学眼光观察现实世界的意识。

  3.养成认真计算、仔细检查、书写工整的良好学习习惯。

  四、教学重难点剖析

  教学重点：深化对有余数除法意义的理解，熟练掌握除法竖式的规范计算，并能运用“余数比除数小”的规律。

  教学难点：从操作和算理层面理解“余数为什么一定要比除数小”，并能灵活运用此规律解决稍复杂的问题（如根据余数推断除数或商的范围）。

  五、教学准备清单

  1.多媒体课件：包含情境动画、动态分物过程、习题展示、交互反馈等。

  2.学生操作学具：每小组准备足够数量的围棋子（或小圆片）、操作记录单。

  3.学习任务单（分层设计）：包含基础巩固、能力提升、思维拓展三个层次。

  4.板书设计卡片与磁性贴。

  5.实物投影仪，用于展示学生作品。

  六、教学过程实施详案

  （一）启·联系生活，情境导入（预计用时：5分钟）

    师：同学们，上节课我们认识了一位除法家族的新成员——“有余数的除法”。它可是一位解决生活问题的小能手。瞧，学校社团活动就要开始了，烘焙社团遇到了一个问题，我们一起去帮帮忙吧！

    （课件动态呈现情境：烘焙老师要把13块香甜的饼干，平均分给4个来参加活动的小朋友，每人能分到几块？还会剩下几块呢？）

    师：你能用我们学过的知识，帮老师分一分吗？请拿出你的学具，用13个圆片代表13块饼干，动手分一分，并把分的结果用算式表示出来。

    （学生独立操作，教师巡视，选取不同表征方式的学生作品准备展示。）

    生1展示操作过程：我先4个4个地分，分出了3份，每人3块，还多出1块。算式是13÷4=3（块）……1（块）。

    师：分得清清楚楚，说得明明白白！这个算式读作：13除以4等于3余1。谁再来完整地说一说，算式中13、4、3、1分别表示什么？

    生2：13表示饼干的总数，4表示小朋友的人数，3表示每人分到的块数，1表示分完后还剩下的块数，也就是余数。

    师：说得非常准确。除了横式，我们还可以用竖式更清晰地记录这个分的过程。谁能到黑板上写下这个竖式？

    （一名学生板演竖式，教师引导全班回顾竖式书写步骤：一商、二乘、三减、四比（比较余数和除数）。重点强调商的位置和余数的书写。）

    师：今天这节课，我们就一起来进行“有余数除法”的练习，不仅要算得更准更快，还要发现其中隐藏的数学秘密。

  （二）探·多维探究，深化理解（预计用时：22分钟）

    环节一：操作联想，巩固意义与竖式。

    师：刚才我们解决了饼干问题。现在，如果给你一些围棋子和要求，你能既动手分，又动笔算吗？请完成学习任务单上的活动一。

    活动一：分一分，算一算。

    1.有17个棋子，每5个摆成一个图案，可以摆成几个图案？还剩几个棋子？

    先摆一摆：______

    再算一算（横式）：______

    用竖式计算：______

    2.有23个棋子，平均摆成4排，每排摆几个？还剩几个？

    先画一画（用圆圈表示棋子）：______

    再算一算（横式）：______

    用竖式计算：______

    （学生独立操作、画图、计算。教师巡视，重点关注学困生竖式的书写规范性。完成后小组内交流，说一说两道题分的过程有什么不同？）

    组内交流后全班汇报：

    生3：第一题是“每5个一份”，求能摆几份，是包含除。我5个5个地圈，圈了3份，剩2个。算式是17÷5=3（个）……2（个）。

    生4：第二题是“平均分成4份”，求每份几个，是等分除。我先画23个圆，然后4个4个地分给4排，分了5次，每排5个，最后剩下3个不够再每排分1个了。算式是23÷4=5（个）……3（个）。

    师：两位同学分析得非常到位！无论是包含除还是等分除，只要是平均分后有剩余，我们都可以用有余数的除法来表示。请对照一下你们的竖式，商和余数都写对位置了吗？同桌互相检查。

    （此环节通过两种不同的分物情境，强化有余数除法的两种模型，并通过操作、画图与竖式对照，深化对算理的理解。）

    环节二：观察归纳，发现核心规律。

    师：同学们的计算都很认真。现在，请大家把刚才我们得到的几个有余数的除法算式集中观察一下（板书：13÷4=3……1，17÷5=3……2，23÷4=5……3）。还有一个老朋友：10÷3=3……1。请你仔细看每一个算式中的除数和余数，你有什么惊人的发现？

    （学生独立思考片刻后，小组热烈讨论。）

    生5：老师，我发现余数都是1、2、3这样的数。

    生6：我发现余数好像都比除数小！你看，第一个算式除数是4，余数是1；第二个除数是5，余数是2……

    师：这是一个了不起的发现！但这是我们随便看到的几个算式的巧合，还是一个永远正确的规律呢？我们需要更多的例子来验证。现在，让我们来做一个小研究。

    活动二：小小数学家——探索余数的秘密。

    研究任务：用一堆小棒摆独立的正方形（每个正方形需要4根小棒）。

    1.如果有8根、9根、10根、11根、12根、13根、14根、15根小棒，分别可以摆几个正方形？还剩几根小棒？请填写记录表。

    小棒总数|摆几个正方形（商）|还剩几根小棒（余数）

    8根|______|______

    9根|______|______

    ……|……|……

    15根|______|______

    2.列出对应的除法算式。

    3.观察所有算式的余数，和除数4比一比，你确信刚才的发现了吗？

    （学生以小组为单位，利用小棒实际摆一摆，记录数据，填写算式。教师引导各小组高效合作。）

    全班汇总数据，形成系列算式：

    8÷4=2……0，9÷4=2……1，10÷4=2……2，11÷4=2……3，

    12÷4=3……0，13÷4=3……1，14÷4=3……2，15÷4=3……3。

    师：请大声说出这些算式中的余数！

    生（齐）：0，1，2，3，0，1，2，3。

    师：余数有4吗？有5吗？有比4大的数吗？

    生（齐）：没有！最大是3。

    师：为什么余数只能是0、1、2、3，而不能是4或者更大呢？谁能结合摆小棒的过程说一说？

    生7：因为如果还剩4根或超过4根，就够再摆一个正方形了，就应该继续摆下去，商就会增加，余数就不会那么大了。比如13根，摆了3个正方形用去12根，剩1根；如果剩4根，那就还能摆一个，其实应该是摆了4个正方形剩0根。

    师：解释得太精彩了！掌声送给他。余数就像是“最后一次分完后，剩下的、不够再分一份的那部分”。所以，在有余数的除法里，余数必须比除数小。这是一个非常重要的数学规律。我们可以用这个规律来做什么呢？

    生8：可以检查除法算得对不对。如果余数比除数大或者相等，那肯定算错了。

    师：对，这是非常好的验算方法。下面我们就来用用这个法宝。

  （三）练·分层巩固，拓展思维（预计用时：10分钟）

    层次A：基础巩固（面向全体，夯实双基）

    1.火眼金睛判对错。（下列竖式计算对吗？如果不对，错在哪里？）

    (1)18÷5=3……3（竖式略）(2)25÷6=3……7（竖式略）(3)30÷7=4……2（竖式略）

    （重点辨析第(2)题，余数7大于除数6，说明商3小了，应调大为4。）

    2.森林医生。请改正下面竖式中的错误。

    （呈现商的位置写错、余数漏写、减法算错等典型错误竖式，让学生诊断并纠正。）

    层次B：能力提升（面向大多数，灵活应用）

    3.（）里最大能填几？（这是一个逆向运用“余数比除数小”规律的经典题型，为试商做准备。）

    ()×5<28()×6<437×()<50

    师：你是怎么思考的？

    生9：我想几乘5最接近28又小于28。五五二十五，25<28；五六三十，30>28了。所以最大填5。

    4.实际问题。

    有35颗纽扣，每件衣服钉4颗，最多能钉几件衣服？还剩几颗纽扣？

    （学生独立列式解答后，追问：“最多能钉几件”这个要求，在算式中是如何体现的？引导学生联系“余数比除数小”，商就是满足条件的最大数。）

    层次C：思维拓展（供学有余力者挑战，发展推理能力）

    5.猜一猜：在一道有余数的除法算式中，除数是6。已知商和余数相同，请问被除数可能是多少？你能写出所有可能的情况吗？

    （引导学生思考：除数是6，余数可能有哪些？根据“余数比除数小”，余数可能是1、2、3、4、5。又因为商和余数相同，所以商也是1、2、3、4、5。分别计算：被除数=除数×商+余数。得到被除数可能是7、14、21、28、35。此题为后续学习“带余除法中各部分关系”埋下伏笔。）

    （练习过程采取学生独立完成、小组互评、全班讲评相结合的方式。教师巡视，将层次C的精彩解法通过实物投影展示，启迪全班思维。）

  （四）结·归纳反思，升华认知（预计用时：3分钟）

    师：愉快的数学探索之旅即将结束，回顾这节课，你有哪些新的收获和体会？你对自己最满意的地方是什么？

    生10：我更加明白竖式每一步的意思了，就是分东西的过程。

    生11：我发现了“余数一定比除数小”这个秘密，而且知道为什么了。

    生12：我能用今天学的知识解决钉纽扣这样的问题了。

    师：同学们总结得真好！我们不仅学会了计算，更发现了规律，理解了道理。数学就是这样，从生活中来，又服务于生活。最后，老师送给大家一首儿歌，帮助我们记住今天的知识要点：

    除法竖式像工厂，被除数里分物忙。

    除数门外看每份，商在楼上记数量。

    乘减下来比一比，余数总要除数小。

    检查验算它帮忙，学好数学本领强！

    （在齐诵儿歌的愉快氛围中结束新课。）

  七、板书设计规划（结构化呈现思维脉络）

    课题：有余数除法的练习

    核心模型：

    13÷4=3（块）……1（块）23÷4=5（个）……3（个）

    （包含除示例）（等分除示例）

    竖式过程（略）

    核心发现：

    观察：13÷4=3……117÷5=3……223÷4=5……3…

    猜想：余数？除数

    验证：摆小棒研究（数据记录区）

    结论：余数必须比除数小。

    应用：1.判断对错。2.（）里最大能填几。3.解决实际问题。

  八、教学反思与专业发展视点

    本节课的设计力图体现练习课“巩固、深化、拓展、联通”的功能，超越简单的重复操练，追求思维深度的挖掘。其亮点与深层思考体现在以下几个方面：

    其一，坚持“理法融合”，贯通直观与抽象。教学设计摒弃了脱离情境的纯计算训练，始终将操作活动、几何直观与符号表达紧密结合。从分饼干、摆棋子到摆小棒，每一个数学结论的得出都建立在学生充分的感官体验和表象积累之上。“余数为什么比除数小”这一难点，通过“摆正方形”的探索性活动，让学生亲身经历“剩余4根为何必须再摆”的认知冲突，从而自然而然地理解规律的必然性，实现了从“知其然”到“知其所以然”的飞跃。这符合皮亚杰认知发展理论，也契合当前强调的“深度学习”理念。

    其二，凸显“生本探究”，赋能学习过程。课堂将大量时间还给学生进行独立探究和合作学习。在探索规律环节，教师扮演的是组织者、引导者和促进者的角色，提供研究素材（小棒和记录单），提出驱动性问题，然后放手让学生像“小小数学家”一样去操作、记录、观察、讨论、归纳。学生获得的不仅仅是数学规律本身，更重要的是经历了完整的科学探究过程，积累了数学活动经验，培养了探究精神和合作能力。这种学习方式的转变，是落实核心素养的关键。

    其三，践行“分层递进”，关注个体差异。练习设计遵循了“基础—提升—拓展”的逻辑脉络，满足了不同层次学生的发展需求。基础题确保全体学生达到课标基本要求；能力提升题引导大多数学生灵活应用知识，实现迁移；思